Частные производные 1-го и высших порядков

§ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Прежде всего, договоримся, что здесь и далее все определения и
утверждения мы будем формулировать для функции двух (или трех) переменных. Это придаст изложению наглядность. А в случае необходимости
результаты легко обобщить на случай функции большего числа неизвестных.
Пусть в некоторой открытой области D плоскости XOY задана
функция двух переменных z  f ( x, y) . Возьмем произвольную точку
M 0 ( x0 , y 0 ) в этой области и придадим x0 приращение x , оставляя
значение y 0 неизмененным. При этом функция z  f ( x, y) получит
 x z (M 0 )  f ( x 0  x , y 0 )  f ( x 0 , y 0 ) .
приращение
Оно называется частным приращением этой функции по x в точке
M 0 ( x0 , y0 ) . Запишем отношение
 x z (M 0 ) f ( x 0  x , y 0 )  f ( x 0 , y 0 )

x
x
Предел этого отношения при x  0 (если он существует и конечен)
называется частной производной функции z  f ( x, y) по переменной x
в точке M 0 ( x0 , y0 ) .
Для обозначения частной производной функции z  f ( x, y) по x в
точке M 0 ( x0 , y 0 ) используют символы
f ( x0 , y 0 )
z ( x0 , y0 )
, z x ( x0 , y 0 ) ,
, f x ( x0 , y0 )
x
x
z ( M 0 )
f ( M 0 )
или
, z x ( M 0 ) ,
, f x ( M 0 ) .
x
x
f ( x0 , y 0 )
z ( x0 , y0 )
и
x
x
надо понимать как целые символы, а не как частное двух величин.
Отдельно взятые выражения z ( x0 , y 0 ) и x смысла не имеют.
Замечание. Обозначения частной производной
Аналогично, считая x0 постоянной и придавая y 0 приращение y ,
мы получим частное приращение функции z  f ( x, y) по переменой
y в точке M 0 ( x0 , y0 ) :
 y z (M 0 )  f ( x 0 , y 0  y )  f ( x 0 , y 0 ) ,
 y z (M 0 )
f ( x 0 , y 0  y )  f ( x 0 , y 0 )
y 0
y 0
y
y
(если он существует и конечен) называется частной производной
функции z  f ( x, y) по переменной y в точке M 0 ( x0 , y0 ) . Для ее
обозначения используют символы
8
а
lim
 lim
z ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 )
, z y ( x0 , y0 ) ,
, f y ( x0 , y0 )
y
y
z ( M 0 )
f ( M 0 )
или короче
, z y ( M 0 ) ,
, f y ( M 0 ) .
y
y
Физический смысл частных производных: отношение
 x z (M 0 ) f ( x 0  x , y 0 )  f ( x 0 , y 0 )

x
x
дает среднюю скорость изменения функции z  f ( x, y) по переменной x
на отрезке M 0 M 1 , где M 1 ( x0  x, y0 ) . Значит предел этого отношения
при x  0 (если он существует и конечен) характеризует скорость изменения данной функции по x в самой точке M 0 ( x0 , y 0 ) . Аналогично, частная производная z y ( M 0 ) характеризует скорость изменения функции
z  f ( x, y) точке M 0 ( x0 , y 0 ) , только по y .
Найдя частные производные по x и y от функции z  f ( x, y) в
тех точках области D , в которых они существуют, мы получим две новые
функции (в общем случае тоже двух переменных), которые называют соответственно частной производной функции z  f ( x, y) по переменной x и по переменной y и обозначаются соответственно
f ( x, y )
f ( M )
z
, z x ,
, f x ( x, y ) ,
, f x (M )
x
x
x
f ( x, y )
f ( M )
z
и
, z y ,
, f y ( x, y ) ,
, f y (M ) .
y
y
y
Операция нахождения частных производных f x ( x, y ) и f y ( x, y )
называется дифференцированием функции z  f ( x, y) по переменной x
и y соответственно.
Фактически, частная производная функции z  f ( x, y) по x (по y )
есть по определению обыкновенная производная функции z  f ( x, y) ,
рассматриваемой как функция одной переменной x (соответственно y )
при постоянном значении другой переменной. Поэтому, вычисление частных производных по x (по y ) от конкретных функций производится по
известным для функции одной переменной правилам. Только требуется
помнить, по какой переменной ищется производная, а другую переменную
считать константой.
ПРИМЕР. Для функции f ( x, y )  x 2  xy 2  y 3 считая y постоянной, в любой точке ( x, y ) имеем
f x ( x, y )  2 x  y 2 ;
считая x постоянной, в любой точке ( x, y ) имеем
f y ( x, y )  2 xy  3 y 2 .
9
Аналогично определяются и обозначаются частные производные
функции любого числа независимых переменных. А именно, частная производная от функции u  f ( x1 , x2 ,  , xn ) по любой из независимых переменных x i в точке M 0 ( x01 , x02 , , x0n ) есть предел отношения частного
приращения функции в этой точке по x i к приращению xi при
xi  0 (если это предел существует и конечен):
 x i u( M 0 )
u( M 0 )
.
 lim
xi
xi
x i 0
Частные производные функции двух переменных имеют простой геометрический смысл. Предположим, что функция z  f ( x, y) имеет в точке
M 0 ( x0 , y 0 ) частную производную по переменной x . Пусть поверхность
z
S является графиком функции z 
 f ( x, y ) . Проведем плоскость y  y0 .
P0
В сечении этой плоскости с поверхностью S получится линия P0T , где
y0
P0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) . Построим в точке
y
x
M0
P0 касательную P0 A к линии P0T .
T
Пусть прямая P0 A образует с осью Ox

