1 Так как радиус-вектор точки М является вектором в теле, то... тела находится по формуле Эйлера

1
Лекция 7
Скорость и ускорение точки вращающегося тела
Так как радиус-вектор точки М является вектором в теле, то скорость точки вращающегося
тела находится по формуле Эйлера
V=dr/dt=×r
(17)

Матричная запись этой формулы в любой из систем координат

D
C
z
B
V= r
(18)
A

В соответствии с Рис.7 модуль скорости точки V равен :
V= r Sin a= h
(19)
Рис.9.
Видим, что скорость точки линейно зависит от расстояния h до оси вращения.
Картина распределения скоростей на прямой, перпендикулярной оси представлена на Рис.9
Найдем ускорение точки вращающегося тела. Дифференцируя (17) по времени, найдем
W = dV/dt = d/dt(×r) =

=d/dt × r + × dr/dt =  × r +  x V
(20)
Wn
Таким образом ускорение точки вращающегося тела имеет две
W
h

составляющие. Из Рис.10 видно, что составляющая Xr касательна к
M
V
W
 r
траектории точки. Однако здесь она называется вращательным

ускорением точки. Его направление соответствует направлению дуговой
Рис.10
стрелки вектора углового ускорения .
Вторая составляющая w ×V устремлена к оси вращения, независимо от направления
вращения (вектора ) и поэтому называется осестремительным ускорением точки.
Действительно, векторы  и V изменяют направление одновременно, поэтому их векторное
произведение не меняет своего направления к оси вращения. Окончательно имеем:
W=Wвр+Wос;
Wвр=×r,
Wсс= × V;
(21)
Модули составляющих ускорения
Wвр= r Sina =h
Wос=V=2 h
(22)
Вычислим модуль полного ускорения W и угол  с направлением на ось:
_________
_____
вр2
ос2
W= W +W = h2+4 ;
tg=Wвр/Wос= / 2
(23)
Видим, что модуль ускорения точки тоже линейно зависит от расстояния h до оси вращения, а угол 
одинаков для всех точек тела.
Теперь нетрудно изобразить картину распределения скоростей и
W
ускорений во вращающемся теле Поскольку на прямых, параллельных оси



z
V V вращения скорости все время одинаковы, то одинаковы и ускорения. Значит
во всех плоскостях, перпендикулярных оси вращения, картины
V V


распределения одинаковы. Одна из них изображена на Рис.11:


W
Вычислим проекции ускорения точки М (Рис.10) на подвижные оси
Рис.11
матричным способом. Дифференцируя (18) по времени
получим:
.. .
.
W=V*= *r+  r*= *r+  r = (+ 2) r
(24)
Здесь - кососимметричная матрица углового ускорения
 0  1 0
= *=**  1 0 0
(25)
 0 0 0
Формула (24) справедлива как в неподвижной системе координат, так и координатах, связанных с
телом, где она чаще всего и применяется.
Ë9
1
2
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
Закон движения. Плоская фигура.
Движение тела называется плоским, если скорости всех его точек остаются параллельными
некоторой неподвижной плоскости. Примером такого движения может служить качение цилиндра
по плоскости (Рис.1). Скорости всех точек цилиндра параллельны плоскости П с ортом нормали n.
Умножая скалярно формулу VB=VA+XAB на орт нормали n, получим:
v
0=n.(XAB)=(nX).AB.
(1)

