Определение длины волны монохроматического света по

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ШКОЛА ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК ДВФУ
Определение длины волны монохроматического света по кольцам
Ньютона
Лабораторная работа №4.76
Учебно-методическое пособие
Владивосток 2012
Лабораторная работа № 4.76
Определение длины волны монохроматического света по кольцам
Ньютона
Цель работы: Изучение явления интерференции, определение длины
волны красного цвета.
Сущность вопроса
Кольца Ньютона — характерная интерференционная картина, образуемая световыми волнами. Рассмотрим поэтому, прежде всего, в чем
заключается явление интерференции волн вообще. При сложении двух
гармонических колебаний одинаковой частоты и одного направления
амплитуда результирующего колебания сильно зависит от разности фаз
складывающихся колебаний. Покажем это математически. Уравнения двух
колебаний:
𝑥1 = 𝑎 ∙ sin⁡(2𝜋𝜈𝑡 + 𝜑1 ) и 𝑥2 = 𝑎 ∙ sin⁡(2𝜋𝜈𝑡 + 𝜑2 ).
Изобразим колебания x1 и x2 на
векторной диаграмме (рис. 1) и сложим их
графически.
Амплитуда
суммарного
колебания А определяется по теореме
косинусов:
y
a
A
𝜑2
𝜑1 − 𝜑2
𝛽
a
𝜑1
𝐴2 = 𝑎2 + 𝑎2 − 2𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ cos 𝛽 =
= 2𝑎2 + 2𝑎2 cos(𝜑1 − 𝜑2 ).
x
(1)
Отсюда видно, что при
𝜑1 = 𝜑2
2
2
имеем 𝐴 = 4𝑎 , т. е. 𝐴 = 2𝑎; при 𝜑1 =
Рис. 1
𝜑2 − 𝜋 суммарная амплитуда А = 0. Эти
примеры показывают, что при сложении подобных колебаний может быть
как усиление колебаний, так и полное их гашение. При других соотношениях
между фазами складывающихся колебаний суммарная амплитуда принимает
значения от нуля до 2a.
При наложении двух волн друг на друга (если их длины волн
одинаковы) в каждой точке происходит сложение колебаний и возможны все
случаи, рассматриваемые выше, конечно, если разность фаз останется
постоянной. Волны, для которых выполняются эти два условия: равенство
длин волн и постоянство разности фаз, называются когерентными
(связанными), а их сложение – интерференцией волн. В результате в
пространстве возникает интерференционная картина – в одних местах
происходит усиление колебаний, в других ослабление или даже гашение.
Конечно, если разность фаз между источниками волн все время и достаточно
быстро меняется, устойчивой интерференционной картины наблюдать
нельзя.
Интерференция – это явление, присущее только волнам, и потому
обнаружение в ряде случаев интерференции света – лучшее подтверждение
волновой природы света. Однако мы никогда не наблюдаем, чтобы при
наличии двух источников света, например двух ламп накаливания в одном
помещении, в одних местах было светлее, чем при одной лампе, а в других
темнее. Это объясняется тем, что две лампы, два естественных источника
света не могут быть когерентными источниками. Исследования показали, что
свет излучается отдельными атомами, и каждый атом излучает независимо от
других, причем в течение очень короткого промежутка времени порядка
10−8 секунды. При этих условиях разность фаз двух лучей от разных
источников не может сохраняться постоянной, а все время и очень быстро
меняется.
Однако если же луч от какого-либо источника света разделить на две
части и затем свести их, то в точке М, где они вновь сошлись, будет
M наблюдаться интерференция, т. к. обе части
разделенного луча когерентны. Принципиальная
схема такого явления показана на рис. 2. В точке S
произошло разделение луча, а в точке М обе части
сошлись, причем прошли разные пути. Разность
S
фаз лучей в точке М будет зависеть от разности
луч
расстояний, которые прошли лучи от S до M. Эту
разность называют разностью хода.
Рис. 2
Если на разности хода (обозначим ее через Δ)
укладывается четное число полуволн (целое число длин волн), то разность
фаз будет равна нулю. Это очевидно, поскольку длина волны соответствует
изменению фазы на 2π, а для гармонических функций это эквивалентно
нулевой разности фаз.
Если на Δ укладывается нечетное число полуволн, разность фаз равна π.
𝜆
Это можно записать следующим образом: при Δ = 2𝑚 ⁡, 𝜑1 = 𝜑2 ⁡–
𝜆
2
колебания усиливаются, при Δ = (2𝑚 + 1) ⁡, 𝜑1 = 𝜑2 − 𝜋⁡ – колебания
2
ослабляются. Здесь λ – длина волны; m – любое целое число, включая нуль
(0,1,2,...).
