ЗАДАНИЕ ДЛЯ учащихся 10 «А» класса на 3

ЗАДАНИЕ ДЛЯ учащихся 10 «А» класса на 3-10 февраля.
МОДУЛЬ: ГЕОМЕТРИЯ
Пункт учебника 25-33 (разобрать самостоятельно с обязательным просмотром видеоуроков
прикрепленных к данному заданию
Видеоурок № 1 найдете по ссылке http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10klass/mnogogranniki/ponyatie-mnogogrannika-prizma-ploschad-poverhnosti-prizmy)
С помощью этого видеоурока вы сможете самостоятельно познакомиться с темой
«Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы». В ходе занятия
учитель расскажет о том, что представляют собой такие геометрические фигуры,
как многогранник и призмы, даст соответствующие определения и объяснит их
суть на конкретных примерах.
ПЛАН УРОКА
С помощью этого урока вы сможете самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы».
Определение многогранника
Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую
некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или
многогранником.
Примеры многогранников
Рассмотрим следующие примеры многогранников:
1. Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС,
ADB, BDC и ADC (рис. 1).
Рис. 1
2. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 – это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).
Рис. 2
Основные элементы многогранников
Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.
Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.
Ребра – это стороны граней.
Вершины – это концы ребер.
Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.
Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.
Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.
Вершины: А, В, С, D.
Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 2).
Грани: параллелограммы АА1D1D, D1DСС1, ВВ1С1С, АА1В1В, ABCD, A1B1C1D1.
Ребра: АА1, ВВ1, СС1, DD1, AD, A1D1, B1C1, BC, AB, A1B1, D1C1, DC.
Вершины: A, B, C, D, A1,B1,C1,D1.
Треугольная призма
Важным частным случаем многогранника является призма.
Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 3).
Рис. 3
Равные треугольники АВС и А1В1С1 расположены в параллельных плоскостях α и β
так, что ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны.
То есть АВСА1В1С1 – треугольная призма, если:
1) Треугольники АВС и А1В1С1 равны.
2) Треугольники АВС и А1В1С1 расположены в параллельных плоскостях α и β:
ABC║А1B1C (α ║ β).
3) Ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны.
АВС и А1В1С1 – основания призмы.
АА1, ВВ1, СС1 – боковые ребра призмы.
Если с произвольной точки Н1 одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН1 на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.
Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – наклонной.
Прямая призма
Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 4). Эта призма – прямая. То есть,
ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Например, ребро АА1 перпендикулярно плоскости АВС. Ребро АА1 является высотой этой призмы.
Рис. 4
Заметим, что боковая грань АА1В1В перпендикулярна к основаниям АВС и А1В1С1,
так как она проходит через перпендикуляр АА1 к основаниям.
Наклонная призма
Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА1В1С1 (рис. 5). Здесь боковое ребро не
перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А1 перпендикуляр
А1Н на АВС, то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок
АН – это проекция отрезка АА1 на плоскость АВС.
Тогда угол между прямой АА1 и плоскостью АВС это угол между прямой АА1 и её
АН проекцией на плоскость, то есть угол А1АН.
Рис. 5
Четырехугольная призма
Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA1B1C1D1 (рис. 6). Рассмотрим,
как она получается.
1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A1B1C1D1: ABCD = A1B1C1D1.
2) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях α и β:
ABC║А1B1C (α ║ β).
3) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА1║ВВ1║СС1║DD1.
Определение. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины призмы,
не принадлежащие одной грани.
Например, АС1 – диагональ четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1.
Определение. Если боковое ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания, то
такая призма называется прямой.
Рис. 6
Параллелепипед
Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 изображен на рис. 7.
Рассмотрим, как он устроен:
1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае – равные параллелограммы ABCD и A1B1C1D1: ABCD = A1B1C1D1.
2) Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях α и β:
ABC║A1B1C1 (α ║ β).
3) Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 расположены таким образом, что боковые
ребра параллельны между собой: АА1║ВВ1║СС1║DD1.
