+q - Южный федеральный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Цветянский А.Л., Сорочинская М.А., Игнатова Ю.А.
Электромагнетизм. Модуль 1. Электростатика. Задачи.
Для студентов факультета высоких технологий
учебно-методическое пособие
Ростов-на-Дону
2009
Учебно-методическое пособие разработано к. ф.-м. н., проф. кафедры общей
физики А.Л. Цветянским, старшим преподавателем кафедры общей физики М.А.
Сорочинской, старшим преподавателем кафедры общей физики Ю.А. Игнатовой
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического
факультета ЮФУ, протокол №
от
2009г.
2
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее учебно-методическое пособие разработано по теме «Электростатика»,
которая является составной частью раздела «Электромагнетизм», изучаемого в
рамках курса «Физика» во 2 семестре.
Цель данного пособия – сосредоточить внимание студентов на основных законах
электромагнетизма и показать, когда и как следует применять эти законы при
решении различных конкретных задач.
Пособие включает вопросы и задачи, которые формируют у учащегося
физическое мышление, помогают понять и осмыслить основные положения,
физические законы и представления.
Пособие будет хорошим подспорьем учащемуся при самостоятельной подготовке,
усиление которой соответствует современным тенденциям в преподавании.
Проверка качества приобретенных знаний, умений и навыков осуществляется с
использованием диагностико-квалиметрических материалов, приведенных в
настоящем учебно-методическом пособии, во время аудиторной работы.
Решение задач принесет наибольшую пользу только в том случае, если учащийся
решает
задачи
самостоятельно.
При
решении
задач
целесообразно
руководствоваться следующими правилами.
1 Прежде всего необходимо изучить теоретический материал по данной теме.
2 Нужно хорошо вникнуть в условие задачи. Если позволяет характер задачи,
обязательно сделать рисунок, поясняющий ее сущность.
3
За редким исключением, каждая задача должна быть сначала решена в
общем виде (т. е. в буквенных обозначениях, в не в числах), причем
искомая величина должна быть выражена через заданные величины.
Получив решение в общем виде, нужно проверить, правильную ли оно
имеет размерность. Если это возможно, исследовать поведение решения в
предельных случаях.
3
В тех случаях, когда в процессе нахождения искомых величин приходится
решать систему нескольких громоздких уравнений (как, например, часто
бывает при нахождении токов, текущих в сложных разветвленных цепях),
целесообразно сначала подставлять в эти уравнения числовые значения
коэффициентов и затем определять значения искомых величин.
4
Убедившись в правильности общего решения, подставляют в него вместо
каждой из букв числовые значения обозначенных ими величин, беря,
разумеется, все эти значения в одной и той же системе единиц. Чтобы
облегчить
определение
порядка
вычисляемой
величины,
полезно
представить исходные величины в виде чисел, близких к единице,
умноженных на 10 в соответствующей степени (например, вместо 247
подставить 2,47 ∙ 102, вместо 0,086 — число 0,86 ∙ 10-1 и т. д.).
5
Надо помнить, что числовые значения физических величин являются
приближенными. Поэтому при расчетах необходимо руководствоваться
правилами
действий
с
приближенными
числами.
В
частности,
в
полученном значении вычисленной величины нужно сохранить последним
тот знак, единица которого превышает погрешность этой величины. Все
остальные значащие цифры надо отбросить.
6
Получив числовой ответ, нужно оценить его правдоподобность. Такая оценка
может в ряде случаев обнаружить ошибочность полученного результата.
4
1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД
1.1 С какой относительной погрешностью  надо измерять заряды порядка
10 9 Кл, чтобы обнаружить дискретную природу заряда?
Ответ:  10 11 .
1.2 Некоторый заряд имеет в системе отсчета К величину q. Какова будет
величина этого заряда q' в системе отсчета К', движущейся относительно К
со скоростью v 0 ?
1.3 Чему равен суммарный заряд моля электронов?
Ответ:  9,65  10 4 Кл/моль.
1.4 Найти суммарный заряд атомных ядер меди, содержащихся в 1см3.
Ответ: 3,9  10 5 Кл.
2 ЗАКОН КУЛОНА
2.1 Два заряда q1 и q2 находятся в точках с радиус-векторами 𝑟⃗1 и 𝑟⃗2 . Написать
выражение для силы 𝐹⃗21 , действующей на второй заряд со стороны первого.
2.2 Имеются две системы точечных зарядов q1 , q 2 , . . . , qi, . . . , q N 1 и q1 ,
q 2 , . . . , q k , . . . , q N 2 , закрепленных в точках с радиус-векторами 𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 , . . . ,
𝑟⃗𝑖 , . . ., 𝑟⃗𝑁1 и ⃗⃗⃗𝑟1 ′, 𝑟⃗2 ′, . . . , 𝑟⃗𝑘 ′, . . ., 𝑟⃗𝑁2 ′. Найти силу 𝐹⃗ , с которой система
зарядов q k действует на систему зарядов q i .
Ответ:
N1 N 2
1
4 0

i 1 k 1
qi qk
 
ri  rk
3
 
(ri  rk ) .
2.3 По телу объема V распределен заряд q с плотностью (𝑟⃗); по телу объема V'
распределен другой заряд q' с плотностью (𝑟⃗'). Написать выражение для
силы 𝐹⃗ , с которой заряд q' действует на заряд q.
Ответ:
1
4 0

V V


 
 ( r )  ( r  )( r  r  )
  3
r r
dVdV  .
5
2.4 Доказать, что если два одинаковых металлических шарика, заряженные
одноименно неравными зарядами, привести в соприкосновение и затем
раздвинуть на прежнее расстояние, то сила взаимодействия обязательно
увеличится, причем это увеличение тем более значительным, чем больше
различие в значении зарядов.
2.5 Одинаковые металлические шарики, заряженные одноименно зарядами q и
4q, находятся на расстоянии r друг от друга. Шарики привели в
соприкосновение. На какое расстояние х их надо развести, чтобы сила
взаимодействия осталась прежней?
Ответ: 1,25r.
2.6 Заряженные шарики, находящиеся на расстоянии 2м друг от друга,
отталкиваются с силой 1H. Общий заряд шариков 510-5Кл. Как распределен
этот заряд между шариками?
Ответ: 3,8∙10-5Кл; 1,2∙10-5Кл.
2.7 Сопоставить силу кулоновского взаимодействия Fe двух электронов с силой
их гравитационного взаимодействии Fg .
Ответ: Fe / Fg  4 ,2  1042 .
2.8 Какую массу m p должен был бы иметь протон для того, чтобы сила
электростатического отталкивания двух протонов уравновешивалась силой
их гравитационного притяжения?
Ответ: 1,86  10 9 кг 10 18 m p , где m p - истинная масса протона.
2.9 При каком одинаковом для Солнца и Земли удельном заряде q/m сила
кулоновского взаимодействия между ними оказалась бы равной силе
гравитационного взаимодействия? Сравнить полученное значение q/m с
удельным зарядом e / mе электрона.
Ответ: 0,86  10 10 Кл/кг  4 ,9  10 22 e / me .
6
2.10 На двух одинаковых капельках воды находится по одному лишнему
электрону,
причем
сила
электрического
отталкивания
капелек
уравновешивает силу их взаимного тяготения. Каковы радиусы капелек?
Ответ: 0,076мм.
2.11 Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины,
опускаются в керосин. Какова плотность материала шариков, если угол
расхождения нитей в воздухе и в керосине один и тот же? Диэлектрическая
проницаемость керосина равна 2, плотность 0,8г/см3.
Ответ: 1,6г/см3.
2.12 Два точечных заряда одинаковой величины q находятся на расстоянии а друг
от друга. Куда следует поместить точечный заряд q′, чтобы система
находилась в равновесии? Найти величину q'.
Ответ: а/2, q'=-q/4.
2.13 Три
одинаковых
равностороннего
точечных
треугольника,
заряда
а
q
расположены
точечный
заряд
q'
в
—
вершинах
в
центре
треугольника. Каким должен быть заряд q', чтобы сила, действующая на
каждый заряд, была равна нулю?
Ответ: q'=−
𝑞
.
√3
2.14 В центре квадрата, в вершинах которого находится по заряду q, помещен
отрицательный заряд. Какова величина этого заряда, если система
находится в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым?
Ответ: 0,957q; равновесие неустойчивое.
2.15 В вершинах правильного шестиугольника со стороной a помещены друг за
другом заряды +q, +q, +q, -q, -q, -q. Найти силу, действующую на заряд +q,
который находится в центре шестиугольника.
Ответ:
q2
.
 0 a 2
7
2.16 Два равных по величине заряда 310-9Кл расположены в вершинах при
острых углах равнобедренного прямоугольного треугольника на расстоянии
2 2 см. Определить с какой силой эти два заряда действуют на третий заряд
10-9Кл, расположенный в вершине при прямом угле треугольника.
Рассмотреть случаи, когда первые два заряда одно- и разноименные.
Ответ: 9,5∙10-5Н; 9,5∙10-5Н.
2.17 Вычислить
ускорение,
сообщаемое
одним
электроном
другому,
находящемуся от первого на расстоянии 1мм.
Ответ: 2,5  108 м/с2.
2.18 Шарик массой m, несущий заряд q, свободно падает в однородном