Если все это происходит в пространстве и отражается на плоскости, то
картина интерференции представляет собой чередование светлых и темных
полос, причем формы полос могут быть самыми разнообразными. Светлая
полоса – геометрическое место точек, где сошлись лучи с одинаковыми
фазами, темная полоса – совокупность точек, где сходятся лучи с фазами,
отличающимися на π.
Существует ряд способов получения когерентных лучей и сведения их
вместе для получения картины интерференции света. Рассмотрим один из
них, дающий то, что называют кольцами Ньютона.
Если на плоскопараллельную пластину положить
плосковыпуклую линзу с
большим радиусом кривизны (рис. 3) и освещать эту
2R
систему сверху монохроматическими лучами, то в отраженном свете будет видна
2R
картина,
показанная
на
рис. 4. В центре – темное
R
пятно, вокруг него чередование светлых и темных
окружностей, расположенных тем теснее, чем больше
их радиусы. Это явление
r
впервые наблюдал Ньютон,
с
a
h поэтому оно и получило
свое название.
O
Объясняется этот слуРис. 3
чай интерференции следующим образом: луч света,
падающий на плоскую грань линзы входит в нее и в точке а частично
отражается, частично проходит дальше в воздушный зазор между линзой и
плоской пластиной. Эти лучи, отраженный и
проходящий, когерентны, т.к. они получились
разделением одного луча. В точке b снова
происходит частичное отражение. Лучи,
отраженные от точек a и b, накладываются,
имея определенную разность хода, от которой
будет зависеть, усилят они друг друга или
погасят. Эта разность хода определяется прежде
всего тем, что второй луч дважды проходит
воздушный зазор толщиной ℎ = 𝑎𝑏 и, кроме
того, тем, что при отражении второго луча от
пластинки, т.е. от оптически более плотной
Рис. 4
среды, как известно, происходит изменение
фазы на противоположную, что эквивалентно прохождению дополнитель𝜆
ного пути, равного ; это произойдет в точке b и поэтому полная разность
2
хода будет равна:
𝜆
(2)
Δ = 2ℎ + .
2
Величину h можно найти из геометрических соображений. OO’ –
диаметр сферической поверхности линзы, 𝑟 = 𝑐𝑎 – радиус кольца. Угол
О'аО, вписанный в окружность, опирается на диаметр, следовательно, он
O'
прямой и для перпендикуляра r, опущенного из его вершины на гипотенузу
ОО', можно записать
𝑂′ 𝑐
𝑟
=
𝑟
𝑐𝑂
или
2𝑅 − ℎ 𝑟
= ⁡,⁡
𝑟
ℎ
откуда
2𝑅ℎ − ℎ2 = 𝑟 2 .
(3)
2
Величина h много меньше 2Rh и ею можно пренебречь. Тогда 2𝑅ℎ =
𝑟2
𝑟 2 , откуда ℎ = .
2𝑅
Подставляя это значение в формулу (2), получим для разности хода
𝑟2 𝜆
(4)
Δ= + .
𝑅 2
Если на этой разности хода укладывается четное число полуволн, т.е.
𝑟2 𝜆
𝜆
+ = 2𝑚 ⁡,⁡
𝑅 2
2
то во всех точках, где толщина воздушного зазора равна h, будет
наблюдаться хорошая освещенность. Геометрическое место этих точек –
окружность. Если же на этой разности хода укладывается нечетное число
полуволн, т.е.
𝑟2 𝜆
𝜆
+ = (2𝑚 + 1) ⁡⁡⁡⁡
𝑅 2
2
или
𝑟2
= 𝑚𝜆,
𝑅
то получим темную окружность. Измерив радиус темного кольца и зная
радиус
кривизны
линзы,
можно
подсчитать
длину
волны
монохроматического света.
𝑟2
(5)
𝜆=
.
𝑅⋅𝑚
Светлые и темные кольца чередуются, потому что по мере удаления их
от центра меняется толщина воздушного зазора между линзой и плоской
пластиной. Круговая форма каждого кольца обусловлена постоянством
толщины воздушного зазора вдоль кольца. Такие интерференционные линии
называются линиями равной толщины. Если поверхность линзы не строго
сферическая, то линии также будут отличаться от окружностей.
