ЗАНЯТИЕ 7. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ. Необходимые сведения из теории Абсолютной величиной (модулем) числа х (обозначается |х|) называется само это число, если оно положительно или равно 0, и противоположное ему число, если это число отрицательно. В формальной записи: х, если х 0; х х, если х 0. Геометрически |х| - это расстояние от точки х координатной прямой до начала координат. Свойства модуля: 1) х 0 ; 2) х х ; 3) ху х у ; 4) х х , если у 0 ; 5) у у х2 х ; 6) х n х , n Z ; n 7) а) х у х у ; б) х у х у х и у одного знака; 8) а) х у х у ; б) х у х у х и у одного знака. Стандартный алгоритм решения уравнений и неравенств с модулем. Для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, имеется стандартный алгоритм, вытекающий из самого определения модуля: «освободиться» от символа модуля всегда можно, рассмотрев возможные знаки Авторские материалы Стахановой П.А. выражения, стоящего под этим символом или все необходимые комбинации знаков, когда символов модуля несколько. Главное при этом – не ошибиться при рассмотрении возможных комбинаций и не забыть проверить, удовлетворяют ли корни, полученные в каждом конкретном случае, условиям этого случая. Нестандартные способы решения уравнений и неравенств с модулем. 1. Уравнения вида f ( x) g ( x) . g ( x) 0, f ( x) g ( x) f ( x) g ( x), f ( x) g ( x). 2. Уравнения вида f ( x) g ( x) . f ( x) g ( x), f ( x) g ( x) f ( x) g ( x). 3. Уравнения вида f f f f f 0. 4. Уравнения вида f f f f f 0. 5. Уравнения вида f g f g f g, f g f g f 0, g 0. 6. Уравнения вида f g g f f g, f g g f f 0, g 0. Авторские материалы Стахановой П.А. 7. Уравнения вида f g f g f 0, f g f g g 0. 8. Уравнения вида f g f g f 0, f g f g g 0. 9. Неравенства вида f ( x) g ( x) f 2 ( x) g 2 x . 10. Неравенства вида f ( x) g ( x), f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) . f ( x) g ( x) 11. Неравенства вида f ( x) g ( x), f ( x) g ( x) . f ( x) g ( x) Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули ( что особенно важно, когда модулей достаточно много ): "Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно - линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутри модульных выражений, ещё одна Авторские материалы Стахановой П.А. произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя с абсциссой, большей большего из корней. Например: 1)f(x)=|x - 1| Вычисляя функции в точках 1, 2 и 0, получаем график, состоящий из двух отрезков(рис.1) 2) f(x)=|x - 1| + |x – 2| Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2) 3) f(x)=|x - 1| + |x – 2| + |x – 3| Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3) 4) f(x)=|x - 1| - |x – 2| График разности строится аналогично графику суммы, т.е. по точкам 1, 2, 0 и 3. (рис.4) Рис.1 Рис.4 Рис.2 Рис.3 Примеры решения задач. Авторские материалы Стахановой П.А. 1.Решить уравнение а) х 3 5 . Решение: Воспользуемся геометрическим смыслом модуля: решением уравнения будут являться точки х такие, что расстояние от точки х до точки смены знака модуля (точки х=3) равно 5. -5 -2 +5 3 8 Ответ: х=-2; х=8. б) Решить уравнение х 2 3 . Решение: Построим графики функций у= х 2 и у=3. Найдем абсциссы их точек пересечения: х=-1 и х=5. Авторские материалы Стахановой П.