010102DU02 - Санкт-Петербургский государственный

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
УТВЕРЖДАЮ
Принята на заседании
кафедры дифференциальных уравнений
Декан факультета,
профессор
Зав. кафедрой,
профессор
В.А.Плисс
Г.А. Леонов
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
"Линейные системы дифференциальных уравнений"
Специальность – 01.01.02 «Дифференциальные уравнения,
динамические системы и оптимальное управление»
Санкт – Петербург
2013
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
Основная задача курса — дать аспиранту общее представление о задачах и
методах теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Целью курса является формирование понимания основ современной теории
линейных дифференциальных уравнений и развитие навыков самостоятельного научного
исследования в области теории линейных систем дифференциальных уравнений.
Слушатели курса должны овладеть теоретическими основами современных
методов исследования математических моделей, описывающих проблемы естествознания
и техники в виде линейных систем дифференциальных уравнений.
Построение курса подразумевает постоянное акцентирование внимания аспирантов
на
общекультурном,
историческом
и
социальном
контексте
формирования
и
использования изучаемых математических понятий и методов. Курс теории линейных
дифференциальных уравнений дает аспиранту комплекс асимптотических, аналитических
и алгебраических методов, позволяющих создавать и исследовать известный спектр
математических моделей в естествознании.
2. ОБЪЕМ КУРСА
Продолжительность обучения
Общая трудоемкость
Всего аудиторных занятий
из них: лекции
практические занятия
2 семестра (1-2 семестры)
40 часа
30 часа
20 часов
10 часов
Изучение дисциплины, формы контроля:
1 семестр:
2 семестр:
лекции – 10 ч., экзамен;
лекции – 10 ч., практические занятия – 10 ч.,
2 контрольные работы, зачет.
3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
РАЗДЕЛ
1.
ЛИНЕЙНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
И
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка. Линейные
однородные
уравнения.
Линейные
однородные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения.
Линейные однородные системы. Линейно независимые решения линейной
однородной системы. Фундаментальная система решений линейной однородной
системы. Общее решение. Общее выражение для фундаментальной матрицы. Формула
Лиувилля. Аналитические функции от матриц. Радиус сходимости. Аналитичность
функции от подобных матриц. Определение и свойства функции exp A. Структура
матрицы exp{At}.
Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
Линейные неоднородные системы.
Существование, единственность, продолжимость решения задачи Коши. Связь
между интегральными матрицами. Сопряженная система, ее интегральная матрица.
Матрицант, его свойства, аналитичность по параметру. Структура вещественной
интегральной матрицы в случае вещественной автономной системы. Системы с
периодическими коэффициентами. Матрица монодромии, мультипликаторы, теория
Флоке, вычисление мультипликаторов методом разложения в ряд по параметру,
мультипликаторы сопряженной системы.
РАЗДЕЛ 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА
Определение и свойства показателя. Показатель суммы, произведения, линейной
комбинации конечного числа функций.
Строгий показатель, признак его существования. Показатель интеграла Ляпунова.
Показатель функциональных матриц.
Теорема о конечности показателей нетривиальных решений. Признак линейной
независимости решений. Спектр системы. Лемма о вычислении показателя по
целочисленным последовательностям.
Нормальные фундаментальные системы, признак нормальности. Неравенство
Ляпунова для суммы характеристических показателей.
РАЗДЕЛ 3. ПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ. ПРАВИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Преобразование Ляпунова, его свойства. Теорема Еругина о приводимости систем с
периодическими коэффициентами. Приводимость к системе с нулевой матрицей.
Понятие почти приводимости, его свойства. Почти приводимость линейной системы
к вещественной диагональной системе.
Определение правильности линейной системы, признак правильности. Правильность
систем, приводимых к системам с постоянными коэффициентами. Признак правильности
Перрона. Коэффициенты неправильности Ляпунова, Перрона, Гробмана. Структура
интегральной матрицы правильной системы.
РАЗДЕЛ 4. СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Гамильтоновы системы. Однородные омега-периодические системы. Нормальные
решения, условия существования омега-периодических и анти-омега-периодических
решений.
Неоднородные
омега-периодические
системы.
Условия
существования
единственного омега-периодического решения. Существование омега-периодического
решения в случае наличия таковых у однородной системы. Теорема Массера.
