Решение неравенств. Метод интервалов.

«Решение неравенств повышенной сложности обобщённым методом
интервалов»
Попова М. И., учитель математики ГБОУ СОШ №304, г. Москва
тел. 8–903–779–83–57, e-mail: rika.popova@gmail.com
Одной из актуальных задач, стоящей перед учителем математики в
современной школе, является задача развития математических способностей
учащихся, воспитание их творческой активности, а также формирование
системы математических знаний, приёмов и навыков. Умение решать задачи
повышенной сложности характеризуется как глубиной усвоения «базового»
курса, так и овладением различными математическими приёмами и
методами, выходящими за рамки основного курса.
При подборе задач школьного курса математики, безусловно, необходимы
задачи, нацеленные на отработку того или иного математического навыка,
задачи иллюстративного характера, тренировочные упражнения,
выполняемые по образцу. Но не менее необходимы задачи, направленные
на пробуждение у учеников устойчивого интереса к изучению математики.
Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач
повышенной сложности, следует учить их наблюдать, пользоваться
аналогией, сравнением и делать соответствующие выводы, развивать
логическое мышление.
Предлагаемый материал знакомит учащихся с обобщённым методом
интервалов, который является одним из наиболее простых и эффективных
методов решения неравенств, содержащих различные функции. К
сожалению, в большинстве учебников и учебных пособий этот метод
рассмотрен применительно к дробно-рациональным неравенствам и не
показано его использование для решения неравенств иррациональных,
1
показательных, логарифмических, неравенств смешанного типа, а также
неравенств, содержащих модули.
Метод интервалов основан на следующем свойстве непрерывных функций:
Если на интервале (a; b) функция f непрерывна и не обращается
в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.
Пусть функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном
числе точек этого интервала. По сформулированному выше свойству
непрерывных функций этими точками интервал I разбивается на “более
мелкие” интервалы так, что на этих интервалах исходная “сложная” задача
упрощается, т.к. обладает определёнными свойством, например, свойством
сохранения знака.
В качестве примера решим неравенство:
Пример 1
(𝑥 − 2)2 (𝑥 + 4)
≤0
𝑥−1
Решение.
1) Рассмотрим функцию f(x) =
(𝑥−2)2 (𝑥+4)
𝑥−1
и найдём значения x, при
которых f(x)≤0
2) Найдём область определения функции f(x).
D(f): x≠1, следовательно, D(f)=(-∞;1) U (1;+∞)
3) Найдём нули функции:
f(x)=0, при x=2 и x=-4
4) Точки x=-4, x=1, x=2 делят числовую прямую на промежутки, в каждом
из которых функция f(x) непрерывна и сохраняет постоянный знак.
2
+
-
+
+
x
-4
1
2
Для определения знаков, в полученных промежутках используем следующие
правила:
а) т.к. внутри рассматриваемого промежутка знак неравенства не меняется,
то для определения знака функции f(x) выбирается какая-либо “удобная”
точка внутри этого промежутка и вычисляется значение функции в этой
точке.
б) если точки неравенства (т.е. корни числителя или корни знаменателя или
корни числителя и знаменателя в совокупности) имеют нечётную кратность,
то при переходе через эту точку знак неравенства меняется, если указанные
точки имеют чётную кратность, то при переходе через неё знак неравенства
не меняется. (Для исключения ошибок желательно определить знак функции
f(x) в каждом из промежутков в “удобной” точке.)
Пусть x>2, тогда f(5)>0 (“5” – удобная точка промежутка [2; +∞)
Пусть 1<x<2, тогда f(1,5)>0
Пусть -4<x<1, тогда f(0)<0
Пусть x<-4, тогда f(-5)>0
5) Таким образом, f(x) ≤0 при x є [-4; 1) U {2} Ответ:[-4;1)U{2}
Рассмотрим применение этого метода для решения иррациональных
неравенств.
Пример 2 (𝑥 2 − 9)√𝑥 + 2≥0
1) Рассмотрим функцию f(x)= (𝑥 2 − 9)√𝑥 + 2
3
2) D(f): x+2≥0; x≥-2; D(f)=[-2; +∞).
3) Найдём нули функции.
f(x)=0, если (𝑥 2 − 9)√𝑥 + 2=0. Произведение двух множителей равно
нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не
теряет смысла.
𝑥 2 − 9 = 0 или √𝑥 + 2=0
x=3
[x=−3
x=-2
Число (-3) не является корнем, т.к. при этом подкоренное выражение
отрицательно.
4) На числовую прямую наносим область определения функции
D(f)=[-2; +∞) и нуль функции x=3, который разбивает область
определения на два промежутка, в каждом из которых функция
непрерывна и сохраняет постоянный знак.
