Линейные операции над матрицами

1
Уменьшение общности всегда
добавляет конкретики.
Существует два подхода к изложению линейной алгебры и многомерной
геометрии. Первый можно охарактеризовать как «координатно-матричный
подход», а второй - «инвариантно-геометрический подход».
В большинстве учебников используется координатно-матричный подход. Он
начинается с рассмотрения систем линейных уравнений. Затем развивается
теория детерминантов, матричная алгебра и геометрия пространства Rn. Этот
подход удобен для первоначального знакомства с предметом. Доказательства в
идейном плане просты и носят вычислительный характер. Однако, в
определенный момент простота координатно-матричного подхода перестает быть
преимуществом. Вычислительный характер доказательств делает их
громоздкими, а желание ограничиться числовыми объектами препятствует
введению и использованию новых понятий.
Инвариантно-геометрический подход стартует с определения абстрактного
линейного векторного пространства. При этом координатное представление
векторов перестает играть первостепенную роль. На первый план выходят
теоретико-множественные методы, принятые в современной алгебре и геометрии.
Линейные векторные пространства оказываются тем объектом, где эти методы
проявляются наиболее просто и эффективно. Доказательство многих фактов
удается сделать более коротким и изящным.
Линейные операции над матрицами
1. Основные определения и обозначения.
Матрицей называется совокупность вещественных или комплексных чисел аij
, расположенных в виде прямоугольной таблицы:
 a11
a
 21
 .

a m1
a12
a 22
.
am2
. . . a1n 
. . . a 2 n 
.
. . . . 

. . . a mn 
Числа аij называются элементами матрицы. Индексы i, j означают, что
элемент аij расположен на пересечении i -ой строки и j – го столбца матрицы.
Если m или n равны единице, то соответствующий индекс может отсутствовать.
2
Если матрица имеет m строк и n столбцов, то она называется матрицей
размера m  n.
Совокупность элементов аij матрицы, для которых i=j, называется главной
диагональю матрицы; соответствующие элементы аij называются
диагональными элементами.
Матрица называется квадратной матрицей порядка n, если m=n. В общем
случае матрица называется прямоугольной.
Прямоугольная матрица размера m  1, состоящая из одного столбца
1 
 
 2,
 ... 
 
 m 
называется вектор-столбцом.
Прямоугольная матрица размера 1  n, состоящая из одной строки
1 , 2 ,..., n  ,
называется вектор-строкой.
Для обозначения матрицы используют различные символы, например: А,
А(m  n), А=(аij) и т. п., или же она указывается явно в виде таблицы, в
зависимости от того, какие характеристики матрицы нужно отметить.
2. Основные операции над матрицами.
Простейшее соотношение между матрицами это их равенство. Две
матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и все их
соответствующие элементы равны.
Суммой матриц А=(аij) и В=(bij) размеров m  n называется матрица C= (cij)
того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих
элементов слагаемых матриц, т.е. сij= аij+ bij для всех i, j. Эта операция
обозначается С=А+В.
Операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна, т.е.
А+В=В+А, (А+В)+С= А+(В+С).
Произведением матрицы А=(аij) на число α называется матрица С=(α∙аij)
для всех i, j. Эта операция обозначается С=αА.
3
Произведением матрицы А=(аij) размера m  n и матрицы В=(bij) размера
n  p называется матрица С=(cij) размера m  p, элементы которой находятся по
формуле
n
сij   a ik bkj
k 1
для всех i, j. Эта операция обозначается С=АВ.
Для выполнения операции произведения двух матриц необходимо и
достаточно, чтобы число столбцов левого сомножителя равнялось числу строк
правого сомножителя.
Операция
произведения
матриц
не
является
в
общем
случае
коммутативной. Если же для каких-либо двух матриц А и В выполняется
равенство АВ=ВА, то такие матрицы называются коммутирующими или
перестановочными.
Если операция произведения матриц выполнима, то она ассоциативна, т.е.
(АВ)С=А(ВС)
и дистрибутивна по отношению к операции сложения:
(А+В)С=АС+ВС, С(А+В)=СА+СВ.
Произведение матрицы на вектор-столбец или вектор-строки на матрицу
есть частные случаи произведения матриц. Поэтому следует помнить, что число
элементов вектора-столбца должно быть равно числу столбцов матрицы, а число
элементов вектора-строки – числу строк матрицы.
Транспонированная матрица. Пусть задана матрица А=(аij) размера
m  n. Транспонированной по отношению к матрице А называется матрица
размера n  m, у которой строками являются столбцы матрицы А, а столбцами –
строки матрицы А. Матрица, транспонированная по отношению к матрице А
обозначается Ат или А'. Согласно определению можно записать Ат=(аji).
Если для матрицы А справедливо равенство А=Ат, то такая матрица
называется симметрической.
Справедливы соотношения:
(Ат)т=А, (А+В)т=Ат+Вт, (АВ)т=ВтАт, (α·А)т=α·Ат.
Матрица А называется диагональной, если все ее элементы,
расположенные вне главной диагонали равны нулю.
4
Матрица А называется правой (левой) треугольной, если a ij  0 при
i  j ( i  j ).
Единичная матрица. Квадратная матрица
1 0 0 . .
0 1 0 . .

