Двойные интегралы - Камышинский технологический институт

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Двойные интегралы
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Волгоград
2008
УДК 517.3(07)
Д 24
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ: методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» Сост. А. А. Кулеша, Л. А. Крапивина;
Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 19 с.
Рассматривается решение типовых задач.
Предназначены студентам ВПО, обучающимся по направлениям
260700.62 «Технология проектирования текстильных изделий», 140200.62
«Электроэнергетика», 150900.62 «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств».
Ил. 7
Библиогр.: 3 назв.
Рецензент: В. Ф. Казак
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2008
Понятие двойного интеграла
Пусть в области σ плоскости Оxy задана функция z=ƒ(P)= ƒ(x,y).
Выполним следующие действия.
1. Разобьём область σ на n малых площадок ∆σ1, ∆σ2, …, ∆σn так,
чтобы сумма площадей малых площадок была равна площади всей облаn
сти σ:
    i
(см. рис.1).
i 1
 i
y
P2 
Pi 
P1 
0
x
Рис. 1
 i выберем произвольную точку
Pi ( xi , yi ) . Умножим значение функции z  f ( P)  f ( x, y ) в точке
Pi на  i :
2. В каждой малой площади
f ( Pi ) i  f ( xi , yi ) i
Составим суму всех таких произведений:
n

i 1
n
f ( Pi ) i   f ( xi , yi ) i
i 1
Сумма такого вида называется интегральной суммой, составленной
для функций двух переменных z  f ( P)  f ( x, y ) .
3. Рассмотрим предел интегральной суммы при неограниченном
увеличении числа n малых площадок и при стягивании каждой из них в
точку. Если этот придел существует и не зависит ни от способа разбития
области σ на малые площадки  i , ни от выбора в каждой из них точек
Pi ( xi , yi ) , то он называется двойным интегралом от функции
3
z  f ( P)  f ( x, y ) по области σ и обозначается так:
 f ( P)d
или
 f ( x, y)d .
Таким образом,

Или в другой записи
n
f ( x, y )d  lim  f ( xi , yi ) i ,
n
 
(1)
i 1
f ( P)d  lim
n
n
 f ( P ) 
i 1
i
i
.
Здесь подразумевается, что при n   , каждая из малых площадок
 i стягивается в точку; σ называется областью интегрирования, функция f ( x, y ) называется подынтегральной функцией, f ( x, y ) d подынтегральным выражением, d - элементом площади.
Итак, мы имеем следующее определение.
Определение. Двойным интегралом от функции f ( x, y ) по области σ называется предел, к которому стремится интегральная сумма при
неограниченном увеличении числа малых площадок  i и при условии,
что каждая из них стягивается в точку.
Объем цилиндрического тела численно равен двойному интегралу от
аппликаты z  f ( x, y )  0 взятому по области σ:
n
V  lim  f ( xi , yi ) i   f ( x, y )d
n
i 1
(2)

В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
Свойства двойного интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла, т.е. если k-некоторое число, то
 kf ( x, y)d
 k   f ( x, y )d .

2. Двойной интеграл от суммы нескольких функций равен сумме
двойных интегралов от слагаемых:
  f ( x, y)   ( x, y)d   f ( x, y)d    ( x, y)d .
4
2.1. Если в области интегрирования σ имеет место неравенство
f ( x, y )  0 , то и
  f ( x, y)d  0 .
2.2. Если в области интегрирования f ( x, y )  0 и хотя бы в одной
точке области f ( x, y )  0 то
 f ( x, y)d  0 .
 ( x, y )
3. Если в области интегрирования функции f ( x, y ) и
удо-
влетворяют неравенству f ( x, y )   ( x, y ) , то
 f ( x, y)d    ( x, y)d
4. Теорема о среднем значении. Пусть функция f ( x, y ) непрерывна
в замкнутой ограниченной области σ. Тогда в области существует такая
точка
P0 ( x0 , y 0 ) , что
  f ( x, y)d  f ( x , y ) .
0
0
Если функция f ( x, y )  0 в области σ, то эта теорема имеет следующий геометрический смысл.
Объем цилиндрического тела равен объему цилиндра с тем же основанием σ, что и у цилиндрического тела, и с высотой, равной значению
функции в некоторой точке P0 ( x0 , y 0 ) области σ. Значение функции
f ( x0 , y0 ) , определяемое из равенства (*), называется средним значением функции f ( x, y ) в области σ.
5. Свойство аддитивности. Если область интегрирования разбить на
несколько частей  1 , 2 ,..., k , то
  f ( x, y)d    f ( x, y)d    f ( x, y)d  ...    f ( x, y)d .
1
2
k
Геометрически, если рассматривать двойной интеграл как объем цилиндрического тела, это свойство очевидно. Оно выражает тот простой
факт, сто если основание цилиндрического тела разбить на несколько частей  1 , 2 ,..., k , то объем всего цилиндрического тела равен сумме
объемов
составляющих
 1 , 2 ,..., k .
его
цилиндрических
5
тел
с
основаниями
Вычисление двойного интеграла
в декартовых координатах
Требуется вычислить двойной интеграл
f ( x, y)d , от непрерыв-