электрическом поле напряженностью E . Линии напряженности направлены
параллельно поверхности земли. Каково движение шарика? Написать
уравнение траектории у=у(х), направив ось Ох параллельно вектору
напряженности, а ось Оу вертикально вниз. Начальная скорость шарика
равна нулю.
Ответ: прямолинейное, равноускоренное; у=
mg
x.
qE
2.19 Свинцовый шарик (плотность свинца 11,3г/см3) диаметром 0,5см помещен в
глицерин (плотность глицерина 1,26г/см3). Определите заряд шарика, если в
однородном электростатическом поле шарик оказался взвешенным в
глицерине. Электростатическое поле направлено вертикально вверх, и его
напряженность 4кВ/см.
Ответ: 16,1нКл.
3 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
НАПРЯЖЕННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
3.1 Точечный заряд q находится в начале координат. Написать выражение для
напряженности поля ⃗Е⃗ заряда. Ответ выразить через: 1) радиус-вектор точки
𝑟⃗; 2) декартовы координаты х, у, z. Написать также выражения для Ех, Еy, Еz.
8
3.2 N зарядов q1, q2, ..., qN расположены в точках с радиус-векторами 𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 , ..., 𝑟⃗𝑁 .
Написать выражения для вектора напряженности поля в точке с радиусвектором 𝑟⃗.
3.3 Заряд распределен по объему V с плотностью ρ(𝑟⃗), зависящей от координат.
Написать выражение для напряженности поля
заряда в точке с радиус-
вектором 𝑟⃗.
3.4 Нарисовать картину линий напряженности между двумя точечными
зарядами +2q и -q. Могут ли линии напряженности электростатического
поля быть замкнутыми?
3.5 Построить графики изменения напряженности и потенциала поля вдоль
линии, проходящей через два точечных заряда, находящихся на расстоянии
2d друг от друга. Величины зарядов равны: 1) +q и -q; 2) +q и +q; 3) +q и
-3q.
3.6 Два точечных заряда +q и -q расположены соответственно в точках с
координатами (а/2, 0, 0), (-а/2, 0, 0). 1) Построить качественно график
зависимости поля Ех(х) для точек, лежащих на оси х; 2) написать выражение
для напряженности поля Ех(х) в точках, лежащих на оси у, построить график
зависимости Ех(у).
3.7 В вершинах равностороннего треугольника со стороной а находятся заряды
+q, +q, и -q. Найти напряженность поля  в центре треугольника.
Ответ:
3.8 В
3q
.
2 0 a 2
вершинах
положительные
квадрата
заряды
со
стороной
2нКл.
5см
находятся
Определите
одинаковые
напряженность
электростатического поля: 1) в центре квадрата; 2) в середине одной из
сторон квадрата.
Ответ: 1) 0; 2) 10,3кВ/м.
9
3.9 Найти модуль и направление напряженности поля ⃗Е⃗: 1) в центре кольца
радиуса R, по которому равномерно распределен заряд q > 0, в кольце
сделана прорезь ширины b<<R; 2) в центре сферы радиуса R, по
поверхности которой равномерно распределен заряд q>0, в сфере сделано
маленькое отверстие площади S<<R2.
3.10 Заряд q>0 равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом R. Найти
напряженность Е электрического поля на оси кольца как функцию
расстояния х от его центра.
Ответ: Е 
q
40

R
х
2
х
2

3
.
2
3.11 Тонкая прямая нить длиной 2l заряжена равномерно зарядом q. Найти
напряженность Е поля в точке, отстоящей на расстоянии х от центра нити и
расположенной симметрично относительно ее концов.
Ответ: Е 
1

q
40 x l  x 2
2
.
3.12 Полубесконечная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд  на
единицу длины. Найти модуль напряженности поля Е в точке, которая
отстоит от нити на расстоянии х и находится на перпендикуляре к нити,
проходящем через ее конец.
Ответ: Е 
 2
.
4 0 х
3.13 Две бесконечно длинные, равномерно заряженные нити с линейной
плотностью зарядов 610-5Кл/м расположены на расстоянии 0,2м друг от
друга. Найти напряженность электрического поля, созданного в точке,
удаленной на 0,2м от каждой нити.
Ответ: 9,3106В/м.
3.14 По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен
заряд с линейной плотностью λ. Определить напряженность электрического
10
поля Е, создаваемого таким распределением зарядов в точке, совпадающей с
центром кривизны дуги. Длина l нити составляет одну треть длины
окружности.
3
.
6 0 l
Ответ: Е 
3.15 Тонкое непроводящее кольцо радиусом R заряжено с линейной плотностью
=0cos, где 0 – положительная постоянная,  - азимутальный угол. Найти
напряженность Е электрического поля в центре кольца.
0
.
4 0 R
Ответ: Е 
3.16 Имеется плоский конденсатор с круглыми пластинами радиуса
R,
отстоящими друг от друга на расстояние 2а (a<<R). Пластинам сообщены
одинаковые по модулю разноименные заряды. Ось, проходящую через
центры пластин, обозначим буквой х. Начало координат поместим в центр
конденсатора. Полагая, что заряды распределены по пластинам равномерно с
плотностью  и , исследовать напряженность поля в точках, лежащих на
оси х. С этой целью найти: 1) Ex как функцию х; 2) Ex (0), т.е. Ex в центре
конденсатора. 3) Ex (а—0), т.е. Ex в точке с координатой x=a
(0);
4) Ex (а+0), т. е. Ex в точке с координатой x=a (0); 5) Ex как функцию х
в точках, для которых x >>R. Толщиной пластин пренебречь.
Ответ: 1)
2)