. . . . .

0 0 0 . .
. 0 0
. 0 0
. . .

. . 1
называется единичной или матрицей тождественного преобразования и
обозначается E или I.
Как видим, все диагональные элементы единичной матрицы равны
единице. Все остальные элементы равны нулю.
Умножение на единичную матрицу обладает следующими свойствами:
А(m,n)·Е(n,n)= А(m,n),
А(n,n)·Е(n,n)= Е(n,n)·А(n,n)= А(n,n),
 1 
 
 
E (n, n)   2   E  a  a .
 ... 
 
 n 
Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей
и обозначается символом 0.
Для любой матрицы А и нулевых матриц справедливы равенства:
А+0=0+А=А,
0·А=А·0=0.
Обратная матрица. Квадратная матрица А называется обратимой, если
существует такая матрица Х, что
АХ=ХА=Е.
Матрица Х называется обратной матрицей по отношению к матрице А и
обозначается А-1, т.е.
АА-1=А-1А=Е.
Известно, что если матрица А невырожденая (т.е. ее определитель
отличен от нуля), то для нее существует обратная матрица.
Верно соотношение
(А-1)т=(Ат)-1.
Всегда выполняется равенство
det A 1  (det A) 1 
1
.
det A
5
Вычисление обратной матрицы. Рассмотрим один из способов
вычисления обратной матрицы. Пусть задана невырожденная квадратная
матрица А размера (n,n)
 a11
a
21
А= 
 .

a n1
a12
a 22
.
an2
. . . a1n 
. . . a 2 n 
.
. . . . 

. . . a nn 
Обратная матрица А-1(n,n) вычисляется по формуле
~
A(n, n)
А-1(n,n)=
,
det A(n, n)
 A11
A
~
где A(n, n)  . 12
 .

 A1n
A21 . . . An1 
A22 . . . An 2 
- присоединенная или взаимная матрица,
. . . . . 

A2 n . . . Ann 
состоящая из алгебраических дополнений Aij=(-1)I+j·M(i,j) элементов a ij заданной
матрицы А(n,n); M(i,j)- минор порядка (n-1) матрицы А(n,n), получаемый из
определителя матрицы А(n,n) вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Обратим внимание, что в присоединенной матрице А-1(n,n) строки
транспонированы в столбцы.
▼Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы
 3  2
А(2,2)= 
.
4 1 
Решение. Вычислим определитель матрицы: det А=11≠0.
Определитель матрицы А не равен 0, следовательно, для нее существует
единственная обратная матрица. Вычислим элементы присоединенной матрицы:
А11=1, А12=-4, А21=2, А22=3.
Присоединенная матрица имеет вид
 1 2
~
А(2,2)  
.
  4 3
Вычисляем искомую обратную матрицу:
1  1 2  111 211
.
А (2,2)   

3 
11  4 3  4
 11 11
1
6
3 8 6 6

2   
 1
3

2


11
11 = 11 11 11 11 = 1 0 =Е.

Проверка: А·А-1= 
·

 


4 1   411 311  4  4 8  3  0 1
▲
11 11 11 11
3. Запись системы линейных алгебраических уравнений в
матричной форме.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 12 1
22 2
2n n
2

.
...............................................
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
Матрица коэффициентов этого уравнения имеет вид
 a11
a
21
А= 
 .

a n1
a12
a 22
.
an2
. . . a1n 
. . . a 2 n 
.
. . . . 

. . . a nn 
Запишем неизвестные х1, х2, … , хn и свободные члены b1,b2, … , bn,
входящие в систему и виде соответствующих векторов-столбцов:
 x1 
 b1 
 x   b 

x   2, b   2 .
 ... 
 ... 
 
 
 xn 
bn 
Тогда в терминах матричных операций система линейных алгебраических
уравнений может быть записана следующим образом:
 a11
a
 21
 .

a n1
a12
a 22
.
an2
. . . a1n   x1   b1 
. . . a 2 n   x 2  b2 
·
=
·
. . . .   ...   ... 
    
. . . a nn   x n  bn 
Или, компактно, в векторно-матричной форме:
 
A x  b .
7
▼Пример. Система линейных алгебраических уравнений
 x1  2 x2  3x3  2

2 x1  4 x2  4 x3  2
3x  x  x  1
2
3
 1
эквивалентна записи ее в матричной форме:
3   x1  2
1 2
 2 4  4   x    2 .

  2  
3  1  1  x3  1 ▲
Систему линейных алгебраических уравнений можно также записать в виде
так называемой расширенной матрицы:
 a11
a
 21
A (n, n  1) =
 .

a n1
a12
a 22
. . . a1n
. . . a2n
.
. . . .
. . . a nn
an2
b1 
b2 
.
.

bn 
Мы рассмотрели 4 способа записи системы линейных алгебраических
уравнения:
■ в развернутом (явном) виде;
■ в виде матричного уравнения;
■ в форме расширенной матрицы.
4. Решение системы линейных алгебраических уравнений с
помощью обратной матрицы.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений,
представленную в матричной форме:
 
A x  b .
Умножим слева обе части этого матричного уравнения на обратную
матрицу А-1:


1
А  A x  А b .
1
Поскольку А-1·А=Е, а
 
E  x  x , следовательно,
Решение системы найдено.


