Обратн. Отнош. Для ∀ бинар. Отношений -1 -1 P,Q,R выполн:1)(P ) =P ∆ ] (x,y) ϵP, тогда по опред-ию⇔ (y,x) ϵP-1 ⇒ (x,y) ϵ(P-1) -1 ⇒P=(P-1) -1∆ P-1 2) (P○Q) -1=Q-1○ ∆ ](x,y) ϵ(P○Q) -1⇒ (y,x) ϵ(P○Q) ⇒∃ z: (y,z)ϵP,(z,x) ϵQ⇒(x,z) ϵQ-1, (z,y) ϵ P1 ⇒ (x,y) ϵ Q-1○ P-1 ⇒(P○Q) -1⊆ Q-1○ P-1 обратное-анал-но ⇒ (P○Q) -1=Q-1○ P-1 ∆ 3)(P○Q) ○R=P○(Q ○R) ∆ ](x,y) ϵ(P○Q) ○R⇒ ∃v:(x,v) ϵ(P○Q) ,(v,y) ϵR ⇒ ∃u: (x,u)ϵP,(u,v)ϵQ (v,y)ϵR ⇒ (x,u)ϵP, (u,y)ϵ(Q○R)⇒(x,y)ϵ(P○Q)○R ⇒(P○Q) ○RϵP○(Q ○R). включение в обр сторону – анал-но. (P○Q) ○R=P○(Q ○R) ∆ Св-ва функ-ий 1) if f:A↦B, g:B↦C ⇒f○g:A↦C ∆ if f:A↦B g:B↦C, f⊆AxB, g⊆BxC⇒ f○g⊆AxC (x,y)ϵf○g , причем xϵA yϵC ∃z ϵB: (x,z)ϵf ⇒ z=f(x) . (z,y)ϵg⇒ y=g(z). подставим: f○g(x)=y=g(x)=g(f(x)). ∆ 2)if f:A↦B idA○f=f, f○idA=f ∆очевидно∆ 3) if f:A(на)↦B, g:B(на)↦C ⇒f○g:A(на)↦C ∆ f○g- ∀ сϵС ∃ aϵA: c=f○g(a) т.к по условию g-сюръект.,то для ∀сϵС ∃bϵB,такой, что c=g(b). Т.к. отобр f – сюръект., то для ∀bϵB ∃aϵA,такой, что b=f(a). Итак, для ∀сϵС нашелся aϵA, что c=f○g(a) ∆ 4)if f,g-инъект. ⇒f○g – инъект. ∆ ] ∃ x1,x2ϵA, yϵC,что x1 ≠ x2,а (x1,y) ϵf○g (x2,y) ϵf○g ⇒ y=f○g(x1) y=f○g(x2) x1 ≠ x2 f-инъект. ⇒ f(x1)≠f(x2). f(x1), f(x2) ϵB и f(x1)≠f(x2), по усл. Теорема. A/E-разбиение мн-ва А. Если Rнеко-ое разбиение мн-ва А, то можно задать соотв-щее ему отношение экви-ти Е по след. Правилу: xEy x,yϵAi ∆первая часть ] E-отношение экв-тина мн-ве А, А/Е-фактор. Т.к. Е- это отнош экв-ти, это отнош рефлексивно ⇒ ∀xϵA xϵE(x) ⇒∀ эл-т мн-ва A/E – не пустой и A=UE(x) xϵA. Показать, что если E(x) ⋂E(y)= ∅,то E(x)=E(y). ] zϵE(x) ⋂E(y) ↓, uϵE(x) ↓ zϵ E(x) и zϵ E(y)↓ (x,u) ϵE↓ (x,z) ϵE и (y,z) ϵE⇒⇒⇒ (y,u) ϵE⇒uϵE(u) ⇒ E(x) ⊆E(y) включение в обр. сторону – аналогично E(x)=E(y). Вторая часть. ] Eотношение на мн-ве A, которое соотв-ет разбиению R. xEy ⇔ x,yϵAi (надо показать рефл-ть и симм-ть). Рефл-ть и симм-ть очевидны. Транз-ть: берем xEy и yEz, тогда: Ai= Aj. x,zϵAi ⇒xEz. Доказали транз-ть. Итого, это отнош-ие эквивал-ти. ∆ Теорема4. Если матрица смежности гр.G, то (i,j) элемент матр. AKG=AG*…*AG есть число (ai,aj)-маршрутов длины k. ∆ Индукцией по k. ] k=1,для k=1, маршрут длины 1 – дуга графа G. Теор док-на. Обозначим A k-i ij= αij Aij=aij и пусть теор. Верна для k=i. Докажем, когда k=k. Эл. k k-1 ∑n αisasj ⇒ A ij=(A Aij)= ⇒ предположение неверно, такого y не ∃ ⇒ f○g-инъективное ∆ 5)if f:A↔B и g:B↔C, то f○g: A↔C ∆ следует из 3) и 4) ∆ 6) if f:A↔B ⇒ αisasj-кол-во маршрутов vi к vj длины k, что f -1 ∃,когда f– биекция следуют из опр-ия композиции. ∆ вершины одной доли в один цвет; а другой доли – в другой цвет. Итак, никакие смежные вершины не окрашены одним цветом ⇒ X(G)=2. 2часть X(G)=2 обозн.через M1 все вершины, окраш в один цвет. M2вершины в другой цвет. Т.к. между вершинами, имеющ одина цвет, нет ребер, то G – двудольный с долями M1 иM2. ∆ Теорема. В связном планарном графе имеет место соотношение p-q+r=2: ∆Методом мат. индукции по числу ребер. q=0 p=1 r=1 p-q+r=2 верно. ] соотношение верно для всех графов с q ребрами. Добавим еще ребро.1) Если добавл. ребро соедин. существ-ие вершины, то: q`=q+1 p`=p r`=r+1 p`-q`+r`=p+q+r=2 верно. 