Решение задач на нахождение уравнения касательной

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОУ СПО
«ФРЯЗИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ
ЭЛЕКТРОНИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ
К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
2011
0
Одобрена
Составлена в соответствии с
государственными требованиями к
минимуму содержания и уровню
подготовки выпускника по
специальности
Предметной (цикловой)
Комиссией
Радиотехнических дисциплин
Председатель:
Н.Е.Морозова
Автор:
Л.Г.Погудина-преподаватель
Рецензенты:
Фрязинского техникума
электроники, управления и
права
Данная методическая разработка предназначена для преподавателя,
работающего с группами 1-го курса по специальностям 080501
«Менеджмент», 210306 «Радиоаппаратостроение», 030504 «Право и
организация социального обеспечения». Место темы: 2-й семестр 1 курса.
1
Оглавление
Введение. ..................................................................................................................................................... 3
Часть 1. Уравнения прямых. ....................................................................................................................... 4
Часть 2. Производная. ................................................................................................................................. 5
Часть 3. Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................14
Список используемой литературы. ..........................................................................................................19
Список дополнительной литературы. .....................................................................................................19
2
Введение.
Данный вопрос особенно важен, т.к. тесно связан как с изучением
предыдущего материала (определение производной, её геометрический
смысл, построение графиков функций без помощи производных), так и с
последующим учебным материалом (применение производной для
исследования функций на монотонность и построения графиков, применение
производной к решению прикладных, в т.ч. физических задач). Для
успешного усвоения темы потребуется актуализация умений строить прямые
и выводить уравнения прямых, уметь находить производные, делать
необходимые вычисления и расчеты.
Задачи на нахождение уравнения касательной разнообразны по
сложности. Многие из них потребуют от студента способности рассуждать
логически и выстраивать план решения. В данном учебно-методическом
пособии предлагаются пошаговые схемы для студентов. Таким образом,
появляется возможность повысить уровень предлагаемых студентам заданий
и дифференцировать тем самым работу со студентами.
3
Часть 1. Уравнения прямых.
Решение задач на нахождение уравнения касательной непосредственно
связано с определением и геометрическим смыслом производной функции в
точке. Необходимо четко усвоить названные понятия. Для успешного
решения задач потребуется также четкое понимание формулы уравнения
прямой с угловым коэффициентом, условий параллельности и
перпендикулярности прямых на плоскости.
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой
степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.
Уравнение вида
называется общим уравнением прямой.
Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой
к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым
коэффициентом прямой; его обычно обоз начают буквой k:
Уравнение
называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который
отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
, то ее
угловой коэффициент определяется по формуле
Уравнение
через точку
.
является уравнением прямой, которая проходит
( ; y0 ) и имеет угловой коэффициент k.
4
Если прямая проходит через точки
( , ),
( , ), то она задана
общим уравнением (уравнением прямой, проходящей через две точки):
и ее угловой коэффициент определяется по формуле
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых
коэффициентов:
.
Если известны угловые коэффициенты и
двух прямых, то один из углов
между этими прямыми определяется по формуле:
Часть 2. Производная.
Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x 0 и x0 +∆𝑥 : f (
x0 ) и f ( x0 + ∆ x).
Здесь через
∆𝑥 обозначено некоторое малое изменение аргумента,
называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя
значениями функции: f ( x0 + ∆ x) - f ( x0 ) называется приращением
функции.
Производной функции y = f ( x ) в точке x0 называется предел:
Если этот предел существует, то функция
f ( x )
называется
дифференцируемой в точке x0 . Производная функции f ( x ) обозначается
так: 𝑓′(x)
5
Из рис.0
видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
𝑓′(x)=𝒕𝒈𝜶=
где 𝜶 - угол наклона секущей AB.
Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то
неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ
приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного
отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда
следует:
производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к
графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический
смысл производной.
Уравнение касательной.
Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 , f ( x0 ) ).
В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0 ) имеет
вид:
y = f ’( x0 ) · x + b .
Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
6
f ( x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,
отсюда, b = f ( x0 ) – f ’( x0 ) · x0 , и подставляя это выражение вместо b, мы
получим уравнение касательной:
y = f ( x0 ) + f ’( x0 ) · ( x – x0 ) .
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y =
f(x)
Этот алгоритм предложен А.Г. Мордковичем [2]. Его принципиальная идея
заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a
(вместо x0), в связи с чем, уравнение касательной приобретает вид
y = f(a) + f '(a)(x – a).
Итак, необходимо:
1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f '(x) и f '(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f '(a) в общее уравнение касательной y
= f(a) = f '(a)(x – a).
Рассмотрим, как действует данный алгоритм на конкретных примерах.
Задачи первого типа:
Задача 1.
Составьте уравнение касательной к графику функции
точке М(3;-2).
7
в
Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как f(3) = – 2.
1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.
Задача 2.
Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2,
проходящих через точку M(– 3; 6).
Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ≠ 6 (рис.
2)
1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a2 – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.
Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты
удовлетворяют уравнению касательной.
6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a2 + 6a + 8 = 0 ⇒ a1 = – 4, a2 = – 2.
Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид
y = 4x + 18.
Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид
y = 6.
Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:
8
касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);
касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).
Задача 3.
Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x2 + 3,
параллельных прямой y = 9x + 1.
Решение.
1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.