1
x  А b ,
8
Таким образом, для решения системы линейных алгебраических уравнений
с помощью обратной матрицы необходимо, чтобы матрица А коэффициентов
системы была квадратной и ее определитель был отличен от нуля.
▼Пример. Используя обратную матрицу, решить систему линейных
алгебраических уравнений:
3x1  2 x 2  2 x3  3

2 x1  3x 2  x3  1 .
x  2x  x  1
2
3
 1
Решение. Решение будем искать в матричном виде:


x  А1  b ,

где x - искомое вектор-решение;
 3
  
b =  1  - вектор столбец свободных членов заданной системы.
 1 
А 1 -матрица, обратная по отношению к матрице А системы.
Вычисляем определитель системы:
3 2 2
det A= 2 3 1 = -1≠0.
1 2
1
Вычислим обратную матрицу А-1. Для этого находим элементы
присоединенной матрицы
2 2
2 2
 6 , A31  (1) 31 
 8,
2 1
3 1
A11  (1)11 
3 1
 1,
2 1
A12  (1)1 2 
2 1
3 2
 1, A22  (1) 2 2 
 5,
1 1
1 1
A32  (1) 3 2 
3 2
 7,
2 1
A13  (1)13 
2 3
 1,
1 2
A33  (1) 33 
3 2
 5.
2 3
A21  (1) 21 
A23  (1) 23 
3 2
 4,
1 2
Таким образом, присоединенная матрица имеет вид:
9
 A11
~

A (3,3)   A12
 A13

A31   1  6 8 

A32    1 5  7.


A33   1  4 5 
A21
A22
A23
Находим обратную матрицу:
  1 6  8
~
A(3,3) 
A (3,3) 
 1  5 7 .

det A 
 1 4  5
1
Решение системы в матричной форме:
 1 6  8  3  1 
 

1
x  A  b   1  5 7 .  1    1
 1 4  5  1   2 
или, окончательно: х1=1, х2=-1, х3=2.
Проверка.
3 2  2  1  3  2  4  3
2 3 1    1  2  3  2   1 .

   
  
1 2 1   2  1  2  2   1  ▲
5. Решение системы линейных алгебраических уравнений
методом Жордана-Гаусса.
Пусть задана система линейных алгебраических уравнений.
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 12 1
22 2
2n n
2
.

..........
..........
..........
..........
.......

a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
Представим ее в форме расширенной матрицы:
 a11
a
 21
A (n, n  1) =
 .

a n1
a12
a 22
. . . a1n
. . . a2n
.
. . . .
. . . a nn
an2
b1 
b2 
.
.

bn 
Над строками расширенной матрицы можно осуществлять следующие
преобразования:
-
перестановку строк;
10
-
умножение строки на любое число, отличное от нуля;
-
прибавление к одной строке другой строки умноженной на некоторое
число.
Данные преобразования называются эквивалентными, так как после их
осуществления решение системы уравнений не изменится.
Суть метода Жордана-Гаусса состоит в том, чтобы, используя
эквивалентные преобразования, левую часть расширенной матрицы привести к
единичной матрице. Полученная в результате этих преобразований правая часть
расширенной матрицы будет решением системы.
▼Пример. Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных
алгебраических уравнений, рассмотренную в предыдущем примере:
3x1  2 x 2  2 x3  3

2 x1  3x 2  x3  1 .
x  2x  x  1
2
3
 1
Решение. Мы уже убедились, что определитель этой системы отличен от нуля:
3 2 2
det A= 2 3 1 = -1≠0.
1 2
1
т.е. система имеет решение.
Представим данную систему в форме расширенной матрицы:
 3 2  2  3
A (3,4) = 2 3 1 1  .
1 2 1 1 
Шаг 1. В качестве так называемого направляющего элемента выбираем
первый элемент, расположенный на главной диагонали левой части расширенной
матрицы: a11 =3. Для того, чтобы направляющий элемент
a11 стал равным
единице, можно разделить всю первую строку расширенной матрицы на 3. Но
проще поменять местами первую и третью строки:
1 2 1 1 
2 3 1 1  .


3 2  2  3
Поскольку элемент
a11 находится в первой строке, то первая строка на этом шаге
является направляющей строкой, а первый столбец – направляющим
11
столбцом. Преобразуем первый (направляющий) столбец в единичный, т.е. так,
чтобы остальные его элементы (кроме направляющего элемента a11 ) стали равны
нулю. Для этого ко второй и третьей строкам прибавим первую (направляющую)
строку, множенную, соответственно на –2 и на –3:
1 2 1 1 
A (3,4) = 0  1  1  1 .
0  4  5  6
(1)
Шаг 2. Выбираем в качестве направляющего элемента следующий элемент
главной диагонали: a 22 = -1. При этом вторая строка и второй столбец становятся
направляющими. Так как
элемент
a22 ≠1, то делим всю вторую строку, где расположен
a22 на -1:
1 2 1 1 
0 1 1 1  .


