Кировского района г. Саратова Теорема косинусов и ее

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 73»
Кировского района г. Саратова
Теорема косинусов и ее следствия
Подготовила
учитель математики
Драгунова С.Н.
Г. САРАТОВ
2015г.
Теорема косинусов
Теорему косинусов знали еще древние греки: ее
доказательство содержится во II книге «Начал»
Евклида (IV век до н.э.), где излагается
геометрическая алгебра, с помощью
геометрических чертежей даются решения
задач, сводящихся к квадратным уравнениям.
Алгебраической символики тогда не
существовало. Доказал теорему косинусов
Евклид в 325 году до н.э.
Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между
ними.
Дано: ∆АВС
Доказать, что ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA
Доказательство:
Рассмотрим векторное равенство.
Т.к. AC  AB  BC
то
BC  AC  AB
Возведём обе части в квадрат (скалярно), тогда получим: BC 2  AC 2  AB2  2 AC  AB
Так как ab=│ a│ ×│ b│ × cos (a ; b ), то ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA , что
и требовалось доказать.
Следствие из теоремы косинусов
Следствие: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон ± удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак
«+» ставится, когда противолежащий угол тупой, а знак «-» ставится, когда этот
угол острый.
1) Рассмотрим треугольник АВС, где  А – острый
Проведем CDAB
Т.к. треугольник АСD - прямоугольный, то:
b = c × cosα, следовательно, AD= AC × cos α, тогда ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС × АВ.
2) Рассмотрим треугольник АВС, где  А – тупой ( А  90).
∆АDС – прямоугольный:
AD= AC × cosDAC = AC × cos(180 - α )= -AC × cosА или AC × cosА =
-AD
Т.е. ВС2 = АС2 + АВ2 –+2 АD× АВ
Но это – доказательство одного частного случая теоремы, одной стороны треугольника.
Другие две стороны находятся аналогично и по соответствующим формулам:
1) по теореме:а) АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 АВ × ВС × cosВ;
б) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АС × ВС × cosС;
в) если один из углов прямой, то имеем треугольник АВС – прямоугольный и
стороны вычисляются по теореме Пифагора: a2 + b2 = c2
2) a) по следствию острого угла:
а.1) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АD × AС;а.2) АС2= АВ2 + ВС2 -2 ВС × СD.
б) По следствию тупого угла:
б.1) АВ2 = АС2 + ВС2 + 2 АD × ВС;б.2) АС2= АВ2 + ВС2 + 2 ВС × СD.
Две теоремы косинусов для четырехугольника.
В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические
соотношения в четырехугольнике. Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением
взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных
шарнирных механизмов и т.п.
Из всего многообразия возникающих здесь вопросов нами рассматриваются лишь две
теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника
естественно называются теоремами для четырехугольника. Эти теоремы интересны сами
по себе, богаты вытекающими из них следствиями, и могут с успехом применяться при
решении различных метрических задач.
Теорема 1. Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех
других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между
ними.
Доказательство №1:
Дано: ∆AMD
Доказать, что x2 = a2 + b2 + c2 – 2ab × cosβ – 2bc × cosγ – 2ac × cosμ
С
Доказательство:
1) Построим ABCE – параллелограмм. Имеем: ECD =AMD =μ.
Пусть CE=a, AE=b, ED=y, AD=x,ABC=β, BCD=γ, AED=φ
Рассмотрим∆ECD:по теореме косинусов имеем, чтоy2 = a2 + c2 –2ac × cosμ
Рассмотрим ∆AED:x2 = b2 + y2 – 2by × cosφ
2) Составим систему:
{
𝑦2 = 𝑎2 + 𝑐2 – 2𝑎𝑐 × 𝑐𝑜𝑠𝜇
𝑥2 = 𝑏2 + 𝑦2 – 2𝑏𝑦 × 𝑐𝑜𝑠𝜑0
= a2 + c2 - y2 –2ac × cosμ
x2 = b2 + y2 – 2by × cosφ
x2 = a2 + b2 + c2 –2ac × cos μ – 2by × cos φ
Т.е. из двух равенств получим одно:
x2 = a2 + b2 + c2 –2ac × cos μ – 2by × cos φ
3) Проведем отрезки ЕЕ1 и DD1. Имеем:
y= cos ( 180 – φ)= EE1=E1C + CD1 = a × cosBCE + c × cos (180 – γ)=> y× cos φ=
a × cosβ + c× cosγ
Подставим найденное значение y × cosφ в выражение для x2, получим
x2 = a2 + b2 + c2 – 2ab × cosβ – 2bc × cosγ – 2ac × cosμТеорема доказана.
