7 класс

7 класс
7-1. Разрежьте по клеточкам каждый из квадратов 3 х 3 и 4 x 4
четырех кусков можно было сложить новый квадрат.
на две части так, чтобы из получившихся
7-2. На доске были записаны четыре натуральных числа. Сложив их всевозможными различными способами по
два, Петя получил следующие шесть сумм: 17, 18, 20, 21, 23, 26. Докажите, что Петя ошибся при вычислении сумм.
7-3. В таблицу 2 x 5 записали все натуральные числа от 1 до 10. После этого подсчитали каждую из сумм чисел по
строкам и по столбцам (всего получилось 7 сумм). Какое наибольшее количество этих сумм может оказаться
простыми числами?
7-4. На полоске 120 на 10 левых полях стоят 10 шашек. Шашка может ходить на соседнюю справа свободную
клетку или перепрыгнуть через соседнюю справа шашку на следующую за ней клетку, если эта клетка свободна.
Движение влево не разрешается. Можно ли все шашки переставить подряд без пробелов в обратном порядке?
7-5. В девятом классе 26 учеников. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. На уроке
физкультуры все ученики этого класса выстроились по кругу лицом к учителю, который задал каждому ученику по
два вопроса: «Кто стоит слева от тебя?» и «Кто стоит справа от тебя?»,  и каждый из учеников на оба эти вопроса
ответил: «Мальчик». Сколько в классе может быть мальчиков?
8 класс
8-1. На доске были записаны четыре натуральных числа. Сложив их всевозможными различными способами по
два, Петя получил следующие шесть сумм: 17, 18, 20, 21, 23, 26. Докажите, что Петя ошибся при вычислении сумм.
8-2. Есть 100 карточек, у каждой одна сторона черная, а другая белая. Карточки лежат на столе белой стороной
вверх. Костя перевернул 50 карточек, затем Серёжа перевернул 60 карточек, а после этого Оля перевернула 70
карточек, и наконец, Дима перевернул 80 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной
стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто только один раз? А сколько три раза? Приведите все
возможные ответы и докажите, что других нет.
8-3. Придумайте десятизначное число, все цифры которого различны, такое, что после вычеркивания любых шести
его цифр остается составное число.
8-4.
Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O . Пусть H – точка
пересечения высот остроугольного треугольника ADC . Оказалось, что DH = BO и CAB = CDB . Докажите, что
H – середина DO .
8-5. Клетки таблицы 8 x 8 покрашены в три цвета. Оказалось, что в таблице нет трёхклеточного уголка, все клетки
которого одного цвета (трёхклеточный уголок — это фигура, получаемая из квадрата 2 x 2 удалением любой
одной клетки). Также оказалось, что в таблице нет трёхклеточного уголка, все клетки которого трёх разных
цветов. Докажите, что количество клеток каждого цвета чётно.
9 класс
9-1. Разрежьте приведённую на рисунке картинку, составленную из косточек домино, на четыре равные по
площади части, разрезав при этом как можно меньше костей домино. Объясните, почему нельзя обойтись
меньшим числом разрезанных костей домино.
9-2. Известно, что при любых целых значениях
Докажите, что числа 2b и 6a – целые.
x
выражение
ax3  bx2  cx
принимает целые значения.
9-3. В четырехугольнике ABCD углы A и C равны. Биссектриса угла B пересекает прямую AD в точке P .
Перпендикуляр к BP , проходящий через точку A , пересекает прямую BC в точке Q . Докажите, что прямые PQ
и CD параллельны.
9-4. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 6 × 6 , в каждой клетке живет один
человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки
примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: «Среди моих соседей нечётное число
лжецов». Доказать, что количество лжецов в деревне чётно.
9-5. На доске выписано число 181818…18 (всего 2014 цифр: 1007 единиц и 1007 восьмёрок). Из этого числа
вычеркнули какие-то 200 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?
10 класс
10-1. Решите уравнение:
x8  x 6  x 4  x 2  1  0 .
10-2. Докажите, что для всех натуральных
n справедливо неравенство
n
2013
2013
n
n  2013
n
 2013 .
10-3. На доске выписано число 181818…18 (всего 2014 цифр: 1007 единиц и 1007 восьмёрок). Из этого числа
вычеркнули какие-то 200 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?
10-4. В остроугольном треугольнике АВС отрезок МК, соединяющий основания высот АМ и ВК, виден из середины
Е стороны АВ под прямым углом. Найдите величину угла С.
10-5. В классе 33 человека. Известно, что четверо из них занимаются карате в одной секции, но не всем известно
кто это. Учитель физкультуры тоже не знает кто это, но попросил каждого ученика назвать трех человек, которые,
по его мнению, занимаются карате. Каждый каратист назвал трех других каратистов, а остальные могли назвать
кого угодно. Докажите, что, пользуясь этими данными, учитель сможет выбрать одного из ребят, который не
занимается карате.
11 класс
11-1. Известно, что при любых целых значениях
Докажите, что числа 2b и 6a – целые.
11-2. Для некоторого действительного x числа
x
x выражение ax3  bx2  cx принимает целые значения.
x2 
1
х2
и
x3 
1
х3
являются целыми. Докажите, что тогда и
1
– целое число.
х
11-3. На доске выписано число 181818…18 (всего 2014 цифр: 1007 единиц и 1007 восьмёрок). Из этого числа
вычеркнули какие-то 200 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?
11-4. (О) Пусть М – точка пересечения диагоналей выпуклого вписанного четырёхугольника АВСD. Докажите, что
если AB = AM, то прямая, проходящая через точку M и середину дуги ВС (не, содержащую других вершин
четырёхугольника), перпендикулярна AD.
11-5. На плоскости расположены 2013 41-угольников. Известно, что любые два из них имеют ровно одну общую
вершину. Доказать, что все 41-угольники имеют общую вершину.