0  4  5  6
Преобразуем второй столбец в единичный, для чего последовательно
умножаем вторую (направляющую) строку на –2 и 4 и прибавляем ее,
соответственно, к первой и третьей строкам:
1 0  1  1 
A ( 2) (3,4) = 0 1 1 1  .
0 0  1  2
Шаг 3. Выбираем в качестве направляющего элемента очередной элемент
главной диагонали матрицы: a33 = -1. При этом третья строка и третий столбец
становятся направляющими Так как
расположен элемент
a33 ≠1, то делим всю третью строку, где
a33 на -1:
1 0  1  1
0 1 1 1  .


0 0 1 2 
Преобразуем третий (направляющий) столбец в единичный, для чего сначала
прибавляем к первой строке третью (направляющую) строку, а затем ко второй
строке третью (направляющую) строку, умноженную на –1:
12
1 0 0 1 
A (3,4) = 0 1 0  1 .


0 0 1 2 
( 3)
Левая часть полученной матрицы представляет собой единичную матрицу,
а правая часть является вектором-решением заданной в условии задачи системы
уравнений.
Окончательно: х1=1, х2=-1, х3=2. Полученный результат совпадает с
результатом предыдущего примера. ▲
6. Свойства определителей.
1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. Это значает,
что все свойства определителя, справедливые для строк матрицы будут
справедливы и для столбцов. Поэтому в дальнейшем будем указывать
только свойства определителей, касающиеся строк.
2. Если какую-либо строку (столбец) матрицы умножить на число α, то и
определитель умножится на число α.
3. Если все элементы матрицы размера (n,n) умножить на число α, то ее
определитель умножится на число αn.
4. Определитель меняет знак, если любые 2 строки (столбца) матрицы
поменять местами.
5. Определитель матрицы не меняется, если к какой-либо ее строке
прибавить любую линейную комбинацию строк этой матрицы.
6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению
их определителей.
7. Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных
элементов.
8. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных
элементов.
13
7. Разновидности решений систем линейных алгебраических
уравнений
Перейдем к рассмотрению вопроса о существовании решения системы
линейных алгебраических уравнений. При этом будем рассматривать более
общий случай, когда число уравнений m и число неизвестных n не обязательно
совпадают, причем m≥ n.
При решении любой системы линейных алгебраических уравнений
возможны следующие исходы.
1. Система уравнений имеет единственное вектор-решение. Такая система
называется определенной системой.
2. Система уравнений имеет множество векторов-решений. . Такая система
называется неопределенной системой.
3. Система уравнений не имеет ни одного вектора-решения. Такая система
называется несовместной системой. В противном случае система называется
совместной системой уравнений.
Для большей наглядности изобразим все возможные случаи следующим
рисунком
Системы уравнений
Совместные
Определенные
Имеют единственное
вектор-решение
Неопределенные
Несовместные
Не имеют ни одного
решения
Имеют множество
векторов-решений
Если система уравнений совместна, то каждое ее решение называется
частным решением; совокупность всех частных решений системы уравнений
называется общим решением.
Система линейных алгебраических уравнений называется неоднородной,
если среди ее свободных членов найдется хотя бы один, отличный от нуля; в
противном случае система уравнений называется однородной системой.
14
8. Ранг матрицы
Для ответа на вопрос о существовании решения неоднородной системы m
линейных алгебраических уравнений с n неизвестными нам потребуются понятия
минора матрицы и ранга матрицы.
Минор матрицы. Определитель k-го порядка матрицы А, стоящий на
пересечении строк с номерами i1, i2,… , ik и столбцов с номерами j1, j2,… , jk ,
называется минором k-го порядка матрицы или определителя и обозначается
i
М  1
 j1
i2
j2
... ik 
.
... j k 
Минор, расположенный в первых k строках и первых k столбцах называется
ведущим или угловым минором. Минор, расположенный в столбцах и строках с
одинаковыми номерами называется главным минором.
Ранг матрицы. Наивысший порядок, отличных от нуля миноров
прямоугольной матрицы А называется ее рангом и обозначается символом
rank A.
Ранг матрицы не изменяется:
a) при перестановке двух строк;
б) при умножении одной строки на число отличное от нуля;
в) при прибавлении (вычитании) некоторой строки умноженной на любое число к
другой строке;
г) при транспонировании.
Из последнего следует, что описанные выше правила справедливы и для
столбцов.
Перечисленные правила вытекают из свойств определителя.
Пусть задана матрица размера m  n:
 a11
a
A =  21
 .

a m1
a12
a 22
.
am2
. . . a1n 
. . . a 2 n 
.
. . . . 

