Двойные интегралы для спо

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Двойные интегралы
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине
«Математика»
Волгоград
2009
УДК 517.3(07)
Д 24
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ: методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. А. А. Кулеша, Л. А. Крапивина; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2009. – 22 с.
Содержат теоретические сведения, примеры решения задач по данной теме, задачи для домашней работы, а также тему для дополнительного, углубленного изучения материала.
Предназначены студентам СПО специальностей 260704.51 «Технология текстильных изделий», 140212.51 «Электроснабжение (по отраслям)», 151001.51 «Технология машиностроения», 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Ил. 7.
Библиогр.: 3 назв.
Рецензент: В. Ф. Казак
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета

2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2009
Практическое занятие № 1
Тема: Двойной интеграл
Продолжительность занятия:
специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления(по отраслям)» - 2 часа;
специальность 140212.51 «Электроснабжение (по отраслям)» - 2
часа;
специальность 151001.51 «Технология машиностроения» - 2 часа;
специальность 260704.51 «Технология текстильных изделий» - 2
часа.
Цель занятия: научить студента вычислять двойной интеграл.
Порядок проведения:
1.изучить теоретический материал;
2.разобрать предложенный пример;
3.выполнить предложенные задания:
4.ответить на контрольные вопросы.
Студент должен:
Знать: определение двойного интеграла, свойства двойного интеграла.
Уметь; строить область интегрирования, расставлять пределы интегрирования, вычислять интегралы, вычислять площадь фигуры с помощью двойного интеграла.
Понятие двойного интеграла
Пусть в области σ плоскости Оxy задана функция z=ƒ(P)= ƒ(x,y).
Выполним следующие действия.
1. Разобьём область σ на n малых площадок ∆σ1, ∆σ2, …, ∆σn так,
чтобы сумма площадей малых площадок была равна площади всей облаn
сти σ:
    i
(см. рис.1).
i 1
3
 i
y
P2 
Pi 
P1 
0
x
Рис. 1
2. В каждой малой площади
 i выберем произвольную точку
Pi ( xi , yi ) . Умножим значение функции z  f ( P)  f ( x, y ) в точке Pi
на
 i :
f ( Pi ) i  f ( xi , yi ) i
Составим суму всех таких произведений:
n
n
 f ( P )   f ( x , y )
i 1
i
i
i
i 1
i
i
Сумма такого вида называется интегральной суммой, составленной
для функций двух переменных z  f ( P)  f ( x, y ) .
3. Рассмотрим предел интегральной суммы при неограниченном
увеличении числа n малых площадок и при стягивании каждой из них в
точку. Если этот придел существует и не зависит ни от способа разбития
области σ на малые площадки  i , ни от выбора в каждой из них точек
Pi ( xi , yi ) , то он называется двойным интегралом от функции
z  f ( P)  f ( x, y ) по области σ и обозначается так:
 f ( P)d
или
 f ( x, y)d .
Таким образом,

n
f ( x, y )d  lim  f ( xi , yi ) i ,
n
4
i 1
(1)
Или в другой записи
 
f ( P)d  lim
n
Здесь подразумевается, что при
n
 f ( P ) 
i
i 1
i
.
n   , каждая из малых площадок
 i стягивается в точку; σ называется областью интегрирования, функция f ( x, y ) называется подынтегральной функцией, f ( x, y ) d подынтегральным выражением, d - элементом площади.
Итак, мы имеем следующее определение.
Определение. Двойным интегралом от функции f ( x, y ) по области σ называется предел, к которому стремится интегральная сумма при
неограниченном увеличении числа малых площадок  i и при условии,
что каждая из них стягивается в точку.
Объем цилиндрического тела численно равен двойному интегралу от
аппликаты z  f ( x, y )  0 взятому по области σ:
n
V  lim  f ( xi , yi ) i   f ( x, y )d
n
i 1
(2)

В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
Свойства двойного интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла, т.е. если k-некоторое число, то
 kf ( x, y)d
 k   f ( x, y )d .