3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(a) = 3a2 – 6a.
Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо
решить уравнение
3a2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f '(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – уравнение касательной;
1) a = 3;
9
2) f(3) = 3;
3) f '(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – уравнение касательной.
Задача 4.
Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1,
проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).
Решение. Из условия f '(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1⇒ a = 4.
1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f '(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – уравнение касательной.
Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению
одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера
следующие две задачи.
1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x2 – 5x – 2, если
касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается
параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).
10
Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения
сводится к ключевой задаче 1.
1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f '(x) = 4x – 5, f '(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.
Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные
перпендикулярны, то
– угол наклона второй касательной. Из
уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем
Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен
Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.
Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда
Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.
Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда
1.
– абсцисса второй точки касания.
11
2.
3.
4.
– уравнение второй касательной.
Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще,
если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных
прямых k1•k2 = – 1
2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций
Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих
касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде,
составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).
1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y =
x2 + x + 1.
2. f(a) = a2 + a + 1.
3. f '(a) = 2a + 1.
4. y = a2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.
1.
Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции
2.
3. f '(c) = c.
12
4.
Так как касательные общие, то
Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные.
Основная цель рассмотренных задач – научиться самостоятельному
распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач,
требующих
определенных
исследовательских
умений
(умения
анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу
таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит
как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче
1) на нахождение функции по семейству ее касательных.
3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к
графику функции y = x2 + bx + c?
Решение.
Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x 2 +
bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y =
x2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t +
b)x + c – t2, а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p +
b)x + c – p2.
Составим и решим систему уравнений
Ответ:
13
Часть 3. Задачи для самостоятельного решения
1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику
функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y =
x + 3.
Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику
функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит
через точку M(2; 3)?
Ответ: a = 0,5.
3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x2 –
4x – 2?
Ответ: p1 = – 10, p2 = 2.
4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и
касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).
Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).
5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x 2 + 6x + 10
и прямой
Ответ:
6. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к
графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.
Ответ: M(2; 3).
14
7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x2 + 2x –
| 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж.
Ответ: y = 2x – 4.
8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x4 + 3x2
+ 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками.
Ответ:
9. На параболе y = x2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3.
Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы
касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?
Напишите уравнения секущей и касательной.
Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение
касательной.
10. Найдите угол 𝛂 между касательными к графику функции y = x3 –
4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.
Ответ: 𝛂 = 45°.
11. В каких точках касательная к графику функции
образует с осью Ox угол в 135°?
Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).
12. В точке A(1; 8) к кривой
проведена касательная.
Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями
координат.
Ответ:
13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам
функций y = x2 – x + 1 и y = 2x2 – x + 0,5.
Ответ: y = – 3x и y = x.
15
14. Найдите расстояние между касательными к графику функции
параллельными оси абсцисс.
Ответ:
15. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8
пересекает ось абсцисс.
Ответ: 𝛂1 = arctg 6, 𝛂2 = arctg (– 6).
16. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой
из которых к этому графику
пересекает
положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки.
Ответ: A(– 3; 11).
17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M
и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в
точках M и N.
Ответ: K(1; – 9).
18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к
графику функции y = x3 – 3x + 15?
Ответ: – 1; 31.
19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну
общую точку с графиком функции y = 2x2 + 3x – 2? Для найденных
значений k определите координаты точки.
Ответ: k1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).
20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику
функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через
точку M(1; 8)?
Ответ: b = – 3.
21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей
через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение
параболы.
16
Ответ:
22. При каком значении коэффициента k парабола y = x 2 + kx + 1
касается оси Ox?
Ответ: k = 2.
23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x2 + 4x – 3.
Ответ:
24. Определите, под какими углами пересекаются графики функций
y = 2x2 + 3x – 3 и y = x2 + 2x + 3.
Ответ:
25. При каком значении k угол между кривыми y = x 2 + 2x + k и y =
x2 + 4x + 4 будет равен 45°?
Ответ: k = – 3.
26. Найдите все значения x0, при каждом из которых касательные к
графикам функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в абсциссой
x0 параллельны.
Ответ:
27. Под каким углом видна окружность x2 + y2 = 16 из точки (8; 0)?
Ответ:
28. Найдите геометрическое место точек, из которых парабола y = x 2
видна под прямым углом?
Ответ: прямая
17
29. Найдите расстояние между касательными к графику функции
образующими с положительным направлением оси Ox
угол 45°.
Ответ:
30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x 2
+ ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1.
Ответ: прямая y = 4x + 3.
18
Список используемой литературы.
1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала
анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. – М.,
Дрофа, 1999.
2. Мордкович А. Семинар четвертый для молодых учителей. Тема
«Приложения производной». – М., «Математика», № 21/94.
3. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного
усвоения умственных действий. / Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф.
Талызиной. – М., МГУ, 1968.
4. http://mat.1september.ru/2001/16/no16_01.htm
Список дополнительной литературы.
1. О.Н.Доброва - Задания по алгебре и математическому анализу:
Пособие для учащихся 9-11 кл. общеобразоват. учреждений. –
М.Просвещение, 1996. – 352с.
2. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. – Алгебра и
анализ элементарных функций: Справочное пособие /Оформл.
Ярин – 2изд. – М: АО «Столетие», 1996 – 736с.
19