Рис. 7
Из точки А1 опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС. Отрезок А1Н является
высотой.
Шестиугольная призма
Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).
1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1: ABCDEF
= A1B1C1D1E1F1.
2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC║А1B1C (α ║ β).
3) Шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 расположены так, что все боковые
ребра между собой параллельны: АА1║ВВ1…║FF1.
Рис. 8
Определение. Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.
Правильная призма
Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.
Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА1В1С1.
Рис. 9
Треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, это значит, что в основаниях лежат
правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также
данная призма - прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани – равные прямоугольники.
Итак, если треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, то:
1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой:
AA1 ⊥ АВС.
2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС – правильный.
Площадь поверхности призмы
Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей
всех её граней. Обозначается Sполн.
Определение. Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех
боковых граней. Обозначается Sбок.
Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:
Sполн = Sбок+ 2Sосн.
Теорема о площади боковой поверхности призмы
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Доказательство проведем на примере треугольной призмы.
Дано: АВСА1В1С1 – прямая призма, т. е. АА1 ⊥ АВС.
АА1 = h.
Доказать: Sбок = Росн ∙ h.
Рис. 10
Доказательство.
Треугольная призма АВСА1В1С1 – прямая, значит, АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С – прямоугольники.
Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников
АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С:
Sбок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = Pосн ∙ h.
Получаем, Sбок = Росн ∙ h, что и требовалось доказать.
Итоги урока
Вы познакомились с многогранниками, призмой, её разновидностями. Доказали
теорему о боковой поверхности призмы. На следующем уроке мы будем решать задачи на призму.
Рекомендованное домашнее задание
1. Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин,
ребер у такой призмы?
2. Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?
3. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите
высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.
4. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см2. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Видеоурок № 2 http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/resheniezadach-po-teme-mnogogranniki
На данном уроке мы решим несколько задач по теме «Многогранники»,
наибольшее внимание уделим пирамиде и призме, как самым распространенным
видам многогранника.
1. Правильная призма и прямой параллелепипед,
определение, свойства
Правильная треугольная призма:
Рис. 1. Правильная треугольная призма
-данная призма прямая – боковое ребро перпендикулярно плоскостям оснований;
-в основаниях лежат правильные треугольники.
2. Задача о вершинах и ребрах призмы
Задача 1
Укажите число плоскостей симметрии у правильной треугольной призмы.
Ответ: 4
Решение:
Пусть
и М – середины ребер
и АВ соответственно (рисунок 1). Вершине
соответствует плоскость симметрии
. данная плоскость является плоскостью симметрии потому что ребро АВ перпендикулярно МС по свойствам правильного треугольника и перпендикулярно
по свойствам прямой призмы. Зна-
чит ребро АВ перпендикулярно плоскости
. аналогично ребро
перпендикулярно той же плоскости. Так, при выполнении симметрии точка А перейдет в точку В и наоборот; точка
перейдет в точку
и наоборот; точки
останутся без изменений. То есть призма переходит сама в себя.
иС
Мы рассмотрели плоскость симметрии относительно вершины , таких вершин
три – значит три плоскости симметрии. Четвертая плоскость симметрии проходит
через середины боковых ребер (рисунок 2).
Рис. 2. Плоскость симметрии правильной треугольной призмы
Других плоскостей симметрии рассматриваемая призма не имеет, т. к. наличие
плоскостей симметрии связано с количеством осей симметрии в основаниях и боковых гранях фигуры.
Прямоугольный параллелепипед:
Определение.
Прямоугольный параллелепипед – это такой прямой параллелепипед, у которого в
основании лежит прямоугольник. Рис. 3.
Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед
-все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками;
-все диагонали равны между собой:
;
-квадрат диагонали равен сумме квадратов всех измерений:
;
-точка О пересечения диагоналей делит их пополам.
Задача 2
Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно трем.
Решение: пусть задана n-угольная призма. Количество вершин призмы равно удвоенному количеству вершин основания, то есть 2n, а такое число кратно двум при
любом n – мы доказали, что число вершин любой призмы четно.