2. Двойной интеграл от суммы нескольких функций равен сумме
двойных интегралов от слагаемых:
  f ( x, y)   ( x, y)d   f ( x, y)d    ( x, y)d .
2.1. Если в области интегрирования σ имеет место неравенство
f ( x, y )  0 , то и
  f ( x, y)d  0 .
2.2. Если в области интегрирования f ( x, y )  0 и хотя бы в одной
точке области f ( x, y )  0 то
 f ( x, y)d  0 .
5
3. Если в области интегрирования функции f ( x, y ) и
влетворяют неравенству f ( x, y )   ( x, y ) , то
 ( x, y )
удо-
 f ( x, y)d    ( x, y)d
4. Теорема о среднем значении. Пусть функция f ( x, y ) непрерывна
в замкнутой ограниченной области σ. Тогда в области существует такая
точка
P0 ( x0 , y 0 ) , что
  f ( x, y)d  f ( x , y ) .
0
0
Если функция f ( x, y )  0 в области σ, то эта теорема имеет следующий геометрический смысл.
Объем цилиндрического тела равен объему цилиндра с тем же основанием σ, что и у цилиндрического тела, и с высотой, равной значению
функции в некоторой точке P0 ( x0 , y 0 ) области σ. Значение функции
f ( x0 , y0 ) , определяемое из равенства (*), называется средним значением функции f ( x, y ) в области σ.
5. Свойство аддитивности. Если область интегрирования разбить на
несколько частей  1 , 2 ,..., k , то
  f ( x, y)d    f ( x, y)d    f ( x, y)d  ...    f ( x, y)d .
1
2
k
Геометрически, если рассматривать двойной интеграл как объем цилиндрического тела, это свойство очевидно. Оно выражает тот простой
факт, сто если основание цилиндрического тела разбить на несколько частей  1 , 2 ,..., k , то объем всего цилиндрического тела равен сумме
объемов
составляющих
 1 , 2 ,..., k .
его
цилиндрических
6
тел
с
основаниями
Вычисление двойного интеграла
в декартовых координатах
Требуется вычислить двойной интеграл
f ( x, y)d , от непрерыв-

ной функции f ( x, y ) .
Предположим сперва, что область интегрирования σ ограниченна
двумя непрерывными кривыми y  1 ( x) и y   2 ( x) и двумя прямыми
x=a, x=b, причем для всех значений x, заключенных между a и b, имеет
место неравенство  2 ( x)  1 ( x) .
Проведем через точку (x; 0) оси 0x прямую, параллельную оси 0y.
эта прямая встречает кривые, ограничивающие область σ, соответственно
в очках C1 и C2 . Точку C1 будем называть точкой входа, а точку C2 –
точкой выхода. Их координаты обозначим соответственно
y в х и yвых .
Ордината точки выхода равна yвх  1 ( x) , а ордината точки выхода равна yвых  2 ( x) . Известно что двойной интеграл
 f ( x, y)d
численно
равен V цилиндрического тела, ограниченного частью поверхности
z  f ( x, y ) , которая проектируется в площадку σ (см. рис.2):
V  
b
f ( x, y )d или

или
2 ( x )
  f ( x, y)d   dx  f ( x, y)dy ,
a
d
 2 ( y)
c
1( y)
  f ( x, y)d   dy  f ( x, y)dx
Это и есть искомая формула.
7
(3)
1 ( x)
(4)
y
y  2  x 
A2
C2
yвых
y  1 x
A1
B2
B1
C1
yвх
a
0
x
b
x
Рис. 2
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
  ( x
2
 y 2 )d , если об-
ластью интегрирования σ является треугольник, ограниченный прямыми
y=0, x=2, y=
x
(см. рис.3).
2
y
1
y
x
2
вых

0
вх
2
x
Рис. 3
Решение. Если при вычислении двойного интеграла пользоваться
формулой (3), то здесь
yвх  1 (x)=0, y в ых   ( x)  x (так как точка
2
входа лежит на оси 0x, а точка выхода - на прямой y 
8
x
); a=0, b=2.
2
Поэтому,
применяя
2
x
2
0
0
формулу
(3),
имеем
2
2
2
2
 ( x  y )d   dx  ( x  y )dy .

