Теория вероятностей, случайные процессы

АННАТАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Направление подготовки 010100.62 математика (вычислительная математика и
информатика)
Квалификация (степень) выпускника бакалавр
Общая трудоемкость дисциплины 252 ч. (4-й и 7-й семестры)
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины (модуля) "Теория вероятностей" являются:
фундаментальная подготовка в области построения и анализа вероятностных моделей,
овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в
разнообразных приложениях.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Курс входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части обучения.
Для его успешного освоения необходимы знания и умения, приобретенные в
результате обучения предшествующим (а также параллельно изучаемым) дисциплинам:
математический анализ, комплексный анализ, функциональный анализ, алгебра.
Освоение
теории
вероятностей
необходимо
для
дальнейшего
изучения
математической статистики. Знание теории вероятностей может существенно помочь при
построении и анализе различных математических моделей, возникающих в физике,
химии, биологии, медицине, экономике, финансовой и актуарной областях, а также в
технике. Кроме того, методы теории вероятностей широко применяются в целом ряде
направлений современной математики.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля): ОК-6, ОК-8, ОК-11, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7,
ПК-8, ПК-9, ПК-10, ПК-15, ПК-16, ПК-20, ПК-21, ПК-22, ПК-25, ПК-27, ПК-29.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать:
определения и свойства основных
объектов изучения теории
вероятностей, а также формулировки наиболее важных утверждений, методы их
доказательств, возможные сферы приложений.
2) Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области
теории вероятностей, устанавливать взаимосвязи между вводимыми понятиям, доказывать
как известные утверждения, так и родственные им новые.
3) Владеть: разнообразным математическим аппаратом, подбирая сочетания
различных методов, для описания и анализа вероятностных моделей.
4. Структура и содержание дисциплины.
Классическая вероятностная схема. Основные формулы комбинаторики.
Основные понятия элементарной теории вероятностей.
Геометрическая вероятность.
Геометрическое определение вероятности. Задача о встрече. Задача
Бюффона. Парадокс Бертрана.
Аксиоматика теории вероятностей.  - алгебра событий. Вероятность как
нормированная мера. Борелевская  -алгебра и мера Лебега.
Условная вероятность, независимость. Условная вероятность, независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса .
Схема Бернулли. Распределение числа успехов в n испытаниях. Наиболее
вероятное число успехов. Номер первого успешного испытания. Приближение
гипергеометрического распределения биномиальным. Независимые испытания с
несколькими исходами. Теорема Пуассона для схемы Бернулли.
Случайные величины и их распределения. Случайные величины.
Дискретные распределения. Примеры дискретных распределений.
Функция распределения. Свойства функции распределения. Абсолютно
непрерывные распределения случайных величин. Свойства нормального
распределения.
Случайные векторы и их распределения. Свойства функции совместного
распределения. Типы многомерных распределений. Независимость случайных
величин.
Преобразование случайных величин. Преобразование одной случайной
величины. Функции от двух случайных величин. Примеры использования формулы
свёртки.
Числовые характеристики зависимости случайных величин. Коэффициент
корреляции и его свойства.
Сходимость последовательностей случайных величин. Сходимость почти
наверное и по вероятности. Неравенства Чебышёва. Законы больших чисел (ЗБЧ).
Характеристические функции. Свойства характеристических функций.
Слабая сходимость. ЦПТ. Предельная теорема Муавра-Лапласа.
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
1. Цели освоения дисциплины.
Целями освоения дисциплины "Теория случайных процессов" являются:
фундаментальная подготовка в области построения и анализа сложных стохастических
моделей, овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего
использования в разнообразных приложениях.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Курс входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части обучения.
Для его успешного освоения необходимы знания и умения, приобретенные в
результате обучения предшествующим (а также параллельно изучаемым) дисциплинам:
математический анализ, комплексный анализ, функциональный анализ, алгебра,
дифференциальные уравнения, теория вероятностей.
Курс завершает изучение основных вероятностных дисциплин, начатое лекциями
по теории вероятностей (4 семестр) и продолженное лекциями по математической
статистике (5 семестр).
Знание теории случайных процессов может существенно помочь при построении и
анализе сложных стохастических моделей, возникающих в физике, химии, биологии,
медицине, экономике, финансовой и актуарной областях, а также в технике. Кроме того,
методы теории случайных процессов широко применяются в целом ряде направлений
современной математики.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля): ОК-6, ОК-8, ОК-11, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7,
ПК-8, ПК-9, ПК-10, Пк-15, ПК-16, ПК-20, ПК-21, ПК-22, ПК-25, ПК-27, ПК-29.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать определения и свойства основных объектов теории случайных процессов,
а также формулировки наиболее важных утверждений, методы их доказательств,
возможные сферы приложений.
2) Уметь решать задачи вычислительного и теоретического характера в области
теории случайных процессов, устанавливать взаимосвязи между вводимыми понятиям,
доказывать как излагавшиеся утверждения, так и родственные им новые.
3) Владеть разнообразным математическим аппаратом, подбирая сочетания
различных методов для описания и анализа сложных стохастических моделей.
4. Структура и содержание дисциплины.
Определение случайного процесса (с.п.) и его конечномерные распределения.
Моментные характеристики с.п.
Важнейшие классы с.п.: нормальные процессы, стационарные, процессы с
независимыми приращениями, марковские процессы, цепи Маркова.
Разностные стохастические уравнения.
Стохастические дифференциальные уравнения.
Составил доцент кафедры МАиМ В.А.Труфанов