8класс 1) Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру перенести на последнее место, то число уменьшится на 864. Найдите четырехзначное число. Решение: Обозначим искомое число 7abc . тогда получим второе число abc7; Составим уравнение 7abc-abc7 = 864; Отсюда очевидно, что c=1, т.к. 4+7=11, получается, что мы заняли единицу у b. 2) 7ab1- ab17=864 , находим b; b=6+1=7 И прибавляем 1, т.к. мы занимали, т.е. b=8. 3) 7a81 - a817=864 Отсюда a+10=8+8=16. Т.е. a=6. Проверка:7681-6817=864 Ответ:7681. 2) Найдите последнюю цифру числа 82003 . Решение: 8^1=8 8^2=64 8^3=612 8^4=4096 8^5=32768 Логично, что последняя цифра изменяется циклично через каждые четыре числа. 2003:4=500 (ост 3) То есть последняя цифра соответствует остатку 3 3) Среди 81 монет имеется 1 фальшивая (более легкая). Как ее найти, используя всего 4 взвешивания? Решение: Разделив на 3 кучки по 27 монет, определить первым взвешиванием, где фальшивка (либо сразу видно, какая легче, либо фальшивка в той, которую не взвешивали) , затем 27 разделить на три части по 9, определить 2двумя взвешиваниями , где фальшивка, затем опять делим на три по 3, в четвертый раз взвесить любые 2 монеты. 4)Сколькими способами можно разрезать равносторонний треугольник на 2 равных треугольника? Ответ: 3(медиана, биссектриса и высота) 5)Упростите выражение (𝑎 − 𝑏)3 + (𝑏 − 𝑐)3 + (𝑎 − 𝑐)3 . Решение: (𝑎 − 𝑏)3 + (𝑏 − 𝑐)3 + (𝑎 − 𝑐)3 = а³-3а²в+3ав²-в³+в³-3в²с+3вс²с³ +а³-3а²с+3ас²-с³=2а³-3а²в+3ав²-3в²с+3вс²-3а²с+3ас²-2с³ 6)Решите уравнение √1 + √2 + √𝑥 = 2. Решение: √1 + √2 + √𝑥 =2 Возводим обе части в квадрат и получим 1 + √2 + √𝑥 =4 и еще раз возводим обе части в квадрат и получим 2 + √𝑥=3^2=9 √𝑥= 9-2=7 Х= 7^2=49 Ответ: 49 7)Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно. Ответ: 24 8)Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 метров за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость Решение: Если представить, что в конце платформы стоит столб, то получится, что локомотив проезжает мимо платформы за 10 секунд, а потом еще весь остальной поезд мимо столба в конце платформы идет 5 секунд. Значит скорость локомотива 150/10=15 м/сек. А так как он весь мимо столба проезжает за 5 секунд, то его длина равна 15*5=75 метров. Ответ: 15 м/сек; 75 метров 9)Зная, что Решение: 𝑛−2𝑚 𝑚 = 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 1 = , найдите значение выражения 3 𝑛 − 2𝑚 . 𝑚 1 = , отсюда n=3m, подставляя, получим 3 3𝑚−2𝑚 𝑚 𝑚 = =1 𝑚 Ответ:1 10)Сосчитайте: 1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005. Решение: Объединим в группы по четыре члена, начиная со второго 2-3-4+5=0 6-7-8+9=0 10 - 11 - 12 + 13 = 0 и т. д... . 2002 - 2003 - 2004 + 2005 = 0 Остается первое слагаемое , равное 1 Ответ: 1