2 0

0
(
(1 

4)   0
3.17 На
xa
( x  a )2

a
R a2
2
a
R2 4 a2
xa
R ( xa )2
2

xa
( xa )2
)  0 (1  Ra ); 3)
  0 Ra ; 5)  1
4 0
некотором расстоянии

0

xa
R ( xa )2
2
(1 
2( 2 aq )
x
3
a
R 4 a 2
2
);
)  0 (1  Ra );
, где q=r2.
от бесконечной
равномерно
заряженной
плоскости с поверхностной плотностью 0,1нКл/см2 расположена круглая
пластинка.
Нормаль
плоскости
пластинки
11
составляет
с
линиями
напряженности угол 30. Определите поток вектора напряженности через
эту пластинку, если ее радиус 15см.
Ответ: 3,46кВ∙м.
3.18 Определите поток вектора напряженности электростатического поля через
сферическую поверхность, охватывающую точечные заряды 5нКл и -2нКл.
Ответ: 339В∙м.
3.19 Найти
напряженность
поля
Е
бесконечной
плоскости,
равномерно
заряженной с поверхностной плотностью заряда σ.
Ответ: Е 

.
2 0
3.20 Найти напряженность поля Е двух параллельных плоскостей, заряженных
равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями  и
- .
Ответ: Е 

.
0
3.21 Может ли поле вне разноименно и однородно заряженных параллельных
бесконечных плоскостей быть отличным от нуля?
3.22 Две параллельные бесконечные плоскости заряжены: одна с плотностью
1=+4,4210-10Кл/м2, другая с плотностью 2=8,8410-10Кл/м2. Найти
напряженность поля для каждой из областей A, B и C.
Рисунок 1. Рисунок к задаче 3.22
⃗⃗А =25𝑖⃗ В/м, Е
⃗⃗𝐵 =75𝑖⃗ В/м, Е
⃗⃗𝐶 =25𝑖⃗ В/м.
Ответ: Е
12
3.23 Две параллельные бесконечные плоскости заряжены разноименно с разными
по модулю плотностями 1 и 2. Абсциссы указанных на рисунке точек
равны: x1=3м, x2=1м, х3=+2м, х4=+3м. Разность потенциалов между
точками 2 и 1 равна 21=400В. 1) Какая из плотностей (1 или 2)
больше по модулю? 2) Чему равна разность потенциалов 43?
Ответ: 1) 1 >2. 2) 34=200 В.
Рисунок 2. Рисунок к задаче 3.23
3.24 Найти напряженность поля Е бесконечного круглого цилиндра радиуса R,
заряженного равномерно по поверхности так, что на единицу его длины
приходится заряд .
Ответ: Е= 0 (r  R) ; Е 

20 r
(r  R).
3.25 Найдите напряженность поля Е сферической поверхности радиуса R,
заряженной равномерно зарядом q. Постройте график зависимости Е(r).
Ответ: Е= 0 (r  R) ; Е 
q
4 0 r 2
(r  R ).
3.26 Найдите напряженность поля Е шара радиуса R, по объему которого
равномерно распределен заряд q. Постройте график зависимости Е(r).
Ответ: Е 
1
40

q
q
(r  R ).
r (r  R) ; Е 
3
4 0 r 2
R
13
3.27 Шар радиусом 10см заряжен равномерно с объемной плотностью 10нКл/м3
Определите напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии 5см
от центра шара; 2) на расстоянии 15см от центра шара.
Ответ: 18,8В/м; 16,7В/м.
3.28 Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого
зависит только от расстояния r до его центра как =0(1–r/R), где 0 –
постоянная. Полагая, что диэлектрическая проницаемость =1 всюду, найти
1) модуль напряженности электрического поля E внутри и вне шара как
функцию r; 2) максимальное значение модуля напряженности Еmах и
соответственно значение rm.
 0 r  3r 
0 R3

2
Ответ: 1) Е 
R , rm  R.
(r  R) ; 2) Е max 
1 
 ( r  R) , Е 
2
3
9 0
3 0  4 R 
12 0 r
3.29 Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами
радиусами 5см и 8см. Заряды сфер соответственно равны 2нКл и -1нКл.
Определите напряженность электростатического поля в точках, лежащих от
центра сфер на расстояниях: 1) 3см; 2) 6см; 3) 10см. Постройте график
зависимости Е(r).
Ответ: 1) 0; 2) 5кВ/м; 3) 0,9кВ/м.
3.30 Напряженность электрического поля зависит только от координат х и у как
 

E  axi  yj 
x
2
y
2


, где а – постоянная; i и j – орты осей Ох и Оу. Найти

заряд внутри сферы радиусом R с центром в начале координат.
Ответ: 40 aR.



3.31 Для поля E  aуi  хj  вычислить: 1) ротор в точке с координатами (х, у, z);
2) циркуляцию по окружности радиуса R, лежащей в плоскости х, у (с
центром в произвольной точке), направление обхода образует с осью z
правовинтовую систему.
Ответ: 1) 2a𝑖⃗; 2) 2aR2.
14



3.32 Может ли электростатическое поле иметь вид E  aуi  хj  ?
3.33 Что представляют собой эквипотенциальные поверхности однородного
электрического поля?
3.34Заряд q находится в точке с радиус-вектором 𝑟⃗1 . Написать выражение для
потенциала поля φ(𝑟⃗), создаваемого этим зарядом в точке с радиус-вектором
𝑟⃗.
3.35 Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом.
Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого
поля, если на расстоянии 10см от заряда потенциал равен 100В.
Ответ: 1кВ/м, направлен к заряду.
3.36 Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, заряженной
равномерно с поверхностной плотностью 5нКл/м2. Определите числовое
значение и направление градиента потенциала этого поля.
Ответ: 282В/м, направлен к плоскости.
3.37 Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью, заряженной
равномерно с линейной плотностью 50пКл/см. Определите числовое
значение и направление градиента потенциала в точке на расстоянии 0,5м от
нити.
Ответ: 180В/м, направлен к нити.
3.38 Известно, что в трех «близких» точках 1, 2, 3 потенциалы - одинаковы, точки
не лежат на одной прямой. Что можно сказать о направлении напряженности
поля в окрестности этих точек?
3.39 На рис. 3 приведена картина линий поля 𝐸⃗⃗ . Изобразить эквипотенциальные
кривые и указать направление вдоль линий поля, в котором потенциал
возрастает.
15
Рисунок 3. Рисунок к задаче 3.39.
3.40 Изобразить качественно линии поля 𝐸⃗⃗ : 1) точечного заряда; 2) однородного
электрического поля; 3) диполя. Для случаев 1) и 2) изобразить также
эквипотенциальные поверхности.
3.41 Известно, что потенциалы двух близких параллельных эквипотенциальных
плоскостей 1 и 2 равны 3В, 3,05В. Расстояние между плоскостями 0,5см.
Указать
направление
и
вычислить
приближенное
значение
модуля
напряженности поля Е между этими плоскостями.
3.42 Точечный заряд q>0 находится в начале координат. Построить графики
зависимостей Ех(х) и φ(x): 1) для точек прямой у=а, лежащей в плоскости ху;
2) для точек oси х.

3.43 Найти напряженность E поля, потенциал которого имеет вид: 1) (х,y)=-аху,


( r )=- ar ,
а–постоянная, 2)

a –постоянный
вектор,

r –радиус-вектор
интересующей нас точки поля.


Ответ: 1) ayi  xj  ; 2) a .