Существование омега-периодического решения у системы с малой нелинейностью.
Канонические
системы.
Их
свойства,
свойства
решений.
Возвратность
характеристического уравнения системы с периодическими коэффициентами. Системы,
инвариантные относительно обращения времени.
РАЗДЕЛ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Теоремы
устойчивостью
об
и
устойчивости
линейных
ограниченностью
неоднородных
решений
систем.
однородных
Связь
систем,
между
признак
асимптотической устойчивости в терминах показателей.
Асимптотическая устойчивость систем Лаппо-Данилевского. Влияние линейного
возмущения на свойство устойчивости. Теорема о сохранении устойчивости, о
сохранении асимптотической устойчивости, о совпадении множеств характеристических
показателей исходной и возмущенной систем.
Метод малого параметра оценки характеристических показателей системы.
Принцип линейного включения.
РАЗДЕЛ 6. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
Оценки характеристических показателей линейной системы. Понятие о верхнем и
нижнем центральных показателях. Оценка Важевского. Оценки Лозинского. Оценка
Алексеева.
Теорема Винограда о границах подвижности крайних показателей.
Теорема Миллионщикова о достижимости центральных показателей.
РАЗДЕЛ 7. УСТОЙЧИВОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Определение устойчивости характеристического показателя. Теорема о достаточном
условии устойчивости. Устойчивость показателей автономных и приводимых к
автономным систем.
Условие совпадения показателей исходной и возмущенной систем. Теорема БыловаИзобова-Миллионщикова. Коэффициентный признак Изобова устойчивости показателей
системы второго порядка.
РАЗДЕЛ 8. УРАВНЕНИЕ ХИЛЛА
Постоянная Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости уравнения Хилла.
Теорема о неустойчивости.
Понятие о параметрическом резонансе для уравнения Хилла.
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу
1. Линейные системы. Существование, единственность, продолжимость
решения задачи Коши.
2. Структура
вещественной
интегральной
матрицы
в
случае
вещественной
автономной системы.
3. Определение и свойства показателя. Показатель суммы, произведения, линейной
комбинации конечного числа функций.
4. Неравенство Ляпунова для суммы характеристических показателей.
5. Теорема Еругина о приводимости систем с периодическими коэффициентами.
6. Определение правильности линейной системы, признак. Признак правильности
Перрона. Коэффициенты неправильности Ляпунова, Перрона, Гробмана.
7. Гамильтоновы системы. Теорема Массера.
8. Канонические системы. Возвратность характеристического уравнения системы с
периодическими коэффициентами.
9. Теоремы об устойчивости линейных неоднородных систем.
10.
Асимптотическая устойчивость систем Лаппо-Данилевского.
11.
Метод малого параметра оценки характеристических показателей системы.
12.
Оценки характеристических показателей линейной системы. Понятие о верхнем
и нижнем центральных показателях.
13.
Теорема Миллионщикова о достижимости центральных показателей.
14.
Коэффициентный признак Изобова устойчивости показателей системы второго
порядка.
15.
Постоянная Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости уравнения Хилла.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных
уравнений. Издательство Санкт-Петербургского университета, 1992.
2. Адрианова Л.Я, Крыжевич С.Г. Некоторые коэффициентные критерии свойств
решений линейных уравнений второго порядка. СПб. 2002.
3. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., 1954.
4. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая
школа. 1991 (с грифом Мин-ва).
5. Былов Б.Ф. и др. Теория показателей Ляпунова. М. 1966.
6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. 1967.
7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М. 1967.
8. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. М., 1958.
9. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.
10. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с
периодическими коэффициентами. М. 1972.
1.
Дополнительная
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. 1984.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.
1979.
3. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.: «Лань», 2011.
4. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. Монография.
Издательство Ленинградского университета. Л. 1991.
5. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Мир. 1968.
6. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1961.
7. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л. 1950.
8. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных
уравнений. М. 1977.
9. А.Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л. 1947.
10. Рейзинь Л.Э. Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. Рига,
1971.
СОСТАВИТЕЛЬ:
В. А. Плисс, член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий
кафедрой дифференциальных уравнений.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Г.А.Леонов, член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий
кафедрой прикладной кибернетики;
А.Х.Гелиг, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической
кибернетики.