http://teormex.net/ 13 Сложное движение точки (тела) – такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в нескольких движениях (напр. пассажир, перемещающийся по движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат (Oxyz), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O1x1y1z1). Абсолютным движением точки назыв. движение по отношению к неподвижной системе координат. Относительное движение – движение по отношению к подвижной системе коорд. (движение по вагону). Переносное движение – движение подвижной сист. координат относительно неподвижной (движение вагона). Теорема о сложении скоростей: O r , dx dy dz z1 di dj dk d d O M v ( x y z) ( i j k ) ; i , j, k -орты z dt dt dt dt dt dt dt dt r (единичные вектора) подвижной системы координат, орт вращает х O y di ся вокруг мгновенной оси, поэтому скорость его конца e i o y1 O1 dt dx dy dz d O v ( i x j y k z ) ( i j k ), и т.д., : х1 e dt dt dt dt dx dy dz i x j y kz r ; i j k i v rx j v ry kv rz v r – относительная скорость. dt dt dt v v O e r v r ; переносная скорость: v e v O e r , поэтому абсолютная скорость точки = геометрической сумме ее переносной (ve) и относительной (vr) скоростей v v e v r , модуль: v v e2 v 2r 2 v e v r cos( v e , v r ) . Теорема о сложении dv d 2 O d2 i d2 j d 2k a ( 2 x 2 y 2 z) dt dt 2 dt dt dt ускорений (теорема Кориолиса): 2 2 2 d x d y d z d i dx d j dy dk dz ( i 2 j 2 k 2 ) 2( ) dt dt dt dt dt dt dt dt dt de d2 i d di d di ( ) ( i ) i i ( i ) и т.д. Слагаемые e e e e e dt dt dt dt 2 dt dt d 2O a O – ускорение полюса О; выражения, определяющего ускорения a : 1) 2 dt d2 i d2 j d2k x y z [ i ( i )] x [ j ( e e e e e e j )] y 2) dt 2 dt 2 dt 2 [ e k e (e k )] z e r e (e r ); d2x d2 y d2z 3) i 2 j 2 k 2 i a rx j a ry k a rz a r – относительное ускорение точки; dt dt dt dx dy dz d i dx d j dy dk dz 4) e ( i j k ) e ( i v rx j v ry kv rz ) e v r , dt dt dt dt dt dt dt dt dt получаем: a a O e r e (e r ) a r 2(e v r ) . http://teormex.net/ 14 Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движе ос нии: a O – ускорение полюса О; a вр e e r – вращательное уск., a e e ( e r ) – ос осестремительное уск., т.е. a e a О a вр e a e . Теорема о сложении ускорений (тео рема Кориолиса): a a е a r a c , где a c 2e v r – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения; 2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения. Модуль ускорения Кориолиса: ас= 2|evr|sin(e^vr), направление вектора a c определяется по правилу векторного произведеvr ния, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикуляр ную переносной угловой скорости, надо повернуть на 90о в направлении вращения. Кориолисово уск. = 0 в трех случаях: 1) e=0, т.е. в ас 90о vrsin случае поступательного переносного движения или в момент обращения угл. скорости в 0; 2) vr=0; 3) sin(e^vr)=0, т.е. (e^vr)=0, когда относительная скорость vr параллельна оси переносного вращения. В случае движения в одной плоскости – угол между vr и вектором e = 90о, sin90o=1, ас=2evr. vr Сложное движение твердого тела ас=0 При сложении двух поступательных движений результирующее движение также является поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений. Сложение вращений тв. тела вокруг пересекающихся осей. Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем назыв. мгновенной осью вращения тела. Вектор угловой скорости – скользящий вектор, направленный вдоль мгновенной оси вращения. Абсолютная угловая скорость тела = геометрической сумме скоростей составляющих вращений – правило e параллелограмма угловых скоростей. e r . Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольr ких осей, пересекающихся в одной точке, то z ... 1 2 n . При сферическом движении твердо го тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной, имеем уравнения сферического движения: =f1(t); =f2(t); =f3(t). – угол прецессии, – y угол нутации, – угол собственного вращения — углы O d х Эйлера. Угловая скорость прецессии 1 , угл. ско J dt http://teormex.net/ 15 d d , угл. ск. собственного вращения 3 . 1 2 3 , dt dt 2 2 2 2 cos – модуль угловой скорости тела вокруг мгновенной оси. Через проекции на неподвижные оси координат: sin sin ; y sin sin cos ; z cos – кинематиx cos рость нутации 2 ческие уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей. 1) Вращения направлены в одну сторону. =2+1, С – мгновенvA ный центр скоростей и через нее проходит мгновенная ось 2 v v v v B 1 1 вращения, B A A , . 2) Вра 2 B A С BC AC AB BC AC AB vB щения направлены в разные стороны. v v v vA , =2—1 B A B BC AC AB С – мгн. центр ск. и мгн. ось вращения, 1 2 . Векто2 1 BC AC AB С B A ры угловых скоростей при вращении вокруг ||-ых осей складыvA ваются так же, как векторы параллельных сил. 3) Пара вращеvB ний – вращения вокруг ||-ных осей направлены в разные сторо ны и угловые скорости по модулю равны ( 2 1 – пара угло2 1 вых скоростей). В этом случае vA=vB, результирующее движеB A ние тела – поступательное ( или мгновенное поступательное) движение со скоростью v=1AB – момент пары угловых скороvA vB стей (поступательное движение педали велосипеда относит-но рамы). Мгн. центр скоростей находится в бесконечности. Сложение поступательного и вращательного движений. 1) Скоp ' рость поступательного движения к оси вращения – плоскопараллельное движение – мгновенное вращение вокруг оси Рр с P A угловой скоростью ='. v 2) Винтовое движение – движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси Аа с угл.ск. и поступательного " со скоростью v||Аа. Ось Аа – ось винта. Если v и в одну стоa рону, то винт – правый, если в разные – левый. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, леvM v жащей на оси винта, наз. шагом винта – h. Если v и постоянM h v ны, то h= 2 =const, при постоянном шаге любая ()М, не ле A жащая на оси винта описывает винтовую линию. v M v 2 2 r 2 направлена по касательной к винтовой линии. 3) Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения, в этом случае движение можно рассматривать как слагающееся из серии мгно- http://teormex.net/ 16 венных винтовых движений, вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей – мгновенно–винтовое движение.