3.44 Потенциал некоторого электрического поля имеет вид =(ху–z2). Найти




проекцию вектора E на направление вектора a  i  3k в точке М(2, 1, -3).
Ответ: 
19
10





3.45 Напряженность поля E  ai  bj  ck , где а, b, с — константы. Является ли это
поле однородным? Найти его потенциал φ(х, у, z), положив φ(0,0,0)=0.
3.46 Найти напряженность поля, если потенциал φ=сr, где с — отрицательная
константа, r — расстояние от начала координат до точки наблюдения.
Изобразить эквипотенциальные поверхности и линии поля ⃗Е⃗.
16
3.47 Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид: =x2+y2+z2.
1) Что можно сказать о характере поля? 2) Найти модуль напряженности
поля в точке (x, y, z).
Ответ: 1) Поле является центрально-симметричным. 2) 2 x 2  y 2  z 2 .
3.48 Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид: (r, ), где r—
расстояние от начала координат,  — полярный угол. 1) Что можно сказать о
характере поля? 2) Найти модуль напряженности поля в точке (r, ).
Ответ: 1) Поле является осесимметричным. 2) (  / r ) 2  ( 1 / r 2 )(  /  ) 2 .
3.49 Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид:
φ=a(x2+y2)+bz2, где а и b — положительные константы. 1) Найти
напряженность
поля
⃗⃗
Е
и
ее
модуль.
2)
Какую
форму
имеют
эквипотенциальные поверхности? 3) Какую форму имеют поверхности, для
которых E=const?
Ответ: 1)




E  2(aхi  ауj  bzk ) ,
E=2 a 2 ( x 2  y 2 )  b 2 z 2 . 2) Эллипсоид
 / a,
вращения с полуосями:
 / a,
 / b . 3) Эллипсоид
вращения с полуосями: E/2a, E/2a, E/2b.
3.50 Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид:
φ=a(x2+y2)bz2, где а и b — положительные константы. Ответить на те же
вопросы, что и в задаче 3.49.




Ответ: 1) E  2(aхi  ауj  bzk ) , E=2 a 2 ( x 2  y 2 )  b 2 z 2 . 2) При 0 
однополостный гиперболоид вращения, при =0  прямой круговой
конус, при 0  двуполостный гиперболоид вращения. 3)
Эллипсоид вращения.
3.51 В вершинах правильного шестиугольника со стороной а помещаются
точечные одинаковые по модулю заряды q. Найти потенциал  и
17
напряженность поля ⃗Е⃗ в центре шестиугольника при условии, что: 1) знак
всех зарядов одинаков; 2) знаки соседних зарядов противоположны.
Ответ: 1)  
1
4 0

6q
a
, E=0; 2) =0, Е=0.
3.52 Находящийся в вакууме очень тонкий прямой стержень длины 2l заряжен с
одинаковой всюду линейной плотностью . Для точек, лежащих на прямой,
перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его центр, найти
потенциал поля как функцию расстояния x от центра стержня. Исследовать
случай xl.
Ответ:  

4 0
ln
x l
x l
. При x>>lполе точечного заряда:  
1
4 0
 qx , (q
полный заряд стержня).
3.53 Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре полусферы
радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной плотностью .
Ответ:
R

,
.
2 0 4 0
3.54 По тонкому проволочному кольцу радиуса R равномерно распределен заряд
q. 1) Приняв ось кольца за ось х, найти потенциал  на оси кольца как
функцию х (начало отсчета х поместить в центр кольца). 2) Исследовать
случаи: х=0 и x >>R. 3) Построить примерные графики функций (x) и Ex(x).
Ответ: 1)  
1
4 0

q
R2  x2
. 2) Для x=0:  
1
4 0
 Rq ; для x >>R:  1 
4
0
q
x
(как
для точечного заряда).
3.55 По круглой очень тонкой пластинке радиуса R равномерно распределен заряд
q. Приняв ось пластинки за ось x, найти  и Ex для точек, лежащих на оси, как
функции x; исследовать полученные выражения для x >>R.
18
Ответ:  
q
2 0 R 2
( R 2  x 2  x 2 ) , Ex=
точечного заряда:  41 
0
q
x
q
2 0 R 2
, E=
(
x
x2
1
4 0


q
x2
x
R2  x2

x
x
) ; при x >>r поле
.
3.56 Очень тонкая пластинка имеет форму кольца с внутренним радиусом а и
внешним радиусом b. По пластинке равномерно распределен заряд q. Приняв
ось пластинки за ось х, найти  и Ex на оси пластинки как функции х.
Исследовать случай x >>b.
Ответ:  
q
(
2 0 ( b 2  a 2 )
b 2  x 2  a 2  x 2 ) , Ex=
qx
(
2 0 ( b 2  a 2 )
1
a  x2
2

1
b  x2
2
).
При x >>b поле точечного заряда.
3.57 Имеются два тонких кольца радиуса R каждое, оси которых совпадают.
Заряды колец равны q и -q. Найти разность потенциалов между центрами
колец, отстоящими друг от друга на расстоянии l.


q 
1
Ответ:
1 
2
20 R 
r
1  

R








3.58 Электростатическое поле создается равномерно заряженной сферической
поверхностью радиусом 10см с общим зарядом 15нКл. Определите разность
потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии 5см
и 15см от поверхности сферы.
Ответ: 360В.
3.59 Электростатическое поле создается сферой радиусом 5см, равномерно
заряженной с поверхностной плотностью 1нКл/м2. Определите разность
потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях 10см и
15см от центра сферы.
Ответ: 0,94В.
19
3.60 Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Определите
радиус шара, если потенциал в центре шара равен 200В, а в точке, лежащей
от его центра на расстоянии 50см, 40В.
Ответ: 10см.
3.61 Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Полагая,
диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал:
1) в центре шара; 2) внутри шара как функцию расстояния r от его центра.
Ответ: 1)
3 q 
r2 
3
q
1  2 
;2) 