Число ребер призмы состоит из ребер оснований и боковых ребер. Основания содержат 2n ребер и еще n ребер – боковые ребра. Всего призма содержит 3n ребер,
что кратно трем при любом n – мы доказали, что число ребер любой призмы кратно
трем.
3. Задачи на куб
Напомним, что куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда, все его
грани – это квадраты.
Задача 3
d – диагональ куба. Найти площадь полной поверхности куба.
Решение:
Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3
Пусть ребро куба равно , тогда по свойству прямоугольного параллелепипеда:
– это площадь одной грани, куб состоит из шести одинаковых граней, имеем
площадь полной поверхности:
Задача 4
В кубе
найти угол между скрещивающимися прямыми
и BD.
Решение:
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4
Проведем прямую
, она параллельна прямой BD. Значит искомый угол – это
угол
. Он равен
, так как треугольник
роны равны как диагонали равных квадратов.
равносторонний – его сто-
4. Правильная пирамида, определение, свойства,
задача
Определение.
Рис. 6. Правильная четырехугольная пирамида
Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр этого многоугольника (рисунок 6).
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:
Определение.
Апофемой называется высота боковой грани пирамиды.
Задача 5
В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания и высота равны 2.
Найти расстояние от центра основания до боковой грани.
Решение:
Рис. 7. Иллюстрация к задаче 5
Пусть задана пирамида с основанием ABCD и вершиной S. Из условия ABCD –
квадрат, пусть О – точка пересечения его диагоналей, тогда SO – высота пирамиды.
. Требуется найти расстояния от точки О до плоскости CSD. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра
опущенного из заданной точки на плоскость.
Пусть точка М – середина DС. Опустим перпендикуляр ОК на апофему SM. Докажем, что построенный таким образом отрезок ОК перпендикулярен всей плоскости
CSD. Поскольку CD перпендикулярно всей плоскости MOS, то ОK⊥CD. Так, ОК
есть перпендикуляр к плоскости CDS, его и требуется найти.
Рассмотрим прямоугольный треугольник MOS. В нем
треугольника DBC. Имеем
по теореме Пифагора:
как средняя линия
. SO по условию равно 2. Найдем гипотенузу MS
.
Найдем площадь рассматриваемого треугольника двумя способами:
.
5. Задача на прямую призму
Задача 6
Боковое ребро прямой призмы
равно единице.
, М – середина
. Найти
.
.
Решение:
Для наглядности произведем сечение призмы заданной плоскостью ВСМ. Для
этого проведем MN параллельно
сечением (рисунок 8).
, полученная фигура
и будет искомым
Рис. 8. Иллюстрация к задаче 7
Чтобы найти расстояние от точки
до плоскости ВСМ, нужно опустить из этой
точки перпендикуляр к плоскости. Опустим перпендикуляр
к прямой СМ и докажем, что он является перпендикуляром ко всей плоскости ВСМ.
Из условия:
Так,
., т. к.
.
перпендикулярно двум прямым из плоскости сечения ВСМ: ВС и СМ, эти
прямые пересекаются, отсюда
чит
, отсюда
;
перпендикулярно всей плоскости сечения, зна-
– искомое расстояние от точки до плоскости.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
. в нем
по условию,
. Найдем гипотенузу СМ по теореме Пифагора:
.
Запишем площадь треугольника двумя способами:
.
Итак, мы рассмотрели наиболее распространенные задачи на многогранники, уделили внимание пирамиде, призме, прямоугольному параллелепипеду. Также мы
вспомнили свойства основных многогранников.
Домашнее задание
1. Задача 1: через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна
. Найдите ребро куба и его диагональ.
2. Задача 2: диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом
. Найдите площадь сечения, проходящего
через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна
.
3. Задача 3: основание призмы – правильный треугольник АВС. Боковое ребро
образует равные углы со сторонами АС и АВ. Докажите: 1.
2.
– прямоугольник.
;