ной функции f ( x, y ) .
Предположим сперва, что область интегрирования σ ограниченна
двумя непрерывными кривыми y  1 ( x) и y   2 ( x) и двумя прямыми
x=a, x=b, причем для всех значений x, заключенных между a и b, имеет
место неравенство  2 ( x)  1 ( x) .
Проведем через точку (x; 0) оси 0x прямую, параллельную оси 0y.
эта прямая встречает кривые, ограничивающие область σ, соответственно
в очках C1 и C2 . Точку C1 будем называть точкой входа, а точку C2 –
точкой выхода. Их координаты обозначим соответственно
y в х и yвых .
Ордината точки выхода равна yвх  1 ( x) , а ордината точки выхода равна yвых  2 ( x) . Известно что двойной интеграл
 f ( x, y)d
численно
равен V цилиндрического тела, ограниченного частью поверхности
z  f ( x, y ) , которая проектируется в площадку σ (см. рис.2):
y
y  2  x 
A2
C2
yвых
A1
y  1 x
B2
B1
C1
yвх
0
a
x
b
Рис. 2
6
x

 
2 ( x )
a
1 ( x)
  f ( x, y)d   dx  f ( x, y)dy ,
V    f ( x, y )d или
или
b
d
 2 ( y)
c
1 ( y )
f ( x, y )d   dy
 f ( x, y)dx
(3)
(4)
Это и есть искомая формула.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
  ( x
2
 y 2 )d , если об-
ластью интегрирования σ является треугольник, ограниченный прямыми
y=0, x=2, y=
x
(см. рис.3).
2
y
Решение. Если при вычислении
двойного
интеграла
пользоваться
формулой (3), то здесь yвх  1 (x)=0,
1
y
x
2
y в ых   ( x) 
вых
лежит на оси 0x, а точка выхода - на

0
вх
x
(так как точка входа
2
2
x
прямой y 
x
); a=0, b=2.
2
Поэтому, применяя формулу (3),
Рис. 3
имеем
 ( x
2
2
x
2
0
0
 y 2 )d   dx  ( x 2  y 2 )dy .
Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным:
x
( )3
y
13 3
2
2
2
2 x
2
0 ( x  y )dy  ( x y  3 )  x  2  3  24 x .
x
2
3
x
2
0
3
Следовательно,
13 3
13x 4
x dx 
24
24  4
0
2
2
 ( x  y )d  

7
2
0

13
.
6
Применяя для вычисления двойного интеграла
  ( x
2
 y 2 )d
формулу (4), получим, конечно, тот же результат. Замечая, что в этом
случае xвх  1 ( y)  2 y, xвых   2 ( y)  2 (так как точка входа лежит
на прямой y 
лучим
x
или x=2y, а точка выхода на прямой x=2), c=0, d=1, по2
1
2
0
2y
2
2
2
2
  ( x  y )d   dy  ( x  y )dx .

Так как
2
2
2
 ( x  y )dx  (
2y
x3
8
8y3
8
14
 y 2 x) 22 y  (  2 y 2 )  (
 2 y2 )   2 y2  y3 ,
3
3
3
3
3
то
1
8
14 3
8
2 y 3 7 y 4 1 13
2
(
x

y
)
d


(

2
y

y
)
dy

(
y


) 0 .

0 3
3
3
3
6
6
2
2
Пример 2. Вычислить двойной интеграл
 xy d , если область ин2
тегрирования σ ограниченна линиями x=0, y=x, н  2  x 9 (см. рис.4).
y
B
2
y  2  x2
2
2
A
1
1
yx
0
1
Рис. 4
8
x
Решение. Применим для вычисления двойного интеграла формулу
(3). Здесь
yвх  1 ( x)  x , y в ых   2 ( x)  2  x 2 , a=0, b=1. поэтому
1
2 x 2
  xy d   dx  xy dy .
2
2
0
x
Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным:
2 x 2

x
xy3
xy dy 
3
2
2 x 2
x
x( 2  x 2 ) 3 x 4

 .
3
3
1
 x( 2  x 2 ) 3 x 4 
2
xy
d


 dx 
 
0  3
3

11
11
1 (2  x 2 ) 4 1 x 5 1
   (2  x 2 )3 d (2  x 2 )   x 4 dx  
0
0
60
30
6
4
15
Следовательно,
1 24 1
67
 