. . . a mn 
Применяя перечисленные выше преобразования, при которых ранг
матрицы не меняется, приведем матрицу A к ступенчатому виду:
15
Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы равно рангу
исходной матрицы: r=rank A.
Рассмотрим вычисление ранга матрицы на конкретном примере.
▼Пример. Найти ранг матрицы
1
2  4 3
1  2 1  4
A( 4,5) = 
0 1  1 3

4  7 4  4
0
2
.
1

5
Решение. Для нахождение ранга матрицы, приведем ее к ступенчатому
виду.
Шаг 1. Направляющий элемент
a11 =2. Направляющая строка – первая.
Разделим первую строку на a11  2 :
1  2

1  2
0 1

4  7
1
0
2
2

1  4 2
.
 1 3 1

4  4 5
3
Шаг 2. Вычтем из строки 2 строку 1, умноженную на a21  1 :
1
1  2 3
0
2
2


0 0  1 2  9 2 2

.
0
1

1
3
1


4  7
4
 4 5
Шаг 3. Вычтем из строки 4 строку 1. умноженную на a41  4 :
1
1  2 3
0
2
2


1
3
1
0 1
.
0 0  1
9
2
2
2


0
1

2

6
5

Первый столбец матрицы стал единичным.
16
Шаг 4. Поменяем местами строку 2 и строку 3. Выберем направляющим
следующий элемент на главной диагонали: a22  1 :
1
1  2 3
0
2
2


1
3
1
0 1
.
0 0  1
9
2
2
2


4
 4 5
4  7
Шаг 5. Вычтем из строки 4 строку 2, умноженную на a42  1 :
1
1  2 3
0
2
2


1
3
1
0 1
.
0 0  1
9
2
2
2


1
 9 4
0 0
Второй столбец стал единичным.
Шаг 6. Выберем направляющим следующий элемент на главной диагонали:
a33   1 . Направляющей становится строка 3. Разделим строку 3 на a33   1 :
2
2
1  2

0 1
0 0

0 0
0 

1 
1
9  4

 1  9 4 
3
2
1
1
2
3
Шаг 7. Вычтем из четвертой строки третью, умноженную на a43  1 :
1  2

0 1
0 0

0 0
3
1
1
9
0
0
2
1
2
3
0

1 
.
 4

0 
Число ненулевых строк полученной матрицы равно трем, следовательно и
ранг исходной матрицы равен трем.
Проанализируем последнюю матрицу, в ней легко выделить
невырожденную квадратную подматрицу (минор) третьего порядка. Этот минор
располагается с 1-й по 3-ю строку и с 1-го по 3-й столбец:
1  2 3 
2

0
1

1 .

0 0
1


17
Данный минор невырожденный (его определитель не равен нулю) т.к.
определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных
элементов. Кроме того, из матрицы, полученной на шаге 7 нельзя выделить
невырожденную матрицу порядка больше чем 3, следовательно, ранг матрицы A
равен 3.
Ответ: rank А=3. ▲
Любой, отличный от нуля минор, имеющий порядок rank A, называется
базисным минором матрицы А.
Строки и столбцы матрицы, на которых расположен базисный минор,
называются базисными.
 

Базисные строки (столбцы) e1 , e2 ,..., ek обладают свойством линейной
независимости, т.е., когда из равенства нулю линейной комбинации векторов
 

e1 , e2 ,..., ek :



1e1   2 e2  ...   k ek  0
следует, равенство нулю всех числовых коэффициентов 1 ,  2 ,...,  k линейной
комбинации. В противном случае строки являются линейно зависимыми.
Свойство линейной независимости строк матрицы практически означает,
что никакую строку нельзя выразить через остальные строки. Она независима от
остальных строк.
В рассмотренном выше примере заданная в условии задачи матрица
размера (4  5) имеет три линейно независимые строки и три линейно
независимых столбца, поскольку ранг матрицы равен трем.
В дополнение к приведенным выше свойствам ранга матрицы, рассмотрим
еще четыре свойства:
1) rank (  A)  rankA,
 0,
2) rankA  rankAT ,
3) rank ( A  B)  min  rankA, rankB  ,
4) rank ( A  B)  rankA  rankB .
9. Признак совместности системы линейных алгебраических
уравнений
18
Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 12 1
22 2
2n n
2
,

...............................................
a m1 x1  a m 2 x2  ...  a mn xn  bm
в которой m  n , т.е. число уравнений в системе не меньше числа неизвестных.
Матрица коэффициентов A (m, n) и расширенная матрица A (m, n  1) имеют
вид:
 a11
a
21
A(m, n) = 
 .

am1
a12
a22
.
am 2
. . . a1n 
. . . a2 n 
,
. . . . 

