3 1) Дано уравнение кривой y x 2 x 1 , точка x 0 0 и уравнение прямой 5 x y 3 0 . Требуется: а) составить уравнения касательной и нормали к данной кривой y f x в точке с абциссой x 0 ; б) найти точку на кривой y f x , в которой касательная параллельна данной прямой. Уравнение касательной и нормали к графику функции y x в точке x 0 ; y 0 : y y0 k x x0 - касательная; 1 y y0 k x x0 - нормаль, где k y x0 а) ► Уравнение касательной в точке x 0 : y y 0 y x 0 x x 0 y x 3 2 x 1 3 x 2 2 y x 0 y 0 2 y x 0 y 0 1 y 1 2 x 0 y 1 2x y 2x 1 3 - уравнение касательной к графику функции y x 2 x 1 в точке x 0 0 . ► Уравнение нормали в точке x 0 : y y 0 y 1 x x0 x0 1 y 1 x 0 2 x y1 2 1 y x1 2 3 - уравнение нормали к графику функции y x 2 x 1 в точке x 0 0 . б) 3 Найдём точку на кривой y x 2 x 1 , в которой касательная параллельна прямой 5x y 3 0 y 5x 3 Обозначим эту точку A x A ; y A ; тогда y y A y x A x x A - касательная в этой точке; причём из условия параллельности её прямой y 5 x 3 следует, что y x A 5 (угловые коэффициенты одинаковы), а поскольку y 3 x 2 , то 2 1 3 x 2A 2 5 x 2A 1 x A1 1 y A1 2 x A2 1 y A2 4 Итак, таких точек две: A1 1 ; 4 и A1 1 ; 2 . 2) Составить уравнения касательной и нормали к графику функции, заданной параметрически; x 2t t 2 3 y 3t t в точках t 0 1 и t 1 2 . Уравнение касательной и нормали к графику функции y x в точке x 0 ; y 0 : y y0 k x x0 - касательная; 1 y y0 k x x0 - нормаль, где k y x x0 Производная данной функции: dy yt 3 3t 2 3 1 t 2 dx xt 2 2t 2 1t ► В точке t 0 1 производная функции не определена, хотя сама функция в этой точке существует. Слева и справа от этой точки функция y x убывает: t yx 10 1 10 н.с. 2 (max) (н.с. - не существует; - интервал возрастания, - интервал убывания) y x - точка t 1 - точка острого максимума. Касательная и нормаль к графику функции в данной точке не определены. ► В точке t 1 2 : yx t 2 3 1 22 9 2 1 2 2 x t 2 2 2 2 2 0 y t 2 3 2 2 3 2 y 2 y 9 x 0 2 9 x 2 - уравнение касательной. 2 2 2 y 2 x 0 9 2 y x 2 - уравнение нормали. 9 Иллюстрация к задаче: 3