-2
Определяем знак функции в
каждом промежутке, пользуясь
правилом “удобной” точки
+
3
x
Если x>3, f(5)>0
Если -2<x<3, f(0)<0
5) Таким образом, f(x)≥0 при x є [3; +∞) U {- 2}. Ответ:[3;+∞)U{-2}.
Из анализа полученного ответа следует, что особое внимание следует
уделить концам промежутков и границам области определения. Такие
точки могут как принадлежать множеству решений неравенства, так и не
принадлежать, что надо дополнительно выяснять, подставляя их значения
в неравенство.
Пример 3
4
√𝑥 + 2 − √3 − 𝑥 > 1
или
√𝑥 + 2 − √3 − 𝑥 − 1 > 0
1) Рассмотрим функцию f(x)=√𝑥 + 2 − √3 − 𝑥 − 1
𝑥+2≥0
2) D(f): {
;
3−𝑥 ≥0
𝑥 ≥ −2
; D(f)=[-2;3]
{
𝑥≤3
3) Нули f(x): √𝑥 + 2 − √3 − 𝑥 − 1=0
√𝑥 + 2 = √3 − 𝑥 + 1;
X + 2 = 3 − x + 2√3 − 𝑥 + 1;
√3 − 𝑥 = 𝑥 − 1;
𝑥 = −1
𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0; [
𝑥=2
Проверка: 𝑥 = −1; √1 − √4 = 1 равенство неверное,
𝑥 = 2; √4 − √1 = 1 равенство верное,
следовательно, уравнение имеет единственный корень x=2
4) Наносим область определения и нули функции на числовую прямую и
определяем знак функции на каждом из промежутков с помощью
удобной точки.
5)
f(0)<0
−
-2
+
2
f(2,5)>0
3
x
5
Проверим знак функции на границах области определения: f(-2)<0, f(3)>0,
следовательно, f(x)>0, при x є (2: 3]. Следует обратить внимание на то, что
x=3 является решением неравенства, хотя неравенство является строгим.
Ответ:(2;3].
Пример 4 (ЕГЭ 8. 12 2009 г.)
3
(𝑥 + 𝑥) ∗ (
√𝑥 2 −6𝑥+9−1
√5−𝑥−1
2
) ≥ 4(
√𝑥 2 −6𝑥+9−1
√5−𝑥−1
2
)
Решение
Преобразуем неравенство, разложив его на множители:
(
√𝑥 2 −6𝑥+9−1
√5−𝑥−1
2
3
) (𝑥 + 𝑥 − 4) ≥ 0
1) Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) = (
𝑥≠0
√5 − 𝑥 − 1 ≠ 0
2) D(f):{
;
5−𝑥 ≥0
(𝑥 − 3)2 ≥ 0
√(𝑥−3)2 −1
√5−𝑥−1
2
𝑥 2 −4𝑥+3
) (
𝑥
)
𝑥≠0
𝑥≠4
{
𝑥≤5
𝑥∈𝑅
Следовательно 𝐷(𝑓) = (−∞; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 5]
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0
𝑥 = 1; 𝑥 = 3 𝑥 = 1; 𝑥 = 3
3)Нули 𝑓(𝑥): [
;
[
[
|𝑥 − 3| = 1 𝑥 = 4; 𝑥 = 2
√(𝑥 − 3)2 − 1 = 0
X=4 корнем не является, так как при этом знаменатель √5 − 𝑥 − 1
обращается в нуль.
4) Наносим на числовую прямую область определения f(x) и нули f(x) и
определяем знаки f(x) в полученных интервалах, причем так как первый
множитель f(x) всегда положительный, достаточно определить знаки только
второго множителя.
