Электротехника и электроника ОПУ14.1, ОПУ

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА
Задание. Составить конспект темы «Законы Кирхгофа. Методы контурных
токов и узлового напряжения», ответив на следующие вопросы:
1. Сформулировать
первый
закон
Кирхгофа.
Написать
закон
в
математической форме
2. Дать определение: ветвь, узел.
3. Написать правило определения знака тока, для записи первого закона
Кирхгофа.
4. Сформулировать
второй
закон
Кирхгофа.
Написать
закон
в
математической форме
5. Написать правило определения знака ЭДС, для записи второго закона
Кирхгофа.
6. Переписать в тетрадь образец решения задачи на тему «Законы
Кирхгофа. Методы контурных токов и узлового напряжения».
Ответы на вопросы присылать на электронную почту: chepurnajanna@mail.ru
1
Законы Кирхгофа – правила, которые показывают, как соотносятся
токи
и
напряжения
в
электрических
цепях. Эти
правила
были
сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году. В литературе часто
называют законами Кирхгофа, но это не верно, так как они не являются
законами природы, а были выведены из третьего уравнения Максвелла при
неизменном магнитном поле. Но все же, первое более привычное для них
название, поэтому и мы будет их называть, как это принято в литературе –
законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа – сумма токов сходящихся в узле равна
нулю.
Давайте разбираться. Узел это точка, соединяющая ветви. Ветвью
называется участок цепи между узлами. На рисунке видно, что ток i входит в
узел, а из узла выходят токи i1 и i2. Составляем выражение по первому закона
Кирхгофа, учитывая, что токи, входящие в узел имеют знак плюс, а токи,
исходящие из узла имеют знак минус i-i1-i2=0. Ток i как бы растекается на два
тока поменьше и равен сумме токов i1 и i2 i=i1+i2. Но если бы, например, ток
i2входил в узел, тогда бы ток I определялся как i=i1-i2. Важно учитывать
знаки при составлении уравнения.
Первый
закон
Кирхгофа
это
следствие
закона
сохранения
электричества: заряд, приходящий к узлу за некоторый промежуток времени,
равен заряду, уходящему за этот же интервал времени от узла, т.е.
электрический заряд в узле не накапливается и не исчезает.
Второй
закон
Кирхгофа – алгебраическая
сумма
ЭДС,
действующая в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений
напряжения в этом контуре.
2
Напряжение выражено как произведение тока на сопротивление
(по закону Ома).
В этом законе тоже существуют свои правила по применению. Для
начала нужно задать стрелкой направление обхода контура. Затем
просуммировать ЭДС и напряжения соответственно, беря со знаком плюс,
если величина совпадает с направлением обхода и минус, если не совпадает.
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа, для нашей схемы.
Смотрим на нашу стрелку, E2 и Е3совпадают с ней по направлению, значит
знак плюс, а Е1 направлено в противоположную сторону, значит знак минус.
Теперь смотрим на напряжения, ток I1 совпадает по направлению со
стрелкой, а токи I2 и I3 направлены противоположно. Следовательно:
-E1+E2+E3=I1R1-I2R2-I3R3
На основании законов Кирхгофа составлены методы анализа цепей
переменного синусоидального тока. Метод контурных токов – метод
основанный на применении второго закона Кирхгофа и метод узловых
потенциалов основанный на применении первого закона Кирхгофа.
3
Рассмотрим
на
примерах
как
можно
использовать законы
Кирхгофа при решении задач.
Задача 1
Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников.
Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.
Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для
цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить
только одно уравнение.
Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле
равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел
положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи
Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в
независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для
первого
и
второго
контуров
цепи.
Направления
обхода
выбраны
произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с
направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает,
то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.
На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением
обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому
берем их со знаком плюс.
Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:
4
Все эти три уравнения образуют систему
Подставим известные значения и решим данную линейную систему
уравнений.
100𝐼1 + 150𝐼3 = 75
{150𝐼2 + 150𝐼3 = 100
𝐼3 − 𝐼1 − 𝐼2 = 0
𝐼3 = 𝐼1 + 𝐼2
{ 100𝐼1 + 150(𝐼1 + 𝐼2 ) = 75
150𝐼2 + 150(𝐼1 + 𝐼2 ) = 100
Раскроем скобки, умножим второе уравнение на 2, получим:
𝐼3 = 𝐼1 + 𝐼2
{500𝐼1 + 300𝐼2 = 150
150𝐼1 + 300𝐼2 = 100
Из второго уравнения полученной системы выразим 𝐼2 . Вычтем из
второго уравнения третье. Получим:
𝐼3 = 𝐼1 + 𝐼2
100 − 150𝐼1
{𝐼2 =
300
350𝐼1 = 50
𝐼1 = 0.14
{𝐼2 = 0.26
𝐼3 = 0.40
Проверку
правильности
решения
можно
осуществить
разными
способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.
36.1≈36.5
Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.
5