угол  . Тогда
A
f x ( M 0 )  tg  .
Действительно, по определению f x ( M 0 ) есть обыкновенная производная по x от функции одной переменной f ( x, y0 ) при x  x0 . Но
производная функции одной переменной по x в данной точке x 0 равна
тангенсу угла наклона к оси Ox касательной к графику этой функции в
точке x 0 . Следовательно, f x ( M 0 ) есть тангенс угла наклона к оси Ox
касательной к графику функции f ( x, y0 ) в точке x 0 . Но линия P0T и
есть график функции f ( x, y0 ) , а прямая P0 A – требуемая касательная.
Аналогично, если функция z 
 f ( x, y ) имеет в точке M 0 ( x0 , y 0 )
частную производную по переменной
y , то
f y ( M 0 )  tg  ,
где  – угол наклона к оси Oy касательной, проведенной в точке P0 к
линии пересечения поверхности S и
плоскости x  x0 .
10
z
P0
y
x0
x

M0
K
B
§ 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
Пусть функция z  f ( x, y) определена в некоторой области D . Если
функция z  f ( x, y) имеет частные производные f x ( x, y ) и f y ( x, y ) , то
они в общем случае тоже будут функциями двух переменных x и y ,
определенных в области D или ее части. Будем называть в дальнейшем
функции f x ( x, y ) и f y ( x, y ) частными производными первого порядка (или просто первыми частными производными) функции f ( x, y ) .
Частные производные по x и по y от функций f x ( x, y ) и f y ( x, y ) , если они существуют, называются частными производными второго порядка
(вторыми частными производными) функции f ( x, y ) . Обозначают частные производные второго порядка функции f ( x, y ) следующим образом:
1) производная по x от функции f x ( x, y ) обозначается одним из
следующих символов
2
 2 z  f ( x, y )
,
, z xx , f xx ( x, y ) ;
2
x 2
x
2) производная по y от функции f x ( x, y ) обозначается
 2 f ( x, y )
2z
,
, z xy , f xy ( x, y ) ;
x y
xy
4) производная по x от f y ( x, y ) обозначается
 2 f ( x, y )
2z
,
, z yx , f yx ( x, y ) ;
y x
yx
5) производная по y от f y ( x, y ) обозначается
2
 2 z  f ( x, y )
,
, z yy , f yy ( x, y ) .
y 2
y 2
Частные производные второго порядка в общем случае снова будут
функциями двух переменных. Если их можно дифференцировать по x и
по y , то получим частные производные третьего порядка (третьи
частные производные) функции z  f ( x, y) и т.д.
Вообще, частные производные от частных производных ( n  1 )-го
порядка некоторой функции называются частными производными n -го
порядка этой функции.
Символика для обозначения частных производных n -го порядка
( n  3,4,) аналогична символике для частных производных второго порядка. Например:
3z
  2 z 
3z
  2 z 
4 z
  3z 


,
,


.




xyx x  xy 
x 2 y y  x 2 
x 2 y 2 y  x 2 y 
11
ПРИМЕР.
z  x 4  3x 2 y 5
Найти частные производные второго порядка функции
z x  4 x 3  6 xy 5 ,
Имеем
z y  15 x 2 y 4 .
Дифференцируя функции z x и z y по x и по y , получаем



z xy 
4 x 3  6 xy 5   30 xy 4 ,
z xx  4 x 3  6 xy 5   12 x 2  6 y 5 ,

y
x



z yy 
15 x 2 y 4   60 x 2 y 3 .
z yx  15 x 2 y 4   30 xy 4 ,
y
x
Частные производные второго и высших порядков, взятые по разным
аргументам, называются смешанными.
В рассмотренном выше примере оказалось, что f xy  f yx . Это свойство имеет место для широкого класса функций, что подтверждает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3.1. Если функция z  f ( x, y) в некоторой области имеет все частные производные до n -го порядка включительно и эти производные непрерывны, то смешанные производные порядка m ( m  n ), отличающиеся лишь последовательностью дифференцирований, совпадают
между собой.
Например, будет иметь место равенство
( 4)
( 4)
( 4)
( 4)
f xxyy
( x, y )  f xyxy
( x, y )  f yxxy
( x, y )  f yyxx
( x, y )
(при условии, что указанные производные непрерывны).
Замечание. Условие непрерывности частных производных является существенным. Можно привести примеры, которые показывают, что если
оно не выполняется, то результат дифференцирования существенно
зависит от порядка дифференцирований.
Определения и обозначения частных производных высших порядков
для функции трех и более числа переменных даются аналогичным образом. Остается в силе и теорема о независимости смешанных производных
от последовательности дифференцирований при условии их непрерывности.
12