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным:
x
( )3
3 x
y
x
13 3
2
2
2
2
2
0 ( x  y )dy  ( x y  3 ) 02  x  2  3  24 x .
x
2
Следовательно,
3
13 3
13x 4
x dx 
24
24  4
0
2
2
 ( x  y )d  

Применяя для вычисления двойного интеграла
2
0

13 .
6
  ( x
2
 y 2 )d
формулу (4), получим, конечно, тот же результат. Замечая, что в этом
случае xвх  1 ( y)  2 y, xвых   2 ( y)  2 (так как точка входа лежит
на прямой y 
лучим
x
или x=2y, а точка выхода на прямой x=2), c=0, d=1, по2
1
2
0
2y
2
2
2
2
  ( x  y )d   dy  ( x  y )dx .

Так как
2
 (x
2
 y 2 )dx  (
2y
x3
8
8y3
8
14
 y 2 x) 22 y  (  2 y 2 )  (
 2 y2 )   2 y2  y3 ,
3
3
3
3
3
то
1
8
14 3
8
2 y 3 7 y 4 1 13
2
2
2
(
x

y
)
d


(

2
y

y
)
dy

(
y


) 0 .

0 3
3
3
3
6
6
Пример 2. Вычислить двойной интеграл
 xy d , если область ин-
тегрирования σ ограниченна линиями x=0, y=x,
9
2
y  2  x 2 (см. рис.4).
y
2
B
y  2  x2
2
A
1
1
yx
0
1
x
Рис. 4
Решение. Применим для вычисления двойного интеграла формулу
(3). Здесь
yвх  1 ( x)  x , y в ых   2 ( x)  2  x 2 , a=0, b=1. поэтому
1
2 x 2
  xy d   dx  xy dy .
2
2
0
x
Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным:
2 x 2

x
xy2 dy 
xy3
3
2 x 2
x
Следовательно,

x( 2  x 2 ) 3 x 4
 .
3
3
 x( 2  x 2 ) 3 x 4 
 dx 
3
3
0 
1
  xy d   
2
11
11
1 (2  x 2 ) 4 1 x 5 1
(2  x 2 )3 d (2  x 2 )   x 4 dx  
0
0

60
30
6
4
15
1 24 1
67 .
 
 
24 24 15 120

Если при вычислении двойного интеграла
 xy d
2
пользоваться
формулой (4), то придется область интегрирования σ разбить на две части
 1 и  2 , так как линия ОАВ, на которой расположены точки выхода на
10
отдельных участках, задается различными уравнениями. По свойству аддитивности
xy 2 d  xy 2 d  xy 2 d .
 
 
 
1
2
Применяем формулу (4) к каждому из интегралов, стоящих в правой
части
последнего
1
y
0
0
2
2
  xy d   dy  xy dx , так как
равенства:
1
xвх  1 ( y)  0 , xвых   ( y)  y , c=0, d=1.
Вычисляем внутренний интеграл, помня, что y-постоянно:
y
2
 xy dx 
0
Следовательно,
1
2
  xy d  
1
0
x2 y2
2

y4
.
2
y4
1
dy  .
2
10
2 y
2
Аналогично находим
y
0
  xy   dy  xy dx ,
2
2
1
2
так как
0
xвых  2  y , с=1, d=2.
2 y

0
xy 2 dx 
x2 y2
2
2 y
0

(2  y ) y 2
y3
.
 y2 
2
2
2
Следовательно,
2
2
  xy d   ( y 
2
1
Таким образом, окончательно,
y3
y3 y4
)dy 

2
3
8
1
11
2
1

67
11 .
24
 xy d  10  24  120 .
2
11
xвх  0 ,
Решить на занятии 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Задания для домашней работы 2, 4, 6, 8, 10.
№
1.
Пример
 x
Ответ

 2 y dxdy , где область D – прямо-
2
D
угольник ( 0  x  1, 0  y  2 )
2.