 
.
24 24 15 120
Если при вычислении двойного интеграла
 xy d
2
пользоваться
формулой (4), то придется область интегрирования σ разбить на две части
 1 и  2 , так как линия ОАВ, на которой расположены точки выхода на
отдельных участках, задается различными уравнениями. По свойству аддитивности
  xy d    xy d    xy d .
2
2
2
1
2
Применяем формулу (4) к каждому из интегралов, стоящих в правой
части
последнего
равенства:
1
y
0
0
2
2
  xy d   dy  xy dx , так как
1
xвх  1 ( y)  0 , xвых   ( y)  y , c=0, d=1.
Вычисляем внутренний интеграл, помня, что y-постоянно:
y
2
 xy dx 
0
9
x2 y2
2
y
0

y4
.
2
1
Следовательно,
2
  xy d  
1
0
y4
1
dy  .
2
10
2
Аналогично находим
2
  xy   dy
2
1
2 y
 xy dx ,
2
xвх  0 ,
так как
0
xвых  2  y , с=1, d=2.
2 y

0
x2 y2
xy dx 
2
2 y
2
0
(2  y ) y 2
y3
2

y 
.
2
2
2
Следовательно,
2
2
  xy d   ( y 
2
1
y3
y3 y4
)dy 

2
3
8
1
11
2
1

11
.
24
67
 xy d  10  24  120 .
2
Таким образом, окончательно,
Решить самостоятельно:
№
1.
Пример
 x
2

 2 y dxdy , где область D – прямоугольник
D
( 0  x  1 , 0  y  2 ).
2.
3.
dxdz
, где область D – прямоугольник
( x  z)2
D
( 3  x  4, 1  z  2 ).

 xydxdy, где область D – треугольник с вершиD
нами О (0;0), А (0;1), В (1;0).
4.
 2 ydxdy , где область D ограничена параболой
D
y  x и прямыми y  0, x  y  2 .
10
Ответ
14
.
3
ln
25
.
24
1
.
24
5
.
6
Продолжение табл.
№
5.
Пример
 y
Ответ
2 2
z dydz , где область D ограничена прямыми
D
y  2 , z  y и гиперболой z  1 .
y
6.
 x  y dxdy , где область D ограничена прямыD
ми y  2 x , y  0 и y  4  2 x .
7.
 x
2

 y dxdy , где область D ограничена
D
линиями
8.
y  x2 , y  0 и x  2 .
19,2
dxdy
x

2
 x e
,
2 x
x   , y  0 и y  cos x .
dxdy , где область D ограничена линиями
D
x  2 , x  3, y  0 и y  ex .
 dxdy , где область D ограничена линиями
D
y  2 , y  4 , y  ln x и x  0 .
12
.
48
5
 sin x , где область D ограничена линиями
D
11
.
1
3
2
D
10
.
3
 xy dxdy , где область D ограничена линиями
y  2x , y  x и x  2 .
9.
9
.
4
ln 2
19
3
e4  e2
 y cos xy dxdy , где область D ограничена лиD
ниями y   , y  3 , x  1 и
2
11
x  1.
0
Окончаниение табл.
№
Пример

13
.
  6 x
2
y2 
D
Ответ
25 4 4 
x y  dxdy , где область D
3

ограничена линиями
1
x  1, y  x , y   x .
2
Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле
Пример 3. Изменить порядок интегрирования
1
2 y 2
0
y
 dy  f ( y, z )dz.
Решение.
Область D расположена в плоскости yOz и между прямыми y  0
и y  1. ее нижняя граница z  y, верхняя: z 
2  y 2 . Спроектиру-

ем область D на ось

Oz . В результате получим отрезок 0, 2 . Левой
границей области D является прямая y  0, правой на участке 0,1 прямая y  z , а на участке
1, 2 
z
yz
дуга
окружности
y  2  z 2 . Поэтому область
D следует разбить на две части ( D1 и D2 ), а интеграл – на
2
1
1
-
2
y
сумму интегралов:
Рис. 5
1
2 y 2
0
y
 dy 
1
z
0
0
2
f ( y, z )dz   dz  f ( y, z )dy   dz
1
12
2 z 2
 f ( y, z )dy.
0
Решить самостоятельно:
№
1
2
3
4
5
Пример
1
x 2
0
x3
2
2x
0
x
1
ey
0
e y
1
2 y
0
y
4
x
0
4 x 2
0
4
2
0
y
2
2
y
2
1
1
e
1
1
e
ln
1
ln z
1
x
2
2 x
0
0
1
0
1
z
1
4
2
4
0
1
1
y2
1
 4 y  2 2
0
 4 y 2
 dy  f dx   dy  f dx.
0

y
 dx f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy.
 dx  f dy.