6
5) Таким образом, 𝑓(𝑥) ≥ 0 при 𝑥 ∈ (0; 1] ∪ {2} ∪ [3; 4) ∪ (4; 5]
Ответ:(0;1]U{2}U[3;4)U(4;5]
Используем метод интервалов для решения неравенств с модулями
Пример 5
|𝑥 2 − 5𝑥| < 6
Решение
Перепишем неравенство в виде: |𝑥 2 − 5𝑥| − 6 < 0
1) Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 5𝑥| − 6
2)𝐷(𝑓) = 𝑅
3) Нули f(x): |𝑥 2 − 5𝑥| = 6
2
2
𝑥 = −1; 𝑥 = 6
[ 𝑥2 − 5𝑥 = 6 ; [𝑥 2 − 5𝑥 − 6 = 0 ; [
𝑥 − 5𝑥 + 6 = 0 𝑥 = 2; 𝑥 = 3
𝑥 − 5𝑥 = −6
4)Нанесем нули f(x) на числовую прямую и определим знак функции f(x) в
каждом из интервалов
6) 𝑓(𝑥) < 0, при 𝑥 ∈ (−1; 2) ∪ (3; 6) Ответ: (−1; 2)U(3; 6)
Пример 6
|𝑥 2 − 𝑥 − 2| − |𝑥 2 + 𝑥 + 12| ≥ 0
1) Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 𝑥 − 2| − |𝑥 2 + 𝑥 − 12|
2)D(f)=R
3) Нули f(x):
7
2
2
|𝑥 2 − 𝑥 − 2| = |𝑥 2 + 𝑥 − 12| ; [ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 𝑥 2+ 𝑥 − 12 ;
𝑥 − 𝑥 − 2 = −𝑥 − 𝑥 + 12
𝑥=5
2𝑥 = 10
[ 2
;[
2𝑥 = 14 𝑥 = ±√7
4) Нанесем нули f(x) на числовую прямую и определим знаки f(x) в
полученных интервалах
При 𝑥>5,𝑓(10)<0
При √7<𝑥<5,𝑓(3)>0
При−√7<𝑥<√7,𝑓(0)<0
При 𝑥<−√7,𝑓(−10)>0
5)𝑓(𝑥) ≥ 0, при 𝑥 ∈ (−∞; −√7] ∪ [√7; 5]
Ответ: (−∞; −√7] ∪ [√7; 5].
Метод интервалов представляется целесообразным и при решении
показательных и логарифмических неравенств, в частности в неравенствах, в
которых вводится замена переменной.
Пример 7
4𝑥 − 2𝑥+1 − 8 > 0
Решение
1) Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 2𝑥+1 − 8
2) D(f)=R
3) Нули f(x): 22𝑥 − 2 ∙ 2𝑥 − 8 = 0
Пусть 2𝑥 = 𝑡; 𝑡 > 0
𝑡 2 − 2𝑡 − 8 = 0
𝑡1 = 4
𝑡2 = −2 (не удовлетворяет условию 𝑡 > 0)
Обратная замена: 2𝑥 = 4; 𝑥 = 2
4) Наносим на числовую прямую нули f(x) и определяем знаки f(x) в
полученных интервалах
8
5) 𝑓(𝑥) > 0, при 𝑥 ∈ (2; +∞)
Ответ: (2; + ∞)
Пример 8
4
2
−1
𝑥
− 15 ∙ 2
2
−2
𝑥
−4≥0
Решение
2
2
1
4
1) Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) = 4𝑥−1 − 15 ∙ 2𝑥−2 − 4 = ∙ 2𝑥 −
4
15
4
2
∙ 2𝑥 − 4
2) D(f): 𝑥 ≠ 0;
𝐷(𝑓) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)
1
4
3) Нули f(x): ∙ 2𝑥 −
4
15
4
2
∙ 2𝑥 − 4 = 0
2
Пусть 2𝑥 = 𝑡; 𝑡 > 0
𝑡 2 − 15𝑡 − 16 = 0
𝑡1 = 16
𝑡2 = −1 (не подходит, так как 𝑡 > 0)
2
Обратная замена: 2𝑥 = 16
2
2𝑥 = 24
2
𝑥
=4
𝑥=
1
2
4) Наносим на числовую прямую область определения и нули f(x) и
определяем знаки в полученных интервалах
1
5) 𝑓(𝑥) ≥ 0, при 𝑥 ∈ (0; ].
2
1
Ответ: (0; ]
2
9
Пример 9
1
4
log0,1 (2𝑥+ )
lg(𝑥 2 +1)
≥0
1) Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) =
1
1
4
log0,1 (2𝑥+ )
lg(𝑥 2 +1)
; 𝑓(𝑥) =
1
4
− lg(2𝑥+ )
lg(𝑥 2 +1)
1
2𝑥 + > 0
𝑥>−
8
2) 𝐷(𝑓): { 𝑥 2 + 1 > 0 { 𝑥 ∈ 𝑅
lg(𝑥 2 + 1) ≠ 0 𝑥 ≠ 0
4
1
𝐷(𝑓) = (− ; 0) ∪ (0; +∞)
8
1
3) Нули f(x): lg (2𝑥 + ) = 0
4
1
2𝑥 + = 1
4
𝑥=
3
8
4) Наносим область определения и нули функции на числовую прямую и
определяем знаки f(x) в полученных интервалах.