А. Ответ: х=-1 и х=5. 2. Решить уравнение 2 х 3 4 . Решение: На расстоянии 4 от точки х на координатной прямой лежат две точки: -1 и 7, а 2х есть одна из них. -4 -1 +4 7 3 Следовательно, 2х=-1 или 2х=7, так что заданное уравнение имеет 2 корня: 1 7 и . 2 2 Также можно было, разделив обе части уравнения на 2, получить уравнение вида х 3 2 . И воспользоваться 2 геометрическим смыслом модуля: решением уравнения являются точки х такие, что расстояние от точек х до точки смены знака модуля (точки х= 2 1 2 Ответ: х= 3 2 3 ) равно 2. 2 + 2 7 2 1 7 , х= . 2 2 3. Решить неравенство 3х 5 4 . Решение: Авторские материалы Стахановой П.А. Разделим обе части неравенства на 3 и перейдем к равносильному х неравенству 5 4 , 3 3 геометрический смысл которого состоит в нахождении точек х, расстояния от которых до точки 5 больше 3 4 3 чем . 4 3 5 3 3 1 Ответ: х ; 3 ; . 3 4 3 1 3 4. Решить уравнение х 6 х 2 . Решение: На равном расстоянии от точек -6 и 2 лежит единственная точка- середина отрезка 6; 2 , т.е. х=-2. Это и есть единственный корень данного уравнения. Ответ: х=-2. 5. Решить уравнение . Решение: Авторские материалы Стахановой П.А. 2x 1 0 (2 x 1) x 3x 4 0 2x 1 0 (2 x 1) x 3x 4 0 1 x 2 x 2 x 1 x 2 . x 1 2 х R Ответ: х=2. 6. Решить уравнение 5x 3 7 x 4 2 x 1 . Решение: 1. Вычислим нули подмодульных выражений: 3 4 x ; x 5x 3 = 0 ; 7x 4 = 0 ; 5 7 5x 3 7x 4 4 7 3 5 Авторские материалы Стахановой П.А. 4 x 7 5 x 3 7 x 4 2 x 1 4 x 3 7 5 3 5 x 7 x 4 2 x 1 3 x 5 5 x 3 7 x 4 2 x 1 4 x 7 0 0 4 x 3 7 5 x 4 7 x 3 5 1 x 2 4 x ; 7 4 Ответ: x ; . 7 7. Решите уравнение х 2 4 х 3 3 х 7 , выбрав наиболее рациональную схему для решения : f ( x) 0, f ( x) g ( x), 1. f ( x) g ( x) f ( x) 0, f ( x) g ( x). g ( x) 0, 2. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x), f ( x) g ( x). Решение: Авторские материалы Стахановой П.А. Вторая схема проще т. к. предполагает решение линейного неравенства, в отличие от первой, где пришлось бы решить два квадратных неравенства. х 3 0, 2) х 2 4 х 3 х 3 х 2 4 х 3 х 3, 2 х 4 х 3 х 3 х 3, х 3, х 3, 2 х 0, х 2, х 3 х 0, 2 х 3, х 0. х 5 х 6 0 х 2, Ответ: -3;-2;0. 8. Решите уравнение: x 3 2x 1 Решение: f ( x) g ( x), f ( x) g ( x) f ( x) g ( x). x 4, x 3 2 x 1, x 3 2x 1 2 x 3 1 2 x, x . 3 2 Ответ: ;4 . 3 9. Решите уравнение x 2 2 x 63 x 2 13x 12 15 x 75 Решение: Авторские материалы Стахановой П.А. f g, f g g f f 0, g 0. x 2 13x 12 x 2 2 x 63 2 x 2 x 63 0 2 x 13x 12 0 x 7;1 x 5 x 7;9 x 12;1 Ответ: х 7; 1 . 10. 1 cos( x) x 2 15 x 44 15 x x 2 cos( x) 45 Решение: f 0, f g f g g 0. 1 cos( x) 0 cos( x) 1 2 x 15 x 44 0 x (1 2k ) 2 , k x 4;11 x=9 Авторские материалы Стахановой П.А. 4 x 11; 4 (1 2k ) 2 11 2 1 2k 11 x (1 2 1) 2 9 1 2k 11 1 1 11 1 k 2 2 k 1 Ответ: x=9 11. Решите уравнение x 3 64 x 2 8 x 33 x 3 x 2 8 x 97 . Решение: f 0, f g f g g 0. x 3 64 0 x 4 2 x 8 x 33 0 x ;11 3; x 4; Ответ: x 4; . 