Урок № 38, №39 (спаренный) в 9 классе по учебнику... др. Тема урока «Область определения функции».

Урок № 38, №39 (спаренный) в 9 классе по учебнику Ш. А. Алимова и
др.
Тема урока «Область определения функции».
Цели урока.
1. Образовательные.
1-1
Актуализировать понятие графика функции. Углубить
понятие функции за счет рассмотрения графического способа
задания.
1-2
Формировать умение находить область определения
функции при графическом способе задания.
1-3
Закреплять умение определять естественную область
определения функции и установить зависимость между
нахождением аргумента в знаменателе дроби или под знаком
радикала и естественной областью определения.
2. Развивающие.
2-1
Способствовать развитию умения сравнивать, анализировать
и выбирать нужный вариант.
2-2
Способствовать развитию самостоятельного мышления.
3. Воспитательные.
3-1
Создавать условия для установления причинноследственных связей.
3-2
Воспитывать умение математически грамотно выражать
свои мысли.
3-3
Создавать условия для осуществления взаимоконтроля.
3-4
Расширять знания учеников об истории развития
математики.
План урока.
①Введение.
②Повторение и углубление понятий.
③Проверка домашнего задания.
④Решение задач.
⑤Самостоятельная работа.
⑥Выполнение творческого задания.
⑦Дополнительное задание.
⑧Итог урока и домашнее задание.
Ход урока.
① Введение.
1-1
Здравствуйте, ребята. Сегодня мы продолжаем изучать тему
«Область определения функции».
1-2
Цель нашего урока
1) Вспомнить определение графика функции и углубить
представление о функции за счет рассмотрения графического
способа задания.
2) Потренироваться в нахождении области определения функции при
графическом и аналитическом способе задания.
3) Попытаться выполнить творческое задание на конструирование
функции с заранее известной областью определения.
1-3
Пока мы будем устно повторять изученные ранее понятия,
один человек подготовит на доске решение домашнего задания
№159 (1,3,4). В случае, если задание будет выполнено, то пройти
на свое место и подключиться к работе со всем классом.
② Повторение и углубление понятий.
2-1
Повторим определение функции (соответствие между двумя
множествами, при котором каждому элементу из первого
множества соответствует только один элемент из второго
множества), название множеств (область определения функции и
множество значений функции), названия элементов данных
множеств (независимая переменная или аргумент и зависимая
переменная).
2-2
Вспомнить определение графика функции. Если возникли
затруднения, то можно предложить прочесть определение по
учебнику. (Стр. 66. Напомним, что графиком функции называется
множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых
равны значениям независимой переменной из области
определения этой функции, а ординаты – соответствующим
значениям функции.)
2-3
Работа с презентацией «Примеры соответствий, заданных
графически». Рассматривая каждое соответствие, заданное
графически, ученики должны ответить на вопрос «Является ли
данное соответствие функцией?» и обосновать свое мнение на
основе определения функции.
1ый слайд – заголовок «Примеры соответствий, заданных
графически».
2ой слайд – задание «Выяснить, определяет ли данный график
функцию».
Далее следуют слайды, на которых изображены графики
соответствий.
2-4
Работа с презентацией «Нахождение области определения
функций, заданных графически».
1ый слайд – заголовок.
2ой слайд – задание «Среди всех соответствий, заданных графически,
выявить то, которое не является функцией, найти область
определения каждой из функций и изобразить соответствующее
множество на оси ОХ».
На следующих слайдах графически задаются соответствия. Ученики
устно отвечают на вопрос: «Является ли данное соответствие
функцией?», а затем, если задана функция, то изображают ее область
определения на числовых осях ОХ. (Листы с изображением 9ти
числовых осей ОХ раздать заранее).
Последние три слайда различаются значениями, соответствующими
значению аргумента х=1. На 7ом слайде крайняя правая точка
верхнего отрезка не принадлежит ему, крайняя левая точка нижнего
отрезка – принадлежит. На 8ом слайде обе эти точки не принадлежат
отрезкам, а на 9ом слайде – обе точки принадлежат отрезкам. Таким
образом, только на последнем слайде соответствие не является
функцией.