Доказательство №2
1) Пусть BN=BC,CK=KA, BL=LD, AMD=KLN, след. по теореме косинусов
имеем:KL2=KN2 + LN2 – 2KN × LN × cosμ, причем согласно теореме Эйлера
1
KL2= 4 (a2 + b2 + c2+ x2 – e2 – f2)
1
1
2) Учитывая, что KN2 = 4a2, LN2 = 4c2, получаем после подстановки KL, KN,и LN
в равенство:x2=e2 +f2 –b2 – 2ac × cosμ
3) Рассмотрим треугольник АВС – по теореме косинусов:e2=a2 +b2– 2ab× cosβ
Рассмотрим треугольник ВСD – по теореме косинусов:f2 = b2+ c2– 2bc × cosγ
4) Подставим значения e2 и f2 в выражения для x2, получим
x2=a2 + b2–2ab× cosβ + b2 + c2– 2bc×cos γ– b2– 2ac×cosμ
x2= a2 + b2 + c2 – 2ab× cosβ– 2bc × cos γ– 2ac × cosμТеоремадоказана.
Последнее доказательство указывает на то, что теорема косинусов может быть
распространена также на вогнутые четырехугольники и треугольники с самопересечением
сторон. Для определения углов в формуле требуются стороны четырехугольника
ориентировать по обходу его контура.
Вторая теорема косинусов для четырехугольника (теорема Бретшнейдера, 1843 г),
насколько известно, редко встречается в русской и иностранной учебной литературе по
элементарной геометрии. Целесообразность знакомства с ней, этой забытой теоремой, вы
уясните из ее содержания.
Теорема 2Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сумме
квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех
четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противоположных углов.
Эта теорема названа теоремой косинусов для четырехугольника потому, что она
аналогична теореме косинусов для треугольника, стороны которого пропорциональны
произведениям ef, aс, bd, где a, b, c, d – последовательные стороны данного
четырехугольника, e и f – его диагонали. Существование такого треугольника легко может
быть установлено.
Дано:
φ – угол, φ = A + C или B +D, ABCD –
четырехугольник
a, b, c, d – стороны, e и f –диагонали
Доказать, что e2f2=a2c2 +b2d2 – 2abcd× cos φ
Доказательство:
1) Повернем ∆АВС вокруг т.А до совмещения АВ
с AD (т. В1 может лежать на AD, на ее
продолжении или совпасть с т. D).
2) ∆АВ1С1 подвергнем гомотетии, с центром в
𝐴𝐷
точке А и коэффициентом гомотетии k=𝐴𝐵1. При этом т. В1 совместится с т. D, а
∆АВ1D1займет положение ∆АDС2
𝑑
𝑒×𝑑
3) Т.к. АВ1=а, В1С=ВС1=b, AC1=AC=e, AD=dи k=𝑎, то АС2=АС1×k=
𝑎
b×𝑑
, ВС2=В1С1×k=
𝑎
ABC=AB1C1=ADC2,след. СDC2=B+C= =360 – (B+D), т.к равен сумме двух
противоположных углов данного четырехугольника.