12. Решите неравенство х 2 5х 9 х 6 . Решение: х 2 5 х 9 х 6 (х 2 -5х+9) 2 <(х-6) 2 (х 2 5х+9) 2 -( х-6) 2 <0 (х 2 -6х+15)( х 2 -4х+3)<0 х 2 -4х+3<0 1<x<3. Ответ: (1;3). 12. Решить неравенство: х3 х 3 5 х3 х 8 . Решение: Авторские материалы Стахановой П.А. х3 х 3 5 х3 х 8 3 3 х х3 5 х х8 3 3 х х 3 5 х х 8. 3 3 х х 3 х х 13 3 3 х х 3 х х 3 х 3 х 3 х 3 х 13 х 5 3 3 х 2 х х 3 х х 13 3 3 х х 3 х х 3 х 0 х 3 х 3 х 3 х 3 х 3 2 х 5 x 2; 5 . хR Ответ: x 2; 5 Задачи для работы в аудитории Уравнения и неравенства с модулем. Устно: раскройте модули: а) 5 2 ; б) 1 2 ; в) 3 ; г) 3 40 4 30 ; д) x 2 6 x 10 . 1.Упростите выражение: а) x 32 4 2 , если x 3 0 ; б) 4 2 5 2 ; в) ; Авторские материалы Стахановой П.А. г) 2 7 2 7 2 ; д) 4 2 3 2 3 2 3 2 ; x 2 4 x 4 x 2 6 x 9 , если 7 x 4 . 2.Решить простейшие уравнения и неравенства с помощью геометрической интерпретации модуля: а) х 2 3 ; б) 2 х 3 5 ; в) 2 х 5 ; г) х 5 3 . 3. Отметить на координатной прямой множество всех точек х, удовлетворяющих данному условию, и записать его с помощью уравнения и неравенства с модулем: а) расстояние от точки х до точки -3 больше 4; б) сумма расстояний от точки х до точек 3 и 8 больше 4; в) расстояния от точки х до точек с координатами 8 и 12 равны. Способ раскрытия модуля. х, если х 0; х х, если х 0. е) 4. Решить уравнения способом раскрытия модуля. а) х 2 4 х 1 41 0; б) ; в) у 4 у 6 8 ; г) у 3 у 2 5 . Уравнения вида g ( x) 0, f ( x) g ( x) f ( x) g ( x), f ( x) g ( x). 5.Решить уравнения а) х 2 3 х 4 3 х ; б) 2 х 2 5 х 10 5 2 х . Авторские материалы Стахановой П.А. Уравнения вида f ( x) g ( x), f ( x) g ( x) f ( x) g ( x). 6.Найти корни уравнения а) 2 х 2 3х 1 х 2 х 2 ; б) 11х 2 10 х 2 х 2 х . 7*. Решите уравнения а) x 2 4 x 2 4; б) x 2 9 9 x 2 ; в ) x 2 x 2 x 2 x 2; г ) x 3 4 x 4 x 2 1 x 3 4 x 2 4 x 1. 8*. Решите уравнения а ) x 2 5 x 4 x 2 8 x 15 3 x 11; б ) x 3 3 x 2 x 3 x 2 4 x 5 x 3 4 x 2 3 x 8; в ) 3 x 2 4 x 4 x 2 7 x 6 2 x 2 11x 10; г ) 1 cos( x) x 2 16 x 55 16 x x 2 cos( x) 56; д) x 2 10 x 21 x 2 6 x 5 2 x 2 4 x 26. 9. Используя график функции решите уравнения : а) х 3 х 3 5 ; б) х 3 х 3 6 ;в) х 3 х 3 8. 10*. Постройте график функции у х 5 и решите уравнение: Авторские материалы Стахановой П.А. а) у х 5 =6; б) у х 5 =5; в) у х 5 =2; г) у х 5 =0. Неравенства с модулем Неравенства вида f ( x) g ( x) f 2 ( x) g 2 x 11.Решить неравенство: а) x 2 x 2 x 2 ; б) x 2 5 x 4 x 2 x 4 . Неравенства вида f ( x) g ( x), f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) . f ( x ) g ( x ) 12. Решить неравенство: а) 2 х 3 5 ; б) x 2 3x x 4 ; в) 4 x 2 1 x 2 . Неравенства вида f ( x) g ( x), f ( x) g ( x) . f ( x) g ( x) 13. Решить неравенства: а) 2 х 1 1 ; б) х 2 4 2 x 1 ; в) x 2 4 x 3 x 2 . 14*. Решить неравенство х 3 х 3 5 х 3 х 8 . 15. Решить неравенства способом раскрытия модуля. а) х 2 2 х 1 6 0; ; Авторские материалы Стахановой П.А. б) х 2 х 3 9 0; в) х 1 х 2 5 ; г) x 3 х 4 11. Ответы к задачам для работы в аудитории 1.а) х-3; б) 2 5 4 ; в) 4- ; г) 2 7 ; д) 1; е) -1. 2. а) 5;1; б) 1; 4; в) ;3 7; ; г) 2;8 . 3. а) х 3 4 , х ; 7 1; ; б) х 3 х 8 4 , х R ; в) x 8 x 12 , х=10. 