По окончании ученики обмениваются выполненной работой с
соседом и проверяют ее по следующим далее чертежам,
являющимися ответами к этим заданиям и ставят друг другу оценку,
исходя из следующих критериев: «отлично» - 7-8 верных ответов;
«хорошо» - 6 верных ответов; «удовлетворительно» - 4-5 верных
ответов; «неудовлетворительно» - 3 и менее верных ответов. В
журнал данные оценки выставлять не обязательно.
③ Проверка домашнего задания.
№157.
Функция задана формулой 𝑦(𝑥) =
𝑥+5
.
𝑥−1
1
1) Найти 𝑦(−2), 𝑦(0), 𝑦 ( ) , 𝑦(3).
2
2) Найти значение 𝑥, если 𝑦(𝑥) = −3, 𝑦(𝑥) = −2, 𝑦(𝑥) = 13, 𝑦(𝑥) = 19.
В учебнике имеются ответы к каждому заданию этого номера, а
потому на нем следует подробнее остановиться только в том случае,
когда возникли вопросы. Для проверки осмысленности выполнения
можно спросить о способе решения отдельных заданий и
полученных при этом результатах.
№159 (1, 3, 4). Найти область определения функции.
1) 𝑦 =
2𝑥
𝑥 2 −2𝑥−3
.
Решение:
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 ≠ 0
𝑥 ≠ 3; 𝑥 ≠ −1
Ответ: 𝐷(𝑦): (−∞; −1) ∪ (−1; 3) ∪ (3; +∞)
8
3) 𝑦 = √3𝑥 2 − 2𝑥 + 5.
Решение:
3𝑥 2 − 2𝑥 + 5 ≥ 0
Найдем корни выражения, стоящего в левой части неравенства:
3𝑥 2 − 2𝑥 + 5 = 0 .
𝐷 = 4 − 4 ∙ 3 ∙ 5 < 0, значит действительных корней нет, а так как
старший коэффициент 3 > 0, то значение выражения 3𝑥 2 − 2𝑥 + 5 >
0 при любом значении 𝑥.
Ответ: 𝐷(𝑦): (−∞; +∞).
6
4) 𝑦 = √
2𝑥+4
3−𝑥
.
Решение:
2𝑥+4
3−𝑥
≥0
Корень числителя −2, корень знаменателя 3.
−2
−
+
3
−
𝑥
𝑥 ∈ [−2; 3)
Ответ: 𝐷(𝑦): [−2; 3).
④ Решение задач.
Задание – на слайде: найти область определения функции. Примеры
появляются по мере выполнения. В зависимости от класса их можно
частично решать устно.
1) 𝑦 =
3
2𝑥+4
2
2) 𝑦 = 𝑥 + 5𝑥 + 4
3) 𝑦 =
1
𝑥 2 +5𝑥+4
4) 𝑦 = √𝑥 2 + 5𝑥 + 4
5) 𝑦 =
6) 𝑦 =
√𝑥 2 +5𝑥+4
𝑥+1
𝑥+1
√𝑥 2 +5𝑥+4
7) 𝑦 = √
𝑥 2 +5𝑥+4
𝑥+4
+ √𝑥 2 + 6𝑥 + 5
Задания ученики выполняют по очереди на доске.
Ответы к заданиям:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
𝑥 ≠ −2
(−∞; +∞)
𝑥 ≠ −1; 𝑥 ≠ −4
(−∞; −4] ∪ [−1; +∞)
(−∞; −4] ∪ (−1; +∞)
(−∞; −4) ∪ (−1; +∞)
(−∞; −5] ∪ [−1; +∞).
Выполнение задания призвано сформировать понимание того, как
знаменатель дроби и подкоренное выражение (в случае, когда имеем
корень четной степени) влияют на формирование области
определения функции.