4) Рассмотрим ∆CDC2и∆CAC2
В ∆CDC2: (СС2)2= С2 +
В ∆CАC2: (СС2)2= Е2+
𝑏2𝑐2 2𝑏𝑐𝑑
𝑎2
-
𝑎
𝑒2𝑑2 2𝑒2𝑑
𝑎2
-
𝑎
×cos (B+ D);
×cosA;
Приравняем выражения:
С2 +
𝑏2𝑐2 2𝑏𝑐𝑑
𝑎2
-
𝑎
×cos (B+ D) = Е2 +
5) Рассмотрим ∆ABD:
𝑒2𝑑2 2𝑒2𝑑
𝑎2
-
𝑎
×cosA
f2=a2+d2– 2ad ×cosA, след. cosA=
a2+d−f2
2ad
6) Подставим cosA в равенство в п.4. Получим:
С2 +
𝑏2𝑑2 2𝑏𝑐𝑑
𝑎2
-
𝑎
×cos (B+ D) = Е2 +
𝑒2𝑑2 2𝑒2𝑑
𝑎2
-
𝑎
a2+d−f2
×
2ad
Преобразуем выражение:
a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cos (ÐB+ÐD) 2d(a2e2+e2d2 – e2(a2+d2−f2))
a2
=
2a2d
ef2 = a2c2 + b2d2 − 2abcd × cos (ÐB + ÐD) - a2e2 + e2d2 + e2a2 + e2d2
e2f2 = a2c2 + b2d2 − 2abcd × cos (ÐB + ÐD)
7) Т.к. φ=A + C = B +D, тоcos(A + C)=cos (ÐB + ÐD),
след.e2f2 = a2c2 + b2d2 − 2abcd × cos(A + C)
e2f2 = a2c2 + b2d2 − 2abcd × cosφТеорема доказана
Эта теорема по аналогии с теоремой косинусов для треугольника имеет свои следствия.
Рассмотрим некоторые из них:
1) Если сумма какой-либо пары противоположных углов четырехугольника равна 90,
то квадрат произведения диагоналей равен сумме квадратов произведений
квадратов сторон четырехугольника.
Если А+ С = 90 (или же 270), то (ef)2=(ac)2+(bd)2 Это соотношение
представляет собой аналог теоремы Пифагора и в известном смысле может быть
названо теоремой Пифагора для четырехугольников.
2) В параллелограмме с острым углом, равным 45, квадрат произведения диагоналей
равен сумме четвертых степеней неравных сторон. Это следствие вытекает из
предыдущего при a=c и b=d.
3) Расстояние от вершины С прямого угла прямоугольного ∆ABС до произвольной
точки D его гипотенузы выражается формулой СD2 =
a2m2+b2n2
c2
, где a и b – катеты,
m и n – отрезки гипотенузы AB ∆ABС.
Рассмотрим вырожденный четырехугольник ABCD, у которого
BDA=180ACB=90. Очевидно, стороны четырехугольника равны a, b, m, n, а
диагонали его AB=m+n=c; CD=e, следовательно e2c2=a2m2 + b2n2 , откуда и
вытекает требуемое соотношение.
4) Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение
диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема
Плотемея).
Во вписанном четырехугольнике в окружность, сумма углов А и С равна 180 (A+С=
180), значит, (ef)2=(ac)2+(bd)2 + 2abcd или (ef)2=(ac+bd)2 , т.е. ef=ac+bd.
5) Расстояние BD между вершиной В ∆ABС и произвольной точкой D на стороне АС
1
определяется равенством: BD2=𝐴𝐶(AB2×DC + BC2×AD – AD2×DC).
Это соотношение известно, как теорема Стюарта.
Рассмотрим вырожденный простой четырехугольник ABCD, CDA=180; диагонали его
равны BD=AC=DA+DC.