D
dxdy
, где область D – прямоуголь( x  y) 2
14
3
25
24
ln
ник ( 3  x  4, 1  y  2 )
3.
 xydxdy, где область D – треугольник с
D
вершинами О (0;0), А (0;1), В (1;0)
4.
 2 ydxdy , где область D ограничена параD
болой y 
5.
 x
2
D
6.
x  2 , x  y и гиперболой
1
x
 x  y dxdy , где область D ограничена
D
прямыми y  2 x , y  0 и
7.
 x
5
.
6
y 2 dxdy , где область D ограничена
прямыми
y
x и прямыми y  0, x  y  2
1
24
2
y  4  2x

 y dxdy , где область D ограничена
D
линиями
y  x2 , y  0 и x  2
12
3
4
3
1
3
48
5
№
8.
Пример
Ответ
 xy dxdy , где область D ограничена ли2
D
ниями y  2 x , y   x и
9.
x2
dxdy
 sin x , где область D ограничена линиями
D
x
10.

2
, x
 x e
2 x
3
, y  0 и y  cos x
4
dxdy , где область D ограничена ли-
D
ниями
11.
x  2 , x  3, y  0 и y  ex
 dxdy , где область D ограничена линиями
D
y  2 , y  4 , y  ln x и x  0
12.
1
ln 2
2
19
3
e4  e2
 y cos xy dxdy , где область D ограничена
D
1
линиями y   , y  3 , x 
и x 1
2
13.
19,2

  6 x
2
y2 
D
25 4 4 
x y  dxdy , где область D
3

ограничена линиями
x  1, y  x 2 ,
y x
13
0
1
Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле
Пример 3. Изменить порядок интегрирования
1
2 y 2
0
y
 dy  f ( y, z )dz.
Решение.
Область D расположена в плоскости yOz и между прямыми y  0
и y  1. ее нижняя граница z  y, верхняя: z 
2  y 2 . Спроектиру-

ем область D на ось

Oz . В результате получим отрезок 0, 2 . Левой
границей области D является прямая y  0, правой на участке 0,1 -


y  2  z 2 . Поэтому область D следует разбить на две части ( D1 и D2 ), а интеграл –
прямая y  z , а на участке 1, 2 - дуга окружности
на сумму интегралов:
z
yz
2
1
1
2
y
Рис. 5
1
2 y 2
0
y
 dy 
1
z
0
0
2
f ( y, z )dz   dz  f ( y, z )dy   dz
1
14
2 z 2
 f ( y, z )dy.
0
Решить на занятии 1, 3, 5.
Задания для домашней работы – 2, 4, 6.
№
1.
2.
3.
4.
5.
Пример
1
x 2
0
x3
3
1
y
 dy  f ( x, y)dx
 dx  f ( x, y)dy
0
y
2
y
4
2
0
y
2
2
y
2
1
1
e
1
1
ln z
 dy  f ( x, y)dx   dy  f ( x, y)dx
2
2x
0
x
1
ey
0
e y
1
e
ln
1
2 y
1
x
2
2 x
0
0
1
0
 dx  f ( x, z)dz
 dz  f ( y, z)dy   dz  f ( y, z)dy
 dy  f ( y, z )dz
0
y
4
x
0

4 x 2
dx
2
Площадь
формуле

0
S
2 4 x 2
0
f dy 
1
4
2
4
0
1
1
y2
1
 4 y  2 2
0
 4 y 2
 f ( x, y)dy
 dy  f dx   dy  f dx
 dx  f dy
 3
1
z
 dx f ( x, y)dy   dx
 dy  f ( x, y)dx
1
6.
Ответ

dx
 3

 dy  f dx
f dy
0
Вычисление площади плоской области
плоской области D на плоскости xOy вычисляется по
S   dxdy.
(4)
D
Пример 4.
Вычислить площадь плоской области D , ограниченной прямой
y  2 и параболой y  x 2  1.
15
Решение.
Область D можно проектировать на ось
Ox и на ось Oy ; спроектируем ее на ось Oy . Область D симметрична относительно оси Oy ,
поэтому достаточно вычислить площадь правой половины области D и
результат удвоить. Правая половина области D проектируется на ось
Oy в отрезок 1,2 и имеет левой границей прямую x  0, а правой –
линию
y  x 2  1, или x  y  1. В результате получим:
S 2
  dy
2 1
откуда
Или
y 1