8  0 R
8 0 R  3R 
3.62 Электростатическое поле создается шаром радиусом 10м, равномерно
заряженным с объемной плотностью 20нКл/м3. Определите разность
потенциалов между двумя точками, лежащими внутри шара на расстояниях
2см и 8см от его центра.
Ответ: 2,26В.
3.63 Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния r до
его центра по закону =аr2+b, где а и b – постоянные. Найти распределение
объемного заряда (r) внутри шара.
Ответ:  r   6 0 a
3.64 Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, равномерно
заряженной с поверхностной плотностью 1нКл/м2. Определите разность
потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии
20см и 50см от плоскости.
Ответ: 16,9В.
3.65 Электростатическое поле создается бесконечным цилиндром радиусом 8мм,
равномерно заряженным с линейной плотностью 10нКл/м. Определите
разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на
расстояниях 2мм и 7мм от поверхности этого цилиндра.
20
Ответ: 73В.
4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
4.1 Заряды +q и -q находятся в точках 1 и 2 с радиус-векторами 𝑟⃗1 и 𝑟⃗2 . Написать
выражение для дипольного момента 𝑝⃗ этой системы зарядов. Как направлен
вектор 𝑝⃗?
4.2 Найти потенциал  и модуль Е напряженности поля диполя как функции r и
 (r — расстояние от центра диполя,  — угол между осью диполя и
направлением от центра диполя к данной точке). Электрический момент
диполя равен р.
Ответ: =(1/40)pcos/r2, E=(1/40)(p/r3) 1  3 cos 2  .
4.3 Каким свойством обладает электрический дипольный момент 𝑝⃗ нейтральной
системы зарядов?
Ответ: 𝑝⃗ не зависит от выбора точки, относительно которой он берется.
4.4 Два одинаковых заряда +q помещаются в точках с координатами (+а, 0) и
(-а,0). Найти электрический дипольный момент 𝑝⃗ этой системы относительно
точек с координатами: 1) (-а, 0); 2) (+а, 0); 3) (0, 0); 4) (0, +а).
Ответ: 1) 2aq𝑖⃗; 2) 2aq𝑖⃗; 3) 0; 4) 2aq𝑗⃗.
4.5 Решить задачу 4.4, заменив в точке (-а, 0) заряд +q на -q.
Ответ: 1) 2aq𝑖⃗; 2) 2aq𝑖⃗; 3) 2aq𝑖⃗; 4) 2aq𝑖⃗.
4.6 На рисунке 4 изображена система зарядов.
Рисунок 4. Рисунок к задаче 4.6
21
1) Как называется такая система? 2) Чему равен электрический дипольный
момент 𝑝⃗ этой системы зарядов? 3) Найти приближенное значение
потенциала  в точке с координатами: а) (r,0), б) (r, r), в) (0, r). Во всех
случаях r>>а. 4) Сравнить потенциал  в точке (r, 0) с потенциалом ',
который создавал бы в той же точке диполь, заряды которого +q и -q
помещались бы в точках (+а, 0) и (-а, 0).
Ответ: 1) Квадруполем. 2) 0. 3) а) (1/40)3qa2/r3, б) 0, в) (1/40)3qa2/r3.
4) (3a/2r)'.
4.7 Расположенный на оси х тонкий стержень длины 2a заряжен однородно с
линейной плотностью . Найти электрический дипольный момент 𝑝⃗ стержня
относительно: 1) левого конца; 2) середины; 3) правого конца стержня.
0
a
х
a
Рисунок 5. Рисунок к задаче 4.7
Ответ: 1) 2a2𝑖⃗; 2) 0; 3) 2a2𝑖⃗.
4.8 По тонкому кольцу радиуса R распределен равномерно заряд q. В центре
кольца расположен точечный заряд +q. 1) Чему равен электрический
дипольный момент 𝑝⃗ этой системы зарядов? 2) а) Приняв ось кольца за ось х,
начало которой помещается в центре кольца, найти потенциал  и
⃗⃗ для точек оси, координата х которых по модулю много
напряженность поля Е
больше радиуса кольца R ( x >>R); б) каким мультиполем создается данное
электрическое поле?
Ответ:
1)
0.
2)
а)
(1/40)qR2/2 x ,
3
б) квадруполем.
22
⃗Е⃗=(1/40)(3qR2/2x4)(x/ x )𝑖⃗;
4.9 Найти силу взаимодействия двух молекул воды, отстоящих друг от друга на
расстоянии 10нм. Электрический дипольный момент молекулы воды
0,610-29 Клм. Дипольные моменты молекул считать расположенными вдоль
соединяющей молекулы прямой.
Ответ: 2,110-16 Н.
4.10 Определите напряженность поля, создаваемого диполем с электрическим
моментом 1нКлм на расстоянии 25см от центра диполя в направлении,
перпендикулярном оси диполя.
Ответ: 576В/м.
4.11 Два коаксиальных кольца, каждое радиусом R, из тонкой проволоки,
находятся на малом расстоянии l друг от друга (l << R) и имеют заряды q и
–q. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси системы
как функции координаты х.
Ответ: φ=
1
40
4.12 Система

x
qlx
2
R
состоит
2

3
; Е= 
2
из
ql
40
заряда

R 2  2x 2
x
2
q>0,
 R2

5
.
2
равномерно
распределенного
по
полуокружности радиуса а, в центре которой находится точечный заряд –q.
Найти: 1) электрический дипольный момент этой системы; 2) модуль
напряженности электрического поля на оси х системы на расстоянии r >>a
от нее.
Ответ: 1)
2qa

; 2)
qa
  0r 3
2
.


4.13 Найти силу взаимодействия двух точечных диполей с моментами p1 и p2 ,


если векторы p1 и p2 направлены вдоль прямой, соединяющей диполи, и
расстояние между последними равно l.
Ответ:
1
40

6 p1 p 2
.
l4
23
5 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ
⃗⃗ ) и
⃗⃗=α(2x𝑖⃗+4y𝑗⃗+6z𝑘
5.1 Внутри диэлектрика известны его поляризованость Р
напряженность
поля
⃗⃗ ),
𝐸⃗⃗ =(α/ε0)(x𝑖⃗+2y𝑗⃗+3z𝑘
где
α
—
константа,
1) Определить плотность ρʹ связанных зарядов и плотность ρ сторонних
зарядов внутри диэлектрика. 2) Чему равна диэлектрическая проницаемость
ε материала?
5.2 В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью ɛ
⃗⃗. Чему равна поляризованность 𝑃⃗⃗
электрическое смещение имеет значение 𝐷
в этой точке?
⃗⃗.
Ответ: 𝑃⃗⃗=(1-1/ε) 𝐷
5.3 Шар из сегнетоэлектрика однородно поляризован по объему. Нарисовать
качественную
картину
линий
поля
поляризованности
⃗Р⃗,
поля
⃗⃗ и поля напряженности 𝐸⃗⃗ .
электрического смещения 𝐷
5.4 Считая известной поляризованность ⃗Р⃗ на поверхности S диэлектрика,
написать выражение для средней по объему диэлектрика плотности
связанных зарядов ‹ρʹ›.
5.5 Длинная
тонкая диэлектрическая
палочка помещена в однородное
электрическое поле, как показано на рис 6. Изобразить качественную
картину линий поля 𝐸⃗⃗ и график зависимости Ех от х.
Рисунок 6. Рисунок к задаче 5.5
5.6 В поле точечного заряда q>0 находится палочка из диэлектрика. Выделим
три сферические поверхности S1, S2, S3, в центре которых находится заряд q
(рис.7). 1) Сравнить потоки ФE1, ФE2 ФEЗ вектора 𝐸⃗⃗ через эти поверхности
24
⃗⃗
(указать соотношения >, <, =); 2) сравнить потоки ФD1, ФD2, ФD3 вектора 𝐷
⃗⃗(𝑟⃗), используя теорему Гаусса
через эти же поверхности. Можно ли найти 𝐷
⃗⃗?
для вектора 𝐷
Рисунок 7. Рисунок к задаче 5.6
5.7 Диэлектрик, проницаемость которого ε, занимает область z<0. Выберем
контур Г, показанный на рисунке 8. Вектор напряженности поля 𝐸⃗⃗
коллинеарен плоскости рисунка. Определить: 1) знаки выражений
 
E
 dl и

 
D
 dl ; 2) как связаны между собой составляющие поля E1x и Е2x

соответственно в вакууме и в диэлектрике в непосредственной близости от
поверхности диэлектрика; 3) как связаны между собой D1x и D2x.
Рисунок 8. Рисунок к задаче 5.7
5.8 Диэлектрик проницаемости ε занимает область z<0. Выберем замкнутую
цилиндрическую поверхность S, показанную на рисунке 9. Вектор
напряженности поля 𝐸⃗⃗ коллинеарен плоскости рисунка. Определить:
 