Тогда: (BD×AC)2= (AB×DC)2+(BC×AD)2 –2AB×BC×DC×AD× cos(B+ 180),
но cos(B+ 180)= - cosB= -
AB2+BC2−AC2
2ABBC
, поэтому
BD2×AC2= AB2×DC2+ BC2×AD2+DC×DA(AB2+BC2-AC2)или
BD2×AC2=AB2×DC(DC+AD)+BC2×AD(AD+DC)-CD×DA×AC2
Т.е. BD2×AC2 = AB2×DC×AC+BD2×AD×AC-CD×DA×AC2
1
BD2=𝐴𝐶(AB2×DC + BC2×AD – AD2×DC)
6) Если на плоскости даны 4 точки A, B, C, D, то определяемые ими шесть отрезков
удовлетворяют неравенству:AB×CD≤AC2×BD2+ AD2×BC2+2AC×BD×AD×BC,
причем знак равенства имеет место только в двух случаях: когда данные точки
лежат на одной окружности или же эти точки лежат на одной прямой, кроме того,
пара точек А и В разделяют пару точек C и D. В этом случае, учитывая, что
AB×CD≤AC2×BD2+ AD2×BC2+2AC×BD×AD×BC, получаем, что
AB×CD≤AC×BD+ AD×BC
Если имеет место знак равенства, то B + D=180 и данные четыре точки лежат на
одной окружности или же на одной прямой.
Решение задач с использованием теоремы косинусов
Задача №1На сторонах треугольника вне его построены равносторонние треугольники.
Доказать, что центры этих треугольников являются вершинами равностороннего
треугольника.
Дано:∆ABC;
∆ABK, ∆ACN, ∆CBM – равносторонние.
О1 – центр ∆ACN, О2 – центр ∆CBM, О3 – центр ∆ABK
Доказать, что О1О2О3 – вершины равностороннего ∆О1О2О3
Доказательство:
1) По теореме косинусов определяем расстояние между
центрами О1 иО2 изчетырехугольника О1О2B1A1, где B1
иA1 – середины сторон ∆ ABC
𝑎√3
О1A1=
6
с
𝑏√3
, A1B1=2, О2B1=
6
 О1B1A1=90 + B,
,
О2B1A1 =90 + А
(О1A1, О2B1)= 180  - С=> О1О2 =
𝑎𝑐√3
𝑏𝑐√3
6
6
+
×sinB+
𝑎2+𝑏2
12
+
𝑐2
4
2𝑎𝑏
×sinA+ 12 ×cosС
1
Ноac ×sin B=bc ×sin A=2S; 2ab×cos С= a2 + b2 +c2 => (О1О2)2= (a2 + b2 +c2+ 2√3S)
6
2) Симметрия полученной формулы относительно а, b, c указывает на то, что О1О2= О2О3=
О3О1 => ∆О1О2О3 – равносторонний, что и требовалось доказать.
Задача №2
Дано: ∆ABC – равнобедренный, r – радиус
вписанной окружности
A= α, r = OD, AD – отрезокНайти: AE
Решение:
1) Опустим отрезок EF на AC
2) Пусть DC=d, ED=e, C=β, DEF=φ,
DAC=τ, B=μ, ADC=d1, EF=ρ,
EFC=π
3) По теореме косинусов для треугольника
имеем:
AD2=b2+d2 – 2bd ×cosβ
По теореме косинусов для четырехугольника имеем:
e2 = p2 + b2 + d2 − 2pd × cos μ -
-2bd × cosβ - 2bp × cosπ
e2 = p2 + AD2 − 2pd × cos μ – - 2bp × cosπ
4) Т.к. AE=AD-ED, то получим:
AE2=(AD2 – p2 - AD2 – 2pd × cos μ + 2bp × cosπ)2
AE=√( – p2 – 2pd × cos μ + 2bp × cosπ)2
AE= 2bp × cosπ– 2pd × cos μ– p2 или
AE=2AC ×EF × cosEFC – 2EF ×DC × cosABC-EF2
AE=EF(2AC × cosEFC – 2DC × cosABC-EF)
Ответ: AE=EF(2AC × cosEFC – 2DC × cosABC-EF)
Список используемой литературы:
•
З.А. Скопец «Геометрические миниатюры», Москва, 1990 г.
•
И.Ф. Шарынин «Геометрия. Задачник 9-11», Москва, 1996
•
М.И. Сканави и др. «Сборник конкурсных задач по математике для поступающих
во ВТУЗы» Москва, 1978
•
А.В. Погорелов. «Геометрия 7-11» Москва, 1996
•
«Энциклопедический словарь юного математика» Москва, 1989