Чтобы упростить определение знаков логарифмической функции
следует учитывать, что:
log 𝑎 1 = 0; log 𝑎 𝑎 = 1 ; log 𝑎 𝑏 < 0 , если 𝑏 < 1, 𝑎 > 1
1
4
3
lg 2
8
lg 2
При 𝑥 > , 𝑓(1) = −
3
1
<0
При 0 < 𝑥 < , 𝑓 ( ) = −
8
8
1
1
1
2
1
lg 1
64
lg
При − < 𝑥 < 0, 𝑓 (− ) = −
8
16
>0
1
8
1
lg 1
256
lg
>0
10
1
3
1
3
8
8
8
8
5) Таким образом, 𝑓(𝑥) ≥ 0 при 𝑥 ∈ (− ; 0) ∪ (0; ] . Ответ: (− ; 0) ∪ (0; ]
Пример 10
log 3 𝑥 − log 𝑥 3 −
3
≥0
2
3
1) Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) = log 3 𝑥 − log 𝑥 3 −
2
𝑥>0
2) 𝐷(𝑓): {
; 𝐷(𝑓) = (0; 1) ∪ (1; +∞) .
𝑥≠1
3) Нули 𝑓(𝑥): log 3 𝑥 −
1
log3 𝑥
3
− =0;
2
1
3
𝑦
2
Пусть log 3 𝑥 = 𝑦 , тогда 𝑦 − − = 0 ; 2𝑦 2 − 3𝑦 − 2 = 0 ; 𝑦1 = 2 ;
𝑦2 = −
1
2
log 3 𝑥 = 2
𝑥=9
1
Обратная замена: [
1; [
𝑥=
log 3 𝑥 = −
√3
2
4) Нанесём область определения и нули функции на числовую прямую и
определим знаки 𝑓(𝑥), в полученных интервалах:
1
0
Если 𝑥 > 9,
𝑓(10) = log 3 10 −
Если 1 < 𝑥 < 9,
1
√3
1
√3
9
1
log3 10
𝑓(3) = log 3 3 −
< 𝑥 < 1,
Если 0 < 𝑥 <
+
1
√3
Если
−
+
,
− 1,5 > 0
1
log3 3
𝑓(0,8) = log 3 0,8 −
− 1,5 < 0
1
log3 0,8
𝑓(0,1) = log 3 0,1 −
11
𝑥
− 1,5 > 0
1
log3 0,1
− 1,5 < 0
5) 𝑓(𝑥) ≥ 0, при 𝑥 ∈ [
1
√3
; 1] ∪ [9; +∞].
Ответ: [
1
√3
; 1] ∪ [9; +∞]
Рассмотрим применение метода интервалов к решению неравенств
смешанного типа:
Пример 11
√𝑥 + 3 + 𝑥 + 1
>0
|2𝑥 + 5| − 𝑥 − 6
√𝑥+3+𝑥+1
1) Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) = |2𝑥+5|−𝑥−6 .
𝑥 ≥ −3
𝑥 ≥ −3
𝑥+3≥0
2) 𝐷(𝑓): {
; { 2𝑥 + 5 ≠ 𝑥 + 6 ; { 𝑥 ≠ 111;
|2𝑥 + 5| ≠ 𝑥 + 6 [
2𝑥 + 5 ≠ −𝑥 − 6 𝑥 ≠ − 3
𝐷(𝑓) = [−3; 1) ∪ (1; +∞) .
3) Нули 𝑓(𝑥): √𝑥 + 3 + 𝑥 + 1 = 0; √𝑥 + 3 = −(𝑥 + 1)
2
2
𝑥 = −2, 𝑥2 = 1
{𝑥 + 3 = 𝑥 + 2𝑥 + 1 ; {𝑥 + 𝑥 − 2 = 0 ; { 1
𝑥 ≤ −1
−𝑥 − 1 ≥ 0
𝑥 ≤ −1
Уравнение имеет единственный корень 𝑥 = −2
4) Нанесём область определения и нули 𝑓(𝑥) на числовую прямую и
определим знаки 𝑓(𝑥) в полученных интервалах
−
+
−3
+
−2
𝑓(5) > 0 ; 𝑓(0) < 0 ;
1
𝑓(−2,5) > 0 ;
5) 𝑓(𝑥) > 0 при 𝑥 ∈ [−3; −2) ∪ (1; +∞)
12
𝑥
𝑓(−3) > 0 .
Следует обратить внимание на то, что хотя неравенство строгое,
значение 𝑥 = −3 является решением, т. к. 𝑓(−3) > 0 .
Ответ: [−3; −2) ∪ (1; +∞)
Литература:
1) С. М. Саакян «11класс –Экзамен по алгебре и началам анализа»
Издательство «Вербум-М» 2001 г
2) В. В. Сильвестров «Обобщенный метод интервалов» Издательство
Чувашского университета. 1998 г
3) А. М. Замбржицкий «Как решать экзаменационные задачи по алгебре и
началам анализа». Издательство «Sapienti-sat» 2001 г
13