. . . amn 
 a11
a
 21
A (m, n  1) =
 .

am1
a12
a 22
. . . a1n
. . . a2 n
.
. . . .
. . . a mn
am 2
b1 
b2 
.
. 

bm 
Сформулируем теорему, которая отвечает на вопрос совместна ли система
линейных алгебраических уравнений или нет, и, если совместна, то является ли
она определенной или она неопределенная.
Теорема Кронекера-Капелли. Система m линейных уравнений с n
неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A(m, n) равен
рангу расширенной матрицы A (m, n  1) .
Из теоремы следует:
1) если rankA(m, n)  rankA (m, n  1) , то соответствующая система
линейных уравнений несовместна;
2) если rankA(m, n)  rankA (m, n  1)  n  m то соответствующая система
линейных уравнений является определенной;
3) если rankA(m, n)  rankA (m, n  1)  r  n и r  1 , то соответствующая
система линейных уравнений является неопределенной.
Перечисленные следствия учитывают все многообразие систем линейных
алгебраических уравнений.
Исследовать неоднородную систему линейных алгебраических уравнений это значит установить, является ли она совместной, и если является - найти
выражение для общего решения системы.
▼ Пример (случай, когда система уравнений несовместна).
Проверить условие совместности неоднородной системы уравнений:
19
 4 x1  2 x 2  2 x3  1

 x1  3x 2  2 x3  1
 x  2 x  3x  3
2
3
 1
Решение. Сформируем расширенную матрицу:
4  2 2 1 
A (3,4) = 1  3  2  1 .
1 2
3 3 
Применяя к расширенной матрице, последовательность эквивалентных
преобразований, приведем ее к ступенчатому виду.
Шаг 1. Меняем местами строку 1 и строку 3:
3 3
1 2
1  3  2  1 .


4  2 2 1 
Вычитаем строку 1 из строки 2, затем строку 1 умножаем на 4 и вычитаем
ее из строки 3:
3
3 
1 2
0  5  5  4  .


0  10  10  11
Шаг 2. Делим строку 2 на –5:
2
3
3 
1
0 1
.
4
1

5
0 10  10 11
Умножаем строку 2 на 10 и прибавляем ее к строке 3:
1 2 3 3 
0 1 1 4  .

5
0 0 0  3
Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Все строки
расширенной матрицы ненулевые. Следовательно ее ранг равен трем.
Ранг матрицы коэффициентов (левая часть расширенной матрицы) равен
двум, так как в ней только две ненулевые строки
Таким образом, rankA(3,3)  rankA (3,4) . Следовательно, по теореме
Кронекера-Капелли система уравнений несовместна, т.е. не имеет решения. ▲
20
▼Пример (случай, когда система уравнений совместна и является
неопределенной).
Исследуем неоднородную систему линейных уравнений:
 x1  x 2  1
x  x  x  4
2
3
 1
.
 x 2  x3  x 4  x5  2
2 x  3x  2 x  x  x  7
2
3
4
5
 1
3x1  3x 2  2 x3  9
Решение. Сформируем расширенную матрицу:
1
1

A (5,6)  0

2
3
1
1
1
3
3
0
1
1
2
2
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
4
2 .

7
9 
Приведем ее к ступенчатому виду.
Шаг 1. Вычтем строку 1 из строки 2, затем умножим последовательно строку
1 на –2 и сложим ее с четвертой строкой, потом на –3 и сложим со строкой 5:
1
0

0

0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
2
2
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
3
2 .

5
6
Шаг 2. Поменяем местами строку 2 со строкой 3:
1
0

0

0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
2
2
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
2
3 .

5
6
Направляющей строкой на этом шаге является строка 2. Вычтем ее из строки
4:
1
0

0

0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
3 .

3
6
21
Шаг 3. Направляющей строкой становится строка 3. Вычтем ее из строки 4,
затем умножим строку 3 на –2 и сложим ее со строкой 5:
1
0

0

0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
3 .

0
0
Полученная матрица является ступенчатой с двумя нулевыми строками.
Число ненулевых строк в матрице коэффициентов (левая часть полученной
расширенной матрицы) равно числу ненулевых строк всей расширенной матрицы
и равно трем. Следовательно, rankA(5,5) = rankA (5,6)  3 . Система уравнений,
заданная в условии является совместной.
В то же время, так как rankA(5,5) = rankA (5,6) =3<n=5, где n- число
неизвестных в системе, то система является неопределенной, т.е. имеет
множество решений. ▲
10. Решение неопределенной системы линейных алгебраических
уравнений
В рассмотренном выше примере исследования системы, состоящей из пяти
уравнений с пятью неизвестными x1, x2, x3, x4, x5 было выяснено, что она
совместна и относится к числу неопределенных систем. Базисный минор этого
уравнения имеет порядок, равный трем. Следовательно, только три из пяти
уравнений этой системы являются линейно независимыми. В качестве линейно
независимых уравнений выбираем уравнения, которые соответствуют базисным
строкам ступенчатой матрицы коэффициентов. В нашем случае базисными
строками - являются первые три строки матрицы, так как в них расположены
базисные миноры, т.е. миноры, отличные от нуля и имеющие порядок, равный
рангу матрицы коэффициентов.
В ступенчатой матрице коэффициентов
1
0