 
1) знаки выражений  EdS и  DdS ; 2) как связаны составляющие поля D1z и
S
S
D2z соответственно в вакууме и в диэлектрике в непосредственной близости
25
от его поверхности; 3) как связаны Е1z и E2z; 4) поверхностную плотность
связанных зарядов σʹ через E1z и ε.
Рисунок 9. Рисунок к задаче 5.8
5.9 Диэлектрическая пластина с проницаемостью ε=2 помещена в однородное
электрическое поле напряженности ⃗Е⃗ (рис.10). Линии поля ⃗Е⃗ коллинеарны
плоскости рисунка и образуют некоторый угол с пластиной. 1) Изобразить
⃗⃗ в вакууме и в пластине. 2) Построить
качественно линии полей ⃗Е⃗ и 𝐷
качественно графики зависимостей Ех, Dx, Ey, Dy, E, D от х.
Рисунок 10. Рисунок к задаче 5.9
5.10 В зазор между разноименно заряженными плоскостями ввели пластину из
диэлектрика, не несущую сторонних зарядов (рис. 11). Штриховой линией
на рисунке показана воображаемая замкнутая поверхность, частично
проходящая внутри диэлектрика, частично вне его. Чему равен поток
⃗⃗ через эту поверхность?
вектора 𝐷
26
Рисунок 11. Рисунок к задаче 5.10
5.11 Имеются две бесконечные параллельные плоскости, заряженные с
плотностями +σ и –σ. Первоначально они находятся в вакууме. Затем зазор
между плоскостями заполняется однородным изотропным диэлектриком с
проницаемостью ɛ. Что происходит при этом с: 1) напряженностью E поля в
зазоре; 2) смещением D; 3) разностью потенциалов U между плоскостями?
Ответ: 1) E уменьшается в ε раз, 2) D остается неизменным, 3) U
уменьшается в ε раз.
5.12 Воображаемая замкнутая поверхность S проходит частично вне пластины из
⃗⃗
изотропного диэлектрика, частично - внутри нее (рис. 12). Поток вектора 𝐷
через эту поверхность равен нулю, поток вектора 𝐸⃗⃗ больше нуля. Какие
можно сделать из этого выводы?
Рисунок 12. Рисунок к задаче 5.12
5.13 В однородное электрическое поле с напряженностью Eₒ=100В/м помещена
бесконечна плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного
диэлектрика
с
проницаемостью
ɛ=2.
Пластина
расположена
перпендикулярно к ⃗Е⃗0 . Определить: 1) напряженность поля Е и
27
электрическое смещение D внутри пластины; 2) поляризованность
диэлектрика P; 3) поверхностную плотность связанных зарядов σʹ.
Ответ: 1) E=Eₒ/ε=50В/м, D=εₒEₒ=0,88нКл/м²; 2) P=εₒEₒ(ε-1)/ε=0,44нКл/м²;
3) σ'=±P=±0,44нКл/м².
5.14 Бесконечная пластина толщины а из изотропного диэлектрика поляризована
так, что поляризованность вблизи одной границы пластины 𝑃⃗⃗1=P1𝑛⃗⃗, а
вблизи
другой
границы
𝑃⃗⃗2=P2𝑛⃗⃗,
где
𝑛⃗⃗
-
единичный
вектор,
перпендикулярный пластине и направленный от одной границы ко второй.
Найти среднюю по объему пластины объемную плотность связанных
зарядов ‹ρ'›.
5.15 Бесконечная
пластина
перпендикулярное
к
из
ней
изотропного
однородное
диэлектрика
внешнее
помещена
электрическое
в
поле
напряженностью 𝐸⃗⃗ ₒ (рис. 13). Толщина пластины а, проницаемость
изменяется линейно от значения ɛ1 на левой границе до ɛ2 на правой
границе. Вне пластины ɛ=1. Найти: 1)
𝐸⃗⃗ внутри пластины как функцию х;
2) поток ФЕ через воображаемую цилиндрическую поверхность с
образующими, параллельными осями х, основания цилиндра расположены в
точках с х1=-а/2 и х2=+а/2, площадь каждого основания S; 3) объемную
плотность ρʹсвязанных зарядов как функцию х.
Рисунок 13. Рисунок к задаче 5.15
28
Ответ:
𝐸⃗⃗ =-Eₒk/(ε1+kх)²,
1)
где
k=(ε2-ε1)/а;
2)
ФЕ=SЕₒ[2/(ε1+ε2)-1];
3) ρ'=-εₒEₒk/(ε1+kх)².
5.16 Найти ρʹ в середине пластины из задачи 5.15, если ɛ1=2, ɛ2=4, a=1см,
Еₒ=3кВ/м.
Ответ: ρ'=-(4εₒEₒ/а)(ε2-ε1)/(ε1+ε2)²=-0,59мкКл/м3.
5.17 Стеклянная пластинка с проницаемостью ε2=6 внесена в однородное
электрическое поле с напряженностью E1=10В/м и расположена так, что
угол α1 между нормалью к пластинке и направлением внешнего поля равен
30º. Найти напряженность E2 поля в пластинке, угол α2, который это поле
образует с нормалью к пластинке, а также плотность σ' связанных зарядов,
возникших
на
поверхностях
пластинки.
Считать
диэлектрическую
проницаемость среды вне пластинки ε1=1.
5.18 Бесконечная пластина из диэлектрика с проницаемостью ε заряжена
однородно с объемной плотностью ρ. Толщина пластины равна 2а. Вне
пластины ε=1. Направим ось х перпендикулярно пластине, начало
координат поместим в середине пластины. Найти φ и Ех внутри и вне
пластины как функцию х (потенциал в середине пластины положить равным
нулю). Построить графики φ и Ех.
Ответ:
при
│х│≤а:
φ=-ρх²/2εεo,
Ех=ρх/εεo,
при
│х│>а:
φ=-(ρα/εo)│х│+(ρα²/εo)(1-1/2ε), Ех=(ρα/εo)(х/│х│).
5.19 Для платины из задачи 5.17 найти: 1) поляризованность ⃗Р⃗ диэлектрика, как
функцию х; 2) поверхностную плотность σ' связанных зарядов левой (х=-а)
и на правой (х=+а) границах пластины; 3) объемную плотность ρ' связанных
зарядов.
⃗⃗=(1-1/ε)ρх𝑖⃗, 2) на обеих поверхностях σ'=(1-1/ε)ρα, 3) ρ'=-(1-1/ε)ρ.
Ответ: 1) Р
29
5.20 Пластина из задачи 5.17 заряжена с плотностью ρ=ρ̥ ехр(-α│х│), где ρ̥ и αконстанты. Найти: 1) проекцию напряженности поля на ось х, 2) объемную
плотность связанных зарядов, как функцию х.
Ответ: 1) Ех=(х/│х│)(ρ̥ /αεε̥ )[1-ехр(-α│х│), 2) ρ'=-(1-1/ε)ρ̥ ехр(-α│х│).
5.21 Точечный сторонний заряд q находится в центре шара радиусом R из
однородного
изотропного
диэлектрика
проницаемости
.
Найти
напряженность Е поля как функцию расстояния r от центра данного шара.
Ответ:
1
4 0

q
1
q
 2 (r  R).
(r  R) ;
2
40 r
r
5.22 Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя, внутренний и
внешний радиусы которого равны а и b. Изобразить примерные графики
напряженности Е и потенциала  электрического поля как функции
расстояния
r
от
центра
системы,
если
диэлектрику
сообщили
положительный сторонний заряд, распределенный равномерно: 1) по
внутренней поверхности слоя; 2) по объему слоя.
5.23 Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью >0
по шару радиусом R из однородного диэлектрика с проницаемостью .