Лабораторная установка
Установка для наблюдения колец Ньютона (рис. 5) состоит из
микроскопа Д с окулярной шкалой, цена деления которой равна 0,04 мм, и
приспособления для наблюдения предметов в
отраженном свете. Свет от электролампочки S,
Д
пройдя линзу L1 и светофильтр СФ, попадает на
полупрозрачную плоскопараллельную пластинку М. Отражаясь от нее, свет попадает на
систему из линзы L и пластинки E, дающей
кольца Ньютона. Последние рассматриваются
через микроскоп.
СФ
Пользуясь формулой (5), можно определить
L1
длину волны света, однако надо знать, что
S расчет по этой формуле не дает достаточно
M
хорошего результата. Дело в том, что на
поверхности стекла всегда имеются пылинки,
могут быть какие-либо неровности и поэтому
невозможно добиться идеального соприкосновеL
ния линзы с пластиной. Вследствие этого
E
возникает добавочная разность хода и условие
образования темных колец примет другой вид.
Рис. 5
Чтобы исключить эту добавочную разность
хода, нужно рассмотреть m-ое и n-ое кольцо. Для каждого из них можно
записать
𝑟𝑚2 𝜆
𝜆 𝑟𝑛2 𝜆
𝜆
(2𝑚
+ +𝛿 =
+ 1) ;⁡⁡⁡ + + 𝛿 = (2𝑛 + 1) ⁡,
𝑅 2
2 𝑅 2
2
где δ – дополнительная разность хода, которую невозможно измерить.
Вычитая одно равенство из другого, исключаем неизвестную величину δ;
𝑟𝑚2 − 𝑟𝑛2 = 𝑅(𝑚 − 𝑛)𝜆,⁡⁡откуда
𝑟𝑚 2 − 𝑟𝑛 2
𝜆=
.
(6)
𝑅(𝑚 − 𝑛)
В нашей установке применяется красный светофильтр, поэтому задача
заключается в нахождении длины волны красного света.
Выполнение работы
Перед началом измерений необходимо получить четкую картину колец
Ньютона. Положив на предметный столик линзу с пластиной в оправе,
находят в поле зрения микроскопа кольца и, осторожно перемещая оправу,
располагают их так, чтобы окулярная шкала проходила по диаметру колец.
Измерить нужно диаметры 4–5 хорошо видимых колец и по формуле (5)
не меньше пяти раз, найти длину волны света, комбинируя между собой
различные значения радиусов колец. Из полученных значений λ находят
среднее.
Радиус кривизны линзы (если он не
задан) определяют при помощи оптического сферометра. Инструкция по работе
со сферометром прилагается к лаборатор2ρ
ной установке.
Принцип
действия
сферометра
изображен на рис. 6. На упоры, расположенные в горизонтальной плоскости по
окружности радиусом r, кладут плоское
б)
стекло (рис. 6). Заметив с помощью
микроскопа со спиральным окулярным
микрометром положение стержня С,
упирающегося в стекло снизу, пластинку
убирают и кладут на упоры линзу
R
(рис. 6).
По смещению h острия стержня,
можно определить R+ρ. Действительно,
геометрические соотношения на рис. 6
r
h
полностью совпадают с соотношениями
на рис. 2 (обозначения те же). Поэтому из
формулы (3) имеем
Рис. 6
𝑟2 ℎ
𝑅+𝜌=
+ ⁡.
2ℎ 2
Поскольку упоры выполнены в виде шариков, то в окончательной форме
следует учесть их радиус:
𝑟2 ℎ
𝑅=
+ − 𝜌,
2ℎ 2
где r и ρ – известные параметры, которые указаны в паспорте сферометра.
2r
2(R + ρ)
а)
Контрольные вопросы
1. Что называется интерференцией волн?
2. Какие лучи света называются когерентными и как их получить?
3. Как получаются кольца Ньютона и почему они относятся к типу
интерференционных линий равной толщины?
4. Где плотнее расположены кольца Ньютона в центре или на периферии и
почему?
5. Какова картина колец Ньютона, если систему «линза-пластина»
осветить белым светом?
6. Вывести формулу для определения длины волны света по кольцам
Ньютона.
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. — М: Наука, 1970, т. 3.
2. Яворский Б.М. Курс общей физики. — М.: Наука, 1969, т. 3.
O'
M
2R
2R
S
луч
R
Рис. 2
r
с
a
M
h
O
Рис. 3
луч
S
Рис. 2
y
a
A
𝜑2
𝜑1 − 𝜑2
𝛽
a
𝜑1
x
Рис. 1
Рис. 4
Д
2r
а)
2ρ
СФ
L1
S
M
б)
L
2(R + ρ)
E
R
r
Рис. 5
h
Д
Рис. 6
СФ
L1
S
M
L
E
Рис. 5