4. а) 9; 2 41 ; б) 4 2 2 ; 2 2 3 ; в) 1; 9 ; г) 3; ; 1 5. а) 2; б) -5; 1,5; -2,5; 1. 6. а) 1; 3; ; б) 3 11 41 . 20 7. а) х ; 2 2; ; б) 3; 3; в) ; 1 2; ; г) 2; 0,5 2; . 8. а) 2; 4 ; б) 1 1; 3 указание: a 0 а b a b или а b 9.а) нет решений; b 0 б) 3; 3; в) 4; 4. 10. а) 11 ; б) 0; 10 ; в) 3; 7 ; г) 5 . 11. а) ;2 2;0 2; ; б) ;0 2;3 . 3 12.а) 1; 4 ; б) 1 5 ;1 5 ; в) ;1 . 4 Авторские материалы Стахановой П.А. 14. 3 5 ; 8 . 15. а) 4; 4 ; б) 2; 3; в) 2; 3; г) 2; 9 . Задачи для самостоятельных занятий 1.Найти значение выражения х 6 х 9 а) х 3,8 4 х 2 2 х 1 при 3,5 x 0,5 ; б) х 3,2 10 в) г) 2 2 5 при 2,7 x 2,5 ; 4 5 5 2 ; 1 2 2 2 . 2 2 2 2 2. Решить простейшие уравнения и неравенства с помощью геометрической интерпретации модуля: а) х 2 4 ; б) 3х 2 7 ; в) 3 х 1 ; г) х 5 9 . 3. Отметить на координатной прямой множество всех точек х, удовлетворяющих данному условию, и записать его с помощью уравнения и неравенства с модулем: а) расстояние от точки х до точки 10 не больше 2; б) сумма расстояний от точки х до точек 2 и 5 больше 4; в) точка х равноудалена от точек с координатами -6 и 4. 4.Решить уравнения способом раскрытия модуля. а) 3х 2 5 х 2 12 0 ; б) 5х 13 6 5х 5. 5. Решить уравнения а) х 2 х 3 х 2 ; Авторские материалы Стахановой П.А. б) х 1 6 х 2 2 х 2 . 6. Найти корни уравнения а) х 2 3х 3 х 2 7 х 13 ; б) 2 х 2 3х 2 2 х 2 3х 2 . 7. Используя график функции решите уравнения : а) х 2 х 2 6 ; б) х 2 х 2 4 ; в) х 2 х 2 1. 8*. Постройте график функции у х 4 и решите уравнение: а) у х 4 =4; б) у х 4 =5; в) у х 4 =2; г) у х 4 =0. 9*. Найти корни уравнения x 3 64 x 2 8 x 33 x 3 x 2 8 x 97 . 10. Решить неравенства а) 2 х 5 7 x ; б) 3x 2 x 5 ; в) 7 x 5 2 x 11 ; г) 3x 2 3 x . 11. Решить неравенства а) х 1 х 2 3; б) 3х 2 2 х 3 11 ; в) 5 2 х х 1 х 3 . 12*. Решить неравенство 2х 2 х 3 2х 2 х 5 . 13*. Решить неравенство Авторские материалы Стахановой П.А. а) х 3 4 х 2 11х 12 x 3 3x 2 10 x x 2 x 12 ; б) x 3 2 x 2 3x x 2 3x 4 x 3 x 2 4 . Ответы к задачам для самостоятельных занятий 1. а) 4, 8; б) 6,2; в) 6 2 5 ; г) 3 2 2 . 2 1 2. а) 2; 6; б) 2 ; 3 ; в) ;2 4;; г) 3 3 14;4. 3. а) x 10 2 , х 8;12; б) х 2 х 5 4 , x ;1,5 5,5; ; в) x 6 x 4 , х=-1. 7 2 4. а) 2; 3 ; б) х= . 5.а) 1; б) корней нет. 5 3 1 6. а) 1,2,4; б) ;2;4 .9*. x 4; 4 2 3 10. а) 12; ; б) ; ; в) 3 2 16 6 ; ; ; 9 5 1 г) ; . 2 2 4 11.а) 2;1 ; б) 2; 2 ; в) ;0 ; . 5 5 12. 4; . 13.а) 4; 2 0; 3 5; . Указание a b a b ab 0 . б) ; 4 1; 0 (1; 3) . Авторские материалы Стахановой П.А. 7 Задача для аттестационной работы 7 вариантов. Решить неравенство 1. а) х 4 3 ; б) х 3 2 х 1 . 2. а) х 4 2 ; б) х 5 2 х 3 . 3. а) х 1 5 ; б) 2 х 1 х 3 . 4. а) х 3 4 ; б) 2 х 3 х 2 . 5. а) х 5 1 ; б) 3 4 х 2 х 1 . 6. а) х 4 5 ; б) 2 4 х 3 2 х . 7. а) х 3 7 ; б) 2 х 1 х 3 . Ответы к 7 задаче аттестационной работы. 3 1. а) ;1 7; ;б) ; . 4 2.а) 6;2 ; б) 8; . 2 3.а) ;4 6; ; б) ; 4; . 3 1 4. а) 7; 1; б) ; 5 . 3 2 5. а) 6; 4; б) ; 1; 3 1 5 6. а) ;1 9; ; б) ; . 2 6 2 7. а) 10; 4 ; б) ; 4; . 3 Авторские материалы Стахановой П.А. Авторские материалы Стахановой П.А. Авторские материалы Стахановой П.А.