Найти: 1) модуль вектора E как функцию расстояния r от центра шара,
изобразить
примерные
графики
функции
Е(r)
и
потенциала
(r);
2) поверхностную и объемную плотность связанных зарядов.
Ответ:
R 3 1
 1  R
 1


.
r (r  R) ,
 2 (r  R) ;
,

3

3 0
3 0 r
5.24 Точечный сторонний заряд q находится в центре сферического слоя
(внутренний и внешний радиусы слоя равны а и b) неоднородного
изотропного диэлектрика, проницаемость которого изменяется только в
радиальном направлении по закону =/r, где  - постоянная, r - расстояние
от центра системы. Найти объемную плотность  связанных зарядов как
функцию r внутри слоя.
30
Ответ:
40a
1    1 a b
5.25 Поляризованность ⃗Р⃗ некоторой среды оказывается пропорциональной
выражению 𝑒⃗𝑟 /r², где 𝑒⃗𝑟 - орт, r-модуль радиус-вектора 𝑟⃗. Чему равна
объемная плотность ρ' связанных зарядов?
Ответ: ρ'=0.
5.26 Внутренний
цилиндрический
проводник
длинного
прямолинейного
коаксиального провода радиусом 1,5мм заряжен с линейной плотностью
0,2нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом
3мм заряжен с линейной плотностью -0,15нКл/м. Пространство между
проводниками заполнено резиной (=3). Определите напряженность
электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на
расстояниях: 1) 1мм; 2) 2мм;3) 5мм.
Ответ: 1) 0; 2) 800В/м; 3) 180В/м.
6 ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ
6.1 К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность
потенциалов 500В. Площадь пластин 200см2, расстояние между ними 1,5мм.
После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство
между пластинами внесли парафин (=2). 1) Определите разность
потенциалов между пластинами после внесения диэлектрика. Определите
также емкость конденсатора до и после внесения диэлектрика. 2) Решите
задачу для случая, когда парафин вносится в пространство между
пластинами при включенном источнике питания.
Ответ: 1) 250В; 118пФ; 236пФ. 2) 500В; 118пФ; 236пФ.
6.2 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом
(=7). Расстояние между пластинами 5мм, разность потенциалов 1кВ.
Определите: 1) напряженность поля в стекле; 2) поверхностную плотность
31
заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхностную плотность связанных
зарядов на стекле.
Ответ: 1) 200кВ/м; 2) 12,4мкКл/м2; 3) 10,6мкКл/м2.
6.3 Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя диэлектрика слюдяная пластина (=7) толщиной 1мм и парафин (=2) толщиной 0,5мм.
Определите:
1)
напряженность
электростатических
полей
в
слоях
диэлектрика; 2) электрическое смещение, если разность потенциалов между
пластинами конденсатора 500В.
Ответ: 1) 182кВ/м, 637кВ/м; 2) 11,3мкКл/м2.
6.4 Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет 1см,
разность
потенциалов
200В.
Определите
поверхностную
плотность
связанных зарядов эбонитовой пластины (=3), помещенной на нижнюю
пластину конденсатора. Толщина пластины 8мм.
Ответ: 253нКл/м2.
6.5 Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно
соединенными конденсаторами, 100пФ, а заряд 20нКл. Определите емкость
второго конденсатора, а также разность потенциалов на обкладках каждого
конденсатора, если емкость первого 200пФ.
Ответ: 200пФ; 100В; 100В.
6.6 Плоский воздушный конденсатор емкостью 10пФ заряжен до разности
потенциалов
500В.
После
отключения
конденсатора
от
источника
напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в 3
раза. Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора после их
раздвижения.
Ответ: 1,5кВ.
6.7 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора 100В.
Площадь каждой пластины 200см2, расстояние между пластинами 0,5мм,
32
пространство между ними заполнено парафином (=2). Определите силу
притяжения пластин друг к другу.
Ответ: 7,08мН.
6.8 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено слюдой
(=7). Площадь пластин конденсатора составляет 50см2. Определите
поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если пластины
конденсатора притягивают друг друга с силой 1мН.
Ответ: 4,27мкКл/м2.
6.9 Найти
емкость
шарового
проводника
радиусом
а,
окруженного
примыкающим к нему слоем однородного диэлектрика с наружным
радиусом b и проницаемостью . Изобразить примерные графики
зависимостей поля Е(r) и потенциала (r), где r – расстояние от центра
шара, если проводник заряжен положительно.
Ответ:
40a
.
1    1 a b
6.10 Сферический
конденсатор
состоит
из
двух
концентрических
сфер
радиусами 5см и 5,5см. Пространство между обкладками конденсатора
заполнено маслом (=2,2). Определите: 1) емкость этого конденсатора;
2) шар какого радиуса, помещенный в масло, обладает такой же емкостью.
Ответ: 1) 135пФ; 2) 0,55м.
6.11 Определите напряженность электростатического поля на расстоянии 2см от
центра воздушного сферического конденсатора, образованного двумя
шарами (внутренний радиус 1см, внешний – 3см), между которыми
приложена разность потенциалов 1кВ.
Ответ: 37,5кВ/м.
6.12 Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и b, где а<b, заполнен
изотропным, но неоднородным диэлектриком, проницаемость которого
33
зависит от расстояния r до центра системы как =/r,  - постоянная. Найти
емкость такого конденсатора.
Ответ:
40
.
b
ln
a
6.13 Определить емкость коаксиального кабеля длиной 10м, если радиус его
центральной
жилы
1см, радиус оболочки
1,5см, а изоляционным
материалом служит резина (=2,5).
Ответ: 3,43нФ.
6.14 Определите напряженность электростатического поля на расстоянии 1см от
оси коаксиального кабеля, если радиус его центральной жилы 0,5см, а
радиус оболочки 1,5см. Разность потенциалов между центральной жилой и
оболочкой 1кВ.
Ответ: 91кВ/м.
7 РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЭНЕРГИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
⃗⃗
7.1 Найти работу, совершаемую силами однородного поля напряженностью Е
над зарядом q при его перемещении из точки 1 с радиус-вектором 𝑟⃗1 в точку
2 с радиус-вектором 𝑟⃗2 по произвольной траектории.
7.2 Какую работу А нужно совершить, чтобы повернуть диполь с моментом 𝑝⃗ из
положения по полю 𝐸⃗⃗ в положение против поля?
Ответ: A=2pE.
7.3 Два заряда +q и - q находятся в точках с координатами (а/2, 0, 0) и ( - а/2, 0,0)
соответственно. Какую работу совершат силы поля, создаваемого этими
зарядами, при удалении заряда q' из начала координат на бесконечность? Как
изменится ответ, если оба заряда одинаковы и равны +q?
7.4 N зарядов q1, q2, ..., qN находятся в точках с радиус-векторами 𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 , . . ., 𝑟⃗𝑁 .
Заряды поместили во внешнее электрическое поле, потенциал которого φ(r)
34
известен.
Пренебрегая
взаимодействием
между
зарядами,
написать
выражение для энергии W системы зарядов в поле.
7.5 N зарядов q1, q2, ..., qN находятся в точках с радиус-векторами 𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 , . . ., 𝑟⃗𝑁 .
Написать выражение для энергии взаимодействия W зарядов. Ответ привести
в двух формах: 1) через заряды qi и потенциалы φi, создаваемые в точке с
радиус-вектором 𝑟⃗𝑖 всеми зарядами, кроме qi; 2) явно через 𝑟⃗𝑖 и qi.
7.6 Какой физический смысл имеет выражение
1
40
N
q 2 qi
 ; где qi - заряд,
2  ri
 r
i 1
i2
находящийся в точке с радиус-вектором 𝑟⃗𝑖 ?
7.7 Точечный положительный заряд q находится в начале координат. Диполь с
моментом р
⃗⃗ находится в точке с радиус-вектором 𝑟⃗1 . 1) При какой
ориентации диполя энергия его взаимодействия с зарядом: а) максимальна;
б) минимальна; в) равна нулю? 2) Определить силу 𝐹⃗ , действующую на
диполь, если он ориентирован: а) вдоль 𝑟⃗; б) перпендикулярно 𝑟⃗. 3) При
какой ориентации диполя модуль момента сил, приложенного к нему:
а) максимален; б) равен нулю?
7.8 Заряд q распределен по тонкому кольцу радиусом R. Найти работу сил поля
при перемещении точечного заряда q из центра кольца на бесконечность.
Ответ:
q q
40 R
.
7.9 Электростатическое поле создается положительно заряженной с постоянной
поверхностной плотностью 10нКл/м2 бесконечной плоскостью. Какую
работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии
напряженности с расстояния 2см до 1см?
Ответ: 9∙10-19Дж.
7.10 Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной
нитью с постоянной линейной плотностью 1нКл/см. Какую скорость
35
приобретет электрон, приблизившись под действием внешних сил вдоль
линии напряженности с расстояния 1,5см до 1см?
Ответ: 16Мм/с.
7.11 Одинаковые заряды 100нКл расположены в вершинах квадрата со стороной
10см. Определите потенциальную энергию этой системы.
Ответ: 4,87мДж.
7.12 Точечный заряд q находится в центре шарового слоя из однородного
диэлектрика с проницаемостью . Внутренний и наружный радиусы слоя
равны соответственно а и b. Найти электрическую энергию, заключенную в
данном диэлектрическом слое.
Ответ:
q2  1 1 
  .
80  a b 
7.13 Система состоит из двух концентрических металлических оболочек
радиусами R1 и R2 с соответствующими зарядами q1 и q2. Найти собственную
энергию W1 и W2 каждой оболочки, энергию WВЗ взаимодействия оболочек и
полную электрическую энергию W данной системы, если R2 > R1.
Ответ: W1 
1
40