2
dx   x
S  4 3.
 3  x dx  3x
3
3
2
2
x 2 1
0
3
3
2
0
0
S 4 3
1
 y dx   2  x
3
2
S
  dx  dy 
2 0 x 1
2

dy  
0
1
0
3
2
y  1dy  ( y  1) 2
3
2
y 1
 1dx 
0
x3

3
3
3 3
0
3 3
2 3
3
( кв. ед. )
y
y  x2  1
2
3
1
Рис. 6
16
x
2
 2 3,
1
Решить на занятии -1,3,5.
Задания для домашней работы – 2,4,6.
Найти площади плоских областей, ограниченных следующими линиями:
№
Пример
Прямыми y  0 ,
1.
2.
yx
x  1 и параболой
1
4
3
Прямыми x  0, z  0,
вой z  e
перболой
x  2 и кри-
x
Прямыми y  0, z  1,
3.
Ответ
(кв.ед.)
z
e2 1
z  3 и ги-
1
y
ln 3
Параболой z  x  2 и прямой
2
4.
5.
6.
10
x2
y  sin x, y  0 , x 

, x 
4
y  tgx, y  ctgx , x  0 , x 
y0

,
2
1
2
3
2
2
ln 2
Контрольные вопросы
1. Дайте определение двойного интеграла.
2. Перечислите свойства двойного интеграла.
3. Какой интеграл вычисляется в первую очередь (внутренний или
внешний)?
4. Как расставляются пределы интегрирования?
5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры.
17
Вычисление объема тела
(Для самостоятельного изучения)
Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область D на плоскости xOy и ограниченного сверху поверхностью z  f x, y , выражается двойным интегралом


V   z dx dy .
(5)
D
Вычисление объемов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких вертикальных цилиндрических тел (с образующими, параллельными оси Oz).
Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
y  x2 , y  1, x  y  z  4 , z  0 .
z
z  4 x y
y 1
y  x2
B
0
y  x2
x
y 1
y
A
Рис. 7
Решение. Данное тело (рис. 7) представляет вертикальный цилиндр,
который сверху ограничен частью плоскости z  4  x  y , а снизу – ча18
стью плоскости xOy, заключенной между параболой
y  x 2 и прямой
y  1.
Согласно формуле (5) объем этого тела
V
1
y
0
 y
 z dx dy   dy  4  x  y dx 
0 AB
x y

x2 
  4  y x  
2  x 
0
1
1
dy  2 4  y  y dy 
0
y
68
.
15
При интегрировании в другом порядке
1
1
1
x2
V   dx  4  x  y dy  ... 
68
.
15
Решить самостоятельно:
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
№
Пример
Ответ
(куб.ед.)
12
1.
x2  y2  4 , z  0 , z  3
2.
x  y  z  2 , z  1, x  0 , y  0
3.
z  0, z  6, y2  x , x  9
19
2
3
216
Список использованной литературы
1. Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1. –М.,
Высшая школа, 1999г.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 14 – изд. испр. – М.: Издательство физико-математической литературы, 2000г.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч-1. Учебное издание.
– М.: Айрис-пресс, 2003г.
20
Содержание
Понятие двойного интеграла.............................................................
Свойства двойного интеграла...........................................................
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах........
Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле........
Вычисление площади плоской области...........................................
Контрольные вопросы.......................................................................
Вычисление объема тела...................................................................
Список использованной литературы................................................
21
3
5
7
14
15
17
18
20
Составители:
Алевтина Алексеевна Кулеша
Лариса Алексеевна Крапивина
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Под редакцией авторов
Темплан 2009 г., поз. № 40К.
Подписано в печать 21. 09. 2009 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,38. Усл. авт. л. 1,19.
Тираж 50 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
22