2) если Если добавл. ребро соедин. с новой вершиной: p`-q`+r = p-q+r=2 верно! ∆ x,yϵAi и y,zϵAj , где Ai,AjϵR ⇒ yϵAi и yϵAj ⇒ g-инъект. ⇒ g( f(x1))≠g(f(x2))⇒ f○g(x1)≠f○g(x2) f -1:B↔A(f○f-1=idA,f -1○f=idB) ∆Утверждение, Теорема. Граф G- двудольный ⇔, когда X(G)=2. ∆ ] G – двудольный граф. окрасим s=1 где vs – предпосл. вершина маршрута. ∑– число маршрутов длины k от vi к vj. Теорема. Код С с min расстоянием dc может исправлять t ошибок, если dc≥2t+1. ∆ обозначим Bt(x) – шар, радиусом t с центром в xϵFqn. Bt(x)={ yϵFqn|d(x,y) ≤t} Правило декодирования в ближ. кодовое слово гарантирует, что каждое полученное в рез-те передачи слова, содерж. не более t ошибок должно лежать в шаре, радуса t с центром в переданном кодовом слове. Для того, чтобы можно было исправить t ошибок, шары r=t с центром в кодовых словах не должны пересекаться. z ϵ Bt(x) z ϵ Bt(y) x,yϵC x ≠y. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) ≤2t. По условию, dc≥2t+1. противоречие. чтд. Алгортм Форда Беллмана. 1шаг) задаем строку D(1)=(d(1)1 ,.., d(1)n) M={ a1 ,.., an}. Пусть в бесконтурном G d(1)i=0 d(1)j=ωij i≠ j. В этой строке d(1)j,если i≠ j, есть вес дуги (ai,aj), если ∃ и d(1)j=∞ если (ai,aj) ∉R 2шаг) строку D(2)=(d(2)1 ,..,d(2)n) выполняется условие: (ai,aj) i<j. Найдем ρ от a1 до ост. вершин графа. Заполним: D(1)=(d(1)1 ,.., d(1)n) d(1)i=0 d(1)j=ωij, j≥2 d(2)j=min{d(1)j,d(1)k+ωkj } k=1,n d(2)jминимальный из весов (ai,aj) – маршрута, сост. из не более двух дуг. 3шаг) стоится D(s)=(d(s) ,.., d(s) ) эл-т: 1 Алгоритм нахождения кратчайшего пути в бесконтурном графе. ] G=<M,R>, n d(s)j=min{d(s-1)j, d(s-1)k+ωkj } k=1,n D(s)=(d(s)1 ,.., d(s)n) (s+1) 1 ,.., d n) пусть на шаге s: D(s+1)=(d(s+1) d(s+1)k=min{d(s)k,d(s)j+ωkj } k<j (ak,aj)ϵR этот – аналог алг.Форда Беллмана. Заканчивается на: s=n-1 d(s-1)k= ρω(a1,aj). искомая строка взвешеного расс-ия Теорема про вершины. ∑ степеней(degs) получается при s=n-1, и эл-т d(n-1)j=ρω(ai,aj) всех вершин графа равно 2*q, где q- число ребер, n- число вершин.∑ n i=1deg(ai)=2*q т.к. на этом шаге из весов всех (ai,aj) маршрутов содержащих не более n-1 дуг выбирается наименьший. А каждый маршрут с более чем -1 дугой содержит контур, добавление которого к маршруту не уменьшает взвеш-ое раст-ие, т.к предположили отсутствие контуров отр-ого веса. Работу алгоритма можно break, if D(k)=D(k+1). Алгоритм Дейкстры. Этот алгоритм используется только для взвешенного графа, в котором веса всех дуг>0. ]G=<M,R> W=(ωkj) ωkj ≥0 ai-выделенная вершина/источ-к. задаем строку D(1)=(d(1)1 ,.., d(1)n), где d(1)i=0 d(1)j=ωij i≠ j T1=M\{ai} пусть на s–шаге уже опр-на строка D(s)=(d(s)1 ,.., d(s)n) и мн-во вершин Ts cлед шаг: s+1. aj ϵTs такое: d(s)j=min{d(s)k/akϵTs} и строим мн-воTs+1: Ts+1= Ts\{ai}. D(s+1)=(d(s+1)1 ,.., d(s+1)n) заполняется: d(s+1)k=min{d(s)k,d(s)j+ωkj } ai ϵTs+1. d (s+1) (s) (n-1) k= d k. l=n-1 D -строка взвеш.расстояния между ai и ост. вершин графа. d(n-1)j= ρω(ai,aj). ∆ степень вершины-кол-во ребер,кот. явл. верш. При суммировании всех степеней получаем, что каждое ребро считается дважды,т.к. оно инцидентно. Петли, по определению считаются дважды. ⇒ общая сумма=удоенному числу ребер. ∆ Теорема. Если связный граф, соедин. k-вершин нечетной степени, то min число, покрыв. его реберно-непересек степеней – k/2. ∆ ] G-связ. граф, кот. соедин. k вершин нечетн. степени. k-четное: ∑ n i=1deg(ai) – четное ∑ k i=1deg(ai) – четное. Рассмотрим G' получим добавлением к G нечетной вершины a и ребер, соед. вершину a со всеми верш. нечетной степени графа G, т.к. степени всех верш. G’ дают все ребра, инцидентн. a, то получится не больше k/2 цепей, содерж. все ребра графа G, т.е. покрыв графа G. С другой стороны, граф явлся объединением r-реберно-непересек. цепей,имеет не более 2*r вершин нечетной степени. Поэтому G нельзя покрыть цепями, число кот <k/3. ∆