q12
;
2 R1
W2 
1
40

q 22
;
2 R2
WВЗ 
1
40

q1q2
;
R2
q 22
qq 
1  q12

W

 1 2 .

40  2 R1 2 R2
R2 
7.14 Два небольших металлических шарика радиусами R1 и R2 находятся в
вакууме на расстоянии, значительно превышающем их размеры, и имеют
некоторый определенный суммарный заряд. При каком отношении q1/q2
зарядов на шариках электрическая энергия системы будет минимальной?
Какова при этом разность потенциалов между шариками?
Ответ:
q1 R1

; 0.
q 2 R2
36
7.15 Заряд q распределен равномерно по объему шара радиусом R. Полагая
диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти собственную
электрическую энергию шара W и отношение энергии W1, локализованной
внутри шара, к энергии W2 в окружающем пространстве.
3q 2 W2 1
Ответ: W 
;

 .
40 5R W1 5
1
7.16 Имеется сферическая оболочка, заряженная равномерно зарядом q. В центре
ее расположен точечный заряд q0. Найти работу электрических сил этой
системы при расширении оболочки – увеличении ее радиуса от R1 до R2.
Ответ:
qq0  q 2  1
1 
 
.
40
 R1 R2 
7.17 Уединенная металлическая сфера электроемкостью 4пФ заряжена до
потенциала 1кВ. Определите энергию поля, заключенную в сферическом
слое между сферой и концентрической с ней сферической поверхностью,
радиус которой в 4 раза больше радиуса уединенной сферы.
Ответ: 1,5мкДж.
7.18 Две концентрические проводящие сферы радиусами 20см и 50см заряжены
соответственно одинаковыми зарядами 100нКл. Определите энергию
электростатического поля, заключенного между этими сферами.
Ответ: 135мкДж.
7.19 Сплошной эбонитовый шар (=3) радиусом 5см заряжен равномерно с
объемной плотностью 10нКл/м3. Определите энергию электростатического
поля, заключенную внутри шара.
Ответ: 0,164пДж.
7.20 Сплошной шар из диэлектрика радиусом 5см заряжен равномерно с
объемной плотностью 10нКл/м3. Определите энергию электростатического
поля, заключенную в окружающем шар пространстве.
Ответ: 2,46пДж.
37
7.21 Шар, погруженный в масло (=2,2), имеет поверхностную плотность заряда
1мкКл/м2 и потенциал 500В. Определите: 1) радиус шара; 2) заряд шара;
3) емкость шара; 4) энергию шара.
Ответ: 1) 9,74мм; 2) 1,19нКл; 3) 2,38пФ; 4) 0,3мкДж.
7.22 В
однородное
электростатическое
поле
напряженностью
700В/м
перпендикулярно полю поместили стеклянную пластинку (=7) толщиной
1,5мм и площадью 200см2. Определите энергию электростатического поля,
сосредоточенную в пластине.
Ответ: 9,29пДж.
7.23 Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки
которого равна S. Какую работу А против электрических сил надо
совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками от х1 до х2 , если
при этом поддерживать неизменным: 1) заряд конденсатора, равный q;
2) напряжение на конденсаторе, равное U? Чему равно приращение
электрической энергии W конденсатора в обоих случаях?
Ответ: 1)
A 
q2
x2  x1  , W  A ;
2 0 S
2) A 
 0 SU 2  1
2
1
   , W   A.
 x1 x2 
7.24 Найти работу, которую надо совершить против электрических сил, чтобы
удалить диэлектрическую пластинку с проницаемостью ε из плоского
заряженного конденсатора. Предполагается, что заряд q конденсатора
остается неизменным и диэлектрик заполняет все пространство между
обкладками. Емкость конденсатора без диэлектрика равна С.
Ответ:
q2  1 
1  .
2C   
7.25 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом
(=7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление
пластин на стекло оказалось равным 1Па. Определите: 1) поверхностную
плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) электрическое смещение;
38
3) напряженность электростатического поля в стекле; 4) поверхностную
плотность связанных зарядов на стекле; 5) объемную плотность энергии
электростатического поля в стекле.
Ответ: 1) 11,1мкКл/м2; 2) 11,1мкКл/м2; 3) 179кВ/м; 4) 9,5мкКл/м2;
5) 0,992Дж/м3.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
Некоторые физические постоянные
Скорость света в вакууме
c  2,998 108 м с
  6,67 10 11 м3 кг  с 2 
Гравитационная постоянная
Ускорение свободного падения
g  9,807 м с 2
Элементарный заряд
e  1,602 10 19 Кл
Масса покоя электрона
0,91110 30 кг
me  
0,511МэВ
Удельный заряд электрона
e
 1,76 1011 Кл кг
me
Масса покоя протона
m p  1,672 1027 кг
Электрическая постоянная
 0  0,885 10 11 Ф м
1 4   0  9 10 9 м Ф
Магнитная постоянная
 0  1,257 10 6 Гн м
 0 4   10 7 Гн м
Связь между скоростью света и
с  1  0 0
постоянными  0 и  0
39
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.-СПб.: БИНОМЛаборатория знаний, 2005.
2. И.В. Савельев. Сборник вопросов и задач по общей физике. М.: Астрель:
АСТ, 2005.
3. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. Cанкт-Петербург-Москва-Краснодар:
ЛАНЬ, 2006.
4. Бабаджан Е.И. и др. Сборник качественных вопросов и задач по общей
физике. М.: Наука, 1990.
5. Калашников С.Г. Электричество. М.: Физматлит, 2003.
6. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями
для втузов. М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2003.
7. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 2. Электромагнетизм. Под
редакцией Грибасова Е.С. М.: Астрель: АСТ, 2006.
8. Т.И. Трофимова. Физика в таблицах и формулах. М.: Дрофа, 2002.
9. Т.И. Трофимова. Курс физики: учебное пособие для вузов. М.: Высшая
школа, 2001.
10.Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова. Сборник задач по курсу физики с
решениями: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.
11.В.С. Волькенштейн. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука,
2000.
12.Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике: изд. 6-е, исправленное. М.:
Интеграл-пресс, 1997.
40