n
Отсюда nX=0 и  параллелен n. Таким образом, при плоском движении

D

вектор угловой скорости все время перпендикулярен плоcкости движения

S
П.
V
Рис.1
По следствию из теоремы о распределении
скоростей,. скорости
точек любой прямой, параллельной , остаются все время одинаковыми.
Значит одинаковы и их ускорения. Поэтому нет смысла изучать распределение скоростей и
ускорений во всем теле. Достаточно понять как они распределены в каком-нибудь его сечении S,
параллельном плоскости движения П. Такое сечение называется плоской фигурой. Во всех
параллельных сечениях распределения скоростей и ускорений будет аналогичным.
y
y
x
Обычно плоскую фигуру располагают в плоскости чертежа ху
B
(Рис. 2). Положение фигуры на плоскости определяется тремя координатами 
y
A
функциями времени:
S
xA(t), yA(t), (t)
(2)
x
x
Они и задают закон плоского движения тела, которое, таким образом, имеет
Рис.2
три степени свободы.
B
A
1
2
2
A
1
A
Скорость и ускорение точки плоской фигуры
Скорость произвольной точки плоской фигуры (Рис 3). находится по теореме о распределении
скоростей с учетом того, что угловая скорость перпендикулярна плоской фигуре
VB=VA+VBA ;
VBA= XAB; (3)
v BA   x AB
wA
vB
W
=W
+W
;
WAB = WAB вр+WABос;
B
A
AB
B
B
WABвр =  X AB;
WABос= 2AB
bp
vA

w BA Учитывая, что векторы  и  направлены
oc
wB

w BA
перпендикулярно плоской фигуре, найдем, что
vA
все составляющие лежат в плоскости фигуры и
A
wA
w BA
A
имеют модули:

VBA=  AB
(4)
2
вр2
ос2
вр
ос
2
Рис.3
WAB = WAB +WAB
WAB =  АВ WAB =  АВ
(5)
Заметим, что угол  не зависит от точки
tg= WABвр/ WABос= / 2
(6)
Матричные аналоги формул в любой системе координат имеют вид:
VB=VA+ (AB),
WB=WA+(E+ 2)(AB)
(7)
Мгновенный центр скоростей. Распределение скоростей в плоской фигуре.
Картина распределения скоростей прояснится, если ввести понятие мгновенного центра
скоростей -- точки Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна
P (V = 0)
нулю. Покажем, что, если угловая скорость в данный момент не равна нулю, то Р
AP
существует. Построим его. Для этого умножим слева векторно на  формулу
VA
скорости для Р:
 A
 X 0 = VA+  x AP;
0 =  X VA +  x ( x AP) =  x VA - 2AP
Рис. 4
Отсюда:
AP= ( X VA)/ 2;
АР=VA/ 
(8)
P
Ë9
2
(3)
3
Если теперь за полюс принять м.ц.с. Р, то формула скорости приобретет вид, знакомый нам
по вращательному движению:
VB=VP+  X PB=  X PB
(9)
Таким образом в плоской фигуре скорости распределены так, как если бы она вращалась вокруг
м.ц.с. Р.
Это значит, что скорость любой точки плоской фигуры перпендикулярна

направлению на точку Р и соблюдаются следующие соотношения:
D

C
VA=  AP;
 = VA/AP;
VA/VB=AP/BP
(10)
B
P
A
Рисунок подсказывает и способы
vA

построения Р в различных случаях:
A
A
B
vB
B
vA vB
vA
P
A
а) Известны параллельные скорости двух точек
на одном перпендикуляре к этим скоростям
Рис.5
б) Случай мгновенно-поступательного движения, когда
скорости двух точек параллельны, но точки не лежат на одном перпендикуляре
. Примером может служить шатун АВ в указанном на
P
рисунке положении механизма. В этом случае перпендикуляры к
скоростям пересекаются в бесконечности и w = vA/AP=0

в) Известны направления скоростей двух точек: Например,
скорости точек А и В линейки,
A
скользящей вдоль прямых,
Рис.6 P
vB
известны
по
направлению.
Рис.6Поэтому МЦС наход
C
B
Рис.6
vA
г) Качение без проскальзывания плоской фигуры по кривой. В
vC
vB
качестве примера рассмотрим
B
колесо, которое катится по буграм.
vA
vB=2vC
Точка контакта Р является мгновенным
Рис.7
A
C
центром cкоростей. Часто окружность колеса ошибочно принимают
за траекторию точки А и ее скорость ошибочно направляют по
касательной к ободу колеса, в то время как она перпендикулярна АР.
Рис.8
Как видим, ни одна точка колеса не имеет скорости,
направленной против движения колеса. Поэтому камень,
отделившись от колеса всегда летит вперед.
O
Ë9
3