2
 dz  f ( y, z )dy   dz  f ( y, z )dy.
 dy  f ( x, y)dx.
2
y
 dy  f ( x, y)dx   dy  f ( x, y)dx.
 dy  f ( y, z)dz.
dx
y
 dy  f ( x, y)dx.
 dx  f ( x, z)dz.
 3
3
1
 dx  f ( x, y)dy.
1
6
Ответ
2 4 x 2
0
f dy 

dx
 3

0
f dy. dy

 f dx.
Вычисление площади плоской области
Площадь
формуле
S плоской области D на плоскости xOy вычисляется по
S   dxdy.
D
(4)
Пример 4.
Вычислить площадь плоской области D , ограниченной прямой
y  2 и параболой y  x 2  1.
13
Решение.
Область D можно проектировать на ось
Ox и на ось Oy ; спроектируем ее на ось Oy . Область D симметрична относительно оси Oy ,
поэтому достаточно вычислить площадь правой половины области D и
результат удвоить. Правая половина области D проектируется на ось
Oy в отрезок 1,2 и имеет левой границей прямую x  0, а правой –
линию
y  x 2  1, или x  y  1. В результате получим:
S 2
  dy
2 1
y 1

2
0
1
0
S  4 3.
3
2
S
Или
  dx  dy 
2 0 x 1
да
 y dx   2  x
3
 3  x dx  3x
0
3
3
2
0
0
S 4 3
3
2
2
x 2 1
2

3
2
2
dy   y  1dy  ( y  1) 2
3
1
2
y 1
dx   x
 2 3 , отку1
 1dx 
0
x3

3
3
3 3
0
3 3
2 3
3
( кв. ед. )
y
y  x2  1
2
3
x
1
Рис. 6
Решить самостоятельно:
Найти площади плоских областей, ограниченных следующими линиями:
14
№
1.
2.
Пример
Прямыми y  0 ,
x  1 и параболой y  x 3 .
Прямыми x  0, z  0,
x  2 и кривой
ze .
x
Прямыми y  0, z  1,
3.
Ответ
(кв.ед.)
z
e2 1
z  3 и гиперболой
1
.
y
ln 3
x 2.
Параболой z  x  2 и прямой
2
4.
1
4
5.
y  sin x, y  0 , x   , x   .
6.
y  tgx, y  ctgx , x  0 , x   , y  0.
4
2
2
10 .
3
1
2
2
ln 2
Вычисление объема тела
Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область D на плоскости xOy и ограниченного сверху поверхностью z  f x, y , выражается двойным интегралом


V   z dx dy .
(5)
D
Вычисление объемов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких вертикальных цилиндрических тел (с образующими, параллельными оси Oz).
Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
y  x2 , y  1, x  y  z  4 , z  0 .
Решение. Данное тело (рис. 7) представляет вертикальный цилиндр,
который сверху ограничен частью плоскости z  4  x  y , а снизу – частью плоскости xOy, заключенной между параболой
y  1.
15
y  x 2 и прямой
z
z  4 x y
y 1
y  x2
B
0
y 1
y  x2
y
A
x
Рис. 7
Согласно формуле (5) объем этого тела
V
1
y
0
 y
 z dx dy   dy  4  x  y dx 
0 AB
x y
1

x2 
  4  y x  
2  x 
0
1
dy  2 4  y  y dy 
0
y
68
.
15
При интегрировании в другом порядке
1
1
1
x2
V   dx  4  x  y dy  ... 
68
.
15
Решить самостоятельно:
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
16
№
Пример
Ответ
(куб.ед.)
2.
x2  y2  4 , z  0 , z  3 .
x  y  z  2 , z  1, x  0 , y  0 .
3.
z  0 , z  6 , y2  x , x  9
1.
12
2
3
216
Используемая литература
1. Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1. –М.,
Высшая школа, 1999г.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 14 – изд. испр. – М.: Издательство физико-математической литературы, 2000г.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч-1. Учебное издание.
– М.: Айрис-пресс, 2003г.
17
Содержание
Понятие двойного интеграла.............................................................
3
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах........
6
Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле........
12
Вычисление площади плоской области............................................
13
Вычисление объема тела....................................................................
15
Используемая литература..................................................................
17
18
Составители:
Кулеша Алевтина Алексеевна
Крапивина Лариса Алексеевна
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Под редакцией авторов
Темплан 2008 г., поз. № 39К.
Подписано в печать 01. 10. 2008 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,19. Усл. авт. л. 1,0.
Тираж 50 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
19