0

0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0
22
такими минорами являются два минора:
1 1 0
1 0 0
M1 = 0 1 1 и M 2 = 1 1 1
0 0 1
0 1 0
1 2 3 
 1 2 3
 и M 2 
 , где верхние ряды чисел
или в более короткой записи M 1 
1 2 3 
 2 3 4
есть номера строк, а нижние ряды – номера столбцов матрицы коэффициентов, в
которых расположен тот или иной минор.
Поэтому, решая систему, ограничиваемся тремя линейно независимыми
уравнениями:
 x1  x2  1

 x2  x3  x4  x5  2 ,
x  3
 3
Эта система эквивалентна исходной системе уравнений, заданной в условии
задачи.
В полученной системе число уравнений m=3, число неизвестных n=5, т.е.
m<n, что и является причиной неопределенности исходной системы уравнений.
Решая такую систему какие-то m неизвестных выбирают в качестве
базисных переменных. Тогда остальные n-m переменные называются
свободными переменными. В качестве базисных выбирают те переменные,
индексы которых соответствуют элементам базисного минора. В нашем примере в
качестве базисных могут быть приняты либо переменные x1, x2, x3, либо
переменные x2, x3, x4. Переменные x1, x2, x3 соответствуют базисному минору
1 2 3 
 1 2 3
 , а переменные x2, x3, x4 – базисному минору M 2 
 . Тогда в
M 1 
1 2 3 
 2 3 4
первом случае свободными будут переменные x4, x5 , а во втором случае –
переменные x1, x5 .
Система решается следующим образом. Выбираются базисные переменные:
пусть это будут переменные x1, x2, x3. Тогда свободные переменные x4, x5
переносятся в правую часть системы и получаем общее решение системы:
 x1  x 2  1

 x 2  x3  2  x 4  x5 .
x  3
 3
23
Найдем частные решения полученной системы. Присваиваем свободным
переменным какие-либо числовые значения, например, x4=0, x5=0. Тогда система
примет вид:
 x1  x 2  1

 x 2  x3  2 .
x  3
 3
Откуда находим значения базисных переменных: x1=2, x2= -1, x3=3. Таким

образом, мы нашли одно частное решение: x1 =(2,-1,3,0,0)Т.
В подтверждение ранее сказанного заметим, что такое же частное решение
можно получить, если принять в качестве базисных переменные x2, x3, x4.
Свободными станут переменные x1, x5. Общее решение системы получим, после
переноса свободных переменных в правую часть системы:
 x2  1  x1

 x 2  x3  x 4  2  x5 .
x  3
 3
Пусть x1=2, x5=0. Тогда x2= -1, x3=3, x4=0. Таким образом, пришли к тому же

частному решению: x1 =(2,-1,3,0,0)Т.
Найдем еще одно частное решение из множества возможных частных
решений. Для этого свободным переменным присваиваем какие-либо другие
значения, например, x1=1, x5=-1. Тогда из общего решения, полученного выше для
базисных переменных x2, x3, x4, следует: x2= 0, x3=3, x4=0. Соответствующее

частное решение имеет вид: x 2 =(1,0,3,0,-1)Т.
На примере системы из пяти уравнений с пятью неизвестными мы
рассмотрели решение неопределенной системы уравнений.
В общем случае исследование и решение неоднородных систем состоит в
следующем. Пусть
 a11
a
 21
A (m, n  1) =
 .

am1
a12
a 22
. . . a1n
. . . a2 n
.
. . . .
. . . a mn
am 2
b1 
b2 
. 

bm 
расширенная матрица системы, ранг r которой равен рангу матрицы
коэффициентов и меньше числа неизвестных, входящих в систему, т.е.
rankA (m, n  1)  rankA(m, n)  r  n .
24
Такая матрица путем эквивалентных преобразований строк приводится к
ступенчатому виду:
1
0

...

0
0

...
0

0 ... 0
1
...
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
c1,r 1
... c1,n
0 c 2,r 1
... ...
1 c r ,r 1
0
0
... ...
0
0
... c 2,n
... ...
... c r ,n
... 0
... ...
... 0
d1 
d 2 
... 

dr  .
0

... 
0 
При этом угловой минор соответствует единичной матрице и имеет ранг r,
равный рангу системы.
Из полученной матрицы следует система:
 x1  c1,r 1  x r 1  ...  c1,n  x n  d1
x  c
 2
2 , r 1  x r 1  ...  c 2 , n  x n  d 2
,

.....................................................
 x r  c r ,r 1  x r 1  ...  c r ,n  x n  d r
которая является линейно независимой, т.е. состоит из r линейно независимых
уравнений. Это означает, что расширенная матрица этой системы состоит из r
линейно независимых или базисных строк.
Отсюда легко получить выражения базисных переменных x1 , x2 , ..., xr через
свободные переменные xr+1 , xr+2 , ..., xn :
 x1  d1  c1,r 1  x r 1  ...  c1,n  x n
x  d  c
 2
2
2 , r 1  x r 1  ...  c 2 , n  x n
.