⑤ Самостоятельная работа.
Ученики получают текст, содержащий исторические сведения о
возникновении понятия «функция» с пропуском фамилии одного из
основоположников создания теории функций, на доске при этом
вывешивается его портрет без указания имени.
1 вариант.
Первые попытки очертить контуры понятия «функция»
предпринимались в конце ХVII века. Одним из родоначальников
математического анализа являлся Готфрид Вильгельм _________________
, который и являлся автором самого термина.
Учениками и последователями великого математика являлись
братья Иоганн и Якоб Бернулли. Иоганн Бернулли вкладывал в
понятие вот какой смысл: функция – «выражение, составленное
каким-то образом из переменной величины и постоянных
величин».
2 вариант.
Термин «функция» происходит от латинского слова «functio»,
что означает «выполнение, осуществление». Ввел его немецкий
математик
_______________ , который понимал под функцией аналитическое
выражение.
Один из его последователей Леонард Эйлер понимал под
функцией также аналитическое выражение, но был готов и к тому,
чтобы принять более широкое толкование: функция – это то, что
можно «вычертить карандашом на листе бумаги».
Одна и та же функция могла быть задана различными
способами. Леонард Эйлер был с этим знаком. Так функция 𝒚 = |𝒙|
может быть задана:
- аналитически другим способом 𝒚 = √𝒙𝟐 .
- геометрически как объединение биссектрис первого и
второго координатных углов.
- описанием: значение функции принимает значение
аргумента, если он неотрицателен; и противоположное ему
значение, если аргумент отрицателен.
Кроме текста ученики получают задание, выполнение которого
поможет восстановить имя ученого.
Вариант 1.
Найти область определения функции и выбрать нужный ответ вместе с
буквой. Если ответы будут найдены верно, то из букв составится
фамилия математика XVII века:
1
1) 𝑦 =
3𝑥+2
2) 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 2
1
3) 𝑦 = 2
4) 𝑦 =
5) 𝑦 =
6) 𝑦 =
𝑥 +3𝑥+2
√𝑥 2 + 3𝑥
+2
√𝑥 2 +3𝑥+2
𝑥+1
𝑥+1
(−∞; +∞)
Е
(−∞; −2] ∪ [−1; +∞)
Б
(−∞; −2) ∪ (−1; +∞)
И
2
2
(−∞; − ) ∪ (− ; +∞)
Л
3
3
(−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪
(−1; +∞)
Й
 (−∞; −2] ∪ (−1; +∞)
Н
 (−∞; −3] ∪ [−1; +∞)
Ц





√𝑥 2 +3𝑥+2
7) 𝑦 = √
𝑥 2 +3𝑥+2
𝑥+2
--------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 2
Найти область определения функции и выбрать нужный ответ вместе с
буквой. Если ответы будут найдены верно, то из букв составится
фамилия математика XVII века:
2
1) 𝑦 =
4𝑥+1
2) 𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3
1
3) 𝑦 = 2
4) 𝑦 =
5) 𝑦 =
6) 𝑦 =
𝑥 +4𝑥+3
√𝑥 2 + 4𝑥
√𝑥 2 +4𝑥+3
𝑥+1
𝑥+1
√𝑥 2 +4𝑥+3
+3
1
1
 (−∞; − ) ∪ (− ; +∞)
4
4
 (−∞; −3) ∪ (−3; −1) ∪
(−1; +∞)
 (−∞; −3] ∪ (−1; +∞)
 (−∞; −3) ∪ [−1; +∞)
 (−∞; +∞)
 (−∞; −3] ∪ [−1; +∞)
Л
Й
Н
Ц
Е
Б
7) 𝑦 = √
𝑥 2 +4𝑥+3
𝑥+3
+ √𝑥 2 + 3𝑥 + 2
 (−∞; −3) ∪ (−1; +∞)
И
Зашифрованной оказывается имя Лейбница.
Выполнение данной работы позволяет закрепить знание материала
предыдущей части, а также получить некоторые сведения об истории
развития изучаемого понятия.