.....................................................
 x r  d r  c r ,r 1  x r 1  ...  c r ,n  x n
Полученное решение есть общее решение системы. Положив свободные
переменные равными нулю, xr+1 =0, xr+2 =0, ..., xn=0, и, вычислив соответствующие
значения базисных переменных, получим частное решение исследуемой системы:
x1 =d1 , x2 =d2 , ..., xr=dr , xr+1 =0, xr+2 =0, ..., xn=0.
Изложенный общий случай исследования согласуется с процедурами
вычисления ступенчатой матрицы в пакетах MathCAD, Matlab или Mathematica.
Например, в среде MathCAD эта процедура выполняется с помощью команды rref.
В результате исходная матрица преобразуется к ступенчатой матрице, в которой
25
угловой минор соответствует единичной матрице, ранг которой равен рангу
заданной системы уравнений. Это существенно упрощает нахождение общего
решения системы, особенно в задачах с большим количеством уравнений и
неизвестных.
Исследуем неоднородную систему из предыдущего примера с помощью
пакета MathCAD. Ниже приводится рабочий лист с решением этой задачи.
Зеленым цветом обозначены комментарии.
Определим матрицу системы и вектор-столбец правой части:
1
1

A   0
2

3
1 0 0 0
1 1 0
1 1 1
3 2 1
3 2 0

0

1
1

0
1
4
 
b   2 
7
 
9
Для формирования расширенной матрицы системы используем функцию augment(A, b), которая формирует
матрицу, добавляя к столбцам матрицы системы A справа матрицу правых частей b
Ar  augment( A b )
Для просмотра результата введите знак равенства, используя клавишу <=>.
1
1

Ar   0
2

3
1 0 0 0 1


1 1 1 1 2
3 2 1 1 7

3 2 0 0 9
1 1 0 0 4
Найдем ранг матрицы A и ранг расширенной матрицы Ar с помощью функции rank
rank ( A)  3
rank ( Ar )  3
Так как rank(A)=rank(Ar), то система совместна
Приведем матрицу системы к ступенчатой форме с помощью функции rref
26
1
0

rref ( Ar )   0
0

0


1

3 
0 

0 
0 0 1 1 2
1 0 1
1
0 1 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
Свободные переменные x4, x5, базисные переменные x1,x2,x3.
Запишем эквивалентную систему
Given
x1 - x4 - x5 = 2
x2 + x4 + x5 = -1
x3 = 3
Базисные переменные x1,x2,x3 выражаются через свободные переменные и получаем общее решение системы
и частные решения
Конец задачи.
11. Собственные векторы и собственные значения матрицы
В п. 7 приводилось определение однородной системы линейных
алгебраических уравнений. Будем считать, что число неизвестных n в системе
равно числу уравнений.
Матричный вид однородной системы:

A x  0 .
Однородная система уравнений всегда совместна, поскольку любая
однородная линейная имеет по крайней мере одно решение:
x1=0, x2=0, … , xn=0.
Если однородная система уравнений имеет единственное решение, то это
решение – нулевое.
27
Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела
ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы det A = 0.
Итак, если определитель det A  0, то система имеет единственное
решение. Если же det A = 0, то система линейных однородных уравнений имеет
бесконечное множество решений.
Во многих задачах приходится рассматривать уравнение относительно


А х    х ,
где
 R.
Понятно, что при любом  это уравнение имеет нулевое решение:

х

х 0.


 , при котором уравнение А  х    х имеет ненулевые решения

называется собственным значением матрицы А, а х при таком  называется
Число
собственным вектором матрицы A.


Найдём собственный вектор матрицы A. Поскольку E∙ х = х , то матричное
уравнение можно переписать в виде


А х    Е  х
или

( А    Е)  х  0 .
Матрица этой системы имеет вид
a11  
 a
21
( А    Е)  
 ...

 a n1
a1n 
a 2 n 
.
...
... 

... a nn   
a12
...
a 22   ...
...
an 2
Итак, получили систему однородных линейных уравнений для определения

координат x1, x2, …, xn вектора х . Чтобы система имела ненулевые решения
необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.
| А    Е | 0
или
a11  
a 21
...
a n1
a12
...
a 22   ...
...
an2
a1n
a2n
...
...
... a nn  
=0.
28
Это уравнение третьей степени относительно  . Оно называется
характеристическим уравнением матрицы A и служит для определения
собственных значений
.
Каждому собственному значению

 соответствует собственный вектор х ,
координаты которого определяются из системы при соответствующем значении  .
Пример.
Найти собственные векторы и соответствующие им собственные значения
матрицы
1  1 0 
A  2 1  1 .
1  1 0 
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдём собственные
значения:
1 
2
1
1
0
1    1 =0    (1   ) 2  1  (1   )  2  0  3  22  2  0 .
1  
Откуда находим собственное значение   0 .
При
  0 получаем систему уравнений:
 x1  x 2  0
 x1  x 2

.
2 x1  x 2  x3  0  
2 x1  x3   x2
x  x  0
2
 1
Решением будет: х1=х2, х3=3х2, х2  R . Собственный вектор принимает

множество значений: х =( x2 , x2 ,3x2 ) Т, причем x2  R . Здесь переменная х2
выбрана в качестве свободной переменной. Ей можно присваивать любые
значения из множества действительных чисел.