После выполнения задания производится чтение текстов первого и
второго вариантов с указанием пропущенного имени, листы с
решениями сдаются на проверку.
⑥ Выполнение творческого задания.
Функция задана аналитически 𝑦 = √𝑥 2 − 8𝑥 + 7.
1) Найти область определения функции.
2) Изменить выражение, задающее функцию так, чтобы
а) 𝐷(𝑦): (−∞; +∞);
б) 𝐷(𝑦): (−∞; 1) ∪ (7; +∞);
в) 𝐷(𝑦): [1; 7];
г) 𝐷(𝑦): (1; 7) .
Ответы:
1) 𝐷(𝑦): (−∞; 1] ∪ [7; +∞).
2) Примеры выражений с заданной областью определения функции:
а) 𝑦 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 7;
б) 𝑦 =
в) 𝑦 =
г) 𝑦 =
1
;
√𝑥 2 −8𝑥+7
√−𝑥 2 + 8𝑥
1
− 7;
.
√−𝑥 2 +8𝑥−7
⑦ Дополнительное задание (Использовать в случае, если будут
ученики, справившиеся с заданием намного раньше других).
№1.
Найти область определения функции 𝑦 = √3𝑥 + 4 −
1
.
√−2𝑥 2 −5𝑥−2
Решение:
3𝑥 + 4 ≥ 0
𝐷(𝑦): {
−2𝑥 2 − 5𝑥 − 2 > 0
1) 3𝑥 + 4 ≥ 0
1
𝑥 ≥ −1
3
2) −2𝑥 2 − 5𝑥 − 2 > 0
2𝑥 2 + 5𝑥 + 2 < 0
2𝑥 2 + 5𝑥 + 2 = 0
𝐷=9
−5 ± 3
𝑥=
; 𝑥1 = −2; 𝑥2 = 0,5.
4
−2 < 𝑥 < 0,5
+
−2
−
0,5 +
𝑥
−1
1
𝑥
≥
−1
{
3
−2 < 𝑥 < 0,5
1
1
3
2
1
3
−2
𝑥
0,5
𝑥
Ответ: 𝐷(𝑦): [−1 ; ).
6
№2. Найти область определения функции 𝑦 = √4 − 𝑥|𝑥|.
Решение:
𝑥≥0
{
2
[ 4−𝑥 ≥0
𝑥<0
{
4 + 𝑥2 ≥ 0
𝑥≥0
{
−2 ≤ 𝑥 ≤ 2
0≤𝑥≤2
[ 𝑥<0
[
𝑥<0
{
2
4 + 𝑥 ≥ 0 − верно всегда
(−∞; 2]
Ответ: 𝐷(𝑦): (−∞; 2].
⑧ Подведение итогов урока и запись домашнего задания.
8-1
А теперь подведем итоги урока, вспомним, чему сегодня
научились.
1) Рассмотрели понятие функции и ее области определения с точки
зрения графического способа задания.
2) Закрепили умение находить естественную область определения
функции.
3) Установили, как изменение положения аргумента в знаменателе
или под знаком радикала при аналитическом способе задания
функции влияет на область определения данной функции.
4) Далее дети самостоятельно добавляют, чему лично они научились
на уроке.
8-2
Запишем домашнее задание.
1) §12 (повторить определение графика функции).
2) Вспомнить метод сдвигов при построении графиков (для тех,
кто забыл - задача №3 в тексте §12) и выполнить №169 (1,3).
3) Задание на сайте. «Функция задана формулой 𝑦 = √𝑥 2 + 6𝑥 + 5.
Определить 𝐷(𝑦). Изменить формулу так, чтобы
3-а) 𝐷(𝑦): (−∞; −5) ∪ (−1; +∞)
3-б) 𝐷(𝑦): (−∞; −5] ∪ (−1; +∞)
3-в) 𝐷(𝑦): (−∞; −5) ∪ [−1; +∞).»