Вопросы для коллективного обсуждения

Методические рекомендации по изучению дисциплины
«Основы математической обработки информации»
для студентов, обучающихся по специальности
«Педагогическое образование профиль «Дополнительное образование
(музыка)»
Цель курса: формирование системы знаний, умений и навыков, связанных с
особенностями математических способов представления и обработки информации как базы
для развития универсальных компетенций и основы для развития профессиональных
компетенций.
 задачи:
1) познакомить с основными методами и средствами получения, хранения и переработки
информации;
2) сформировать умения применять знания о современной научной картине мира в
образовательной и профессиональной деятельности;
3) научить использовать методы математической обработки информации, теоретического и
экспериментального исследования;
4) способствовать развитию логически правильной устной и письменной речи.
требования к уровню освоения содержания дисциплины:
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля):
ОК-8, ОК-4, ОК-6 и ОК-7.
В результате освоения дисциплины обучающиеся
должны знать:
 основные способы представления информации с использованием математических
средств;
 основной теоретический материал разделов «Математическая статистика» и «Теория
вероятностей», используемый для обработки данных эксперимента;
 этапы метода математического моделирования
 возможности
применения
основных
математических
моделей
в
своей
профессиональной области;
должны уметь:
 выявлять информацию, необходимую для решения конкретной задачи;
 переводить полученную информацию на математический язык, используя основные
математические понятия и термины;
 определять вид математической модели для решения поставленной задачи;
 решать задачи с помощью математических моделей.
должны иметь представление:
 об основах представления информации с использованием математических средств;
 об основных методологических подходах аналитической обработки информации, а
также методах и средствах, используемых для обработки данных эксперимента;
 об этапах и методах математического моделирования;
 о возможностях применения основных математических моделей в своей
профессиональной деятельности;
должны обладать навыками:
 представления информации в формализованном виде, необходимом для решения
конкретной прикладной задачи;
 использования комбинированного подхода к обработке данных, используя оценочные
и структурные аспекты моделирования;
 определения вида аналитической зависимости математической модели для
решения поставленной задачи;
 решения прикладных задач с помощью математических методов и моделей.
1
2

ПР
/
СМ
ЛБ
Вид итогового контроля (форма
отчетности)
ЛК
Часы на СРС
. (для дисц-н с экзаменом,
включая часы на экзамен)*
Часов в интеракт.форме. (из
ауд.)
Всего аудит.
Трудоемкость в
часах/ЗЕТ
Семестр
Виды учебной работы в часах
Курс
№
п/
п
Шифр и наименование
направления с указанием
профиля (названием
магистерской программы),
формы обучения
ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
(для всех направлений подготовки, на которых читается дисциплина (модуль): «Основы
математической обработки информации»
Общая трудоемкость дисциплины (модуля) составляет 2 зачетных единицы (из расчета 1 ЗЕТ =
36 часам): 72 часа.
050100.62
– 2
4
72/2
36
8
12 10 14
36
зачет
«Биология»,
профиль «Общая
биология»
050100.62
– 3
5
72/2
12
4
8
60
зачет
«Биология»,
профиль «Общая
биология»
заочная форма
Общее количество часов по СРС в данной таблице для дисциплин с формой контроля
«Экзамен» высчитывается так же как и для дисциплин с формой контроля «Зачёт», где
общее количество часов на СРС равно разности общей трудоёмкости по дисциплине и
общего количества аудиторной работы.
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ):
Разделы дисциплины (модуля) и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
Количество часов
№
п/п
Наименование
раздела, темы
1.
Введение. Роль математики в
современном мире.
Особенности обработки
информации с помощью
математических методов
Основные средства
представления информации в
математике (формулы,
таблицы, графики,
диаграммы)
2.
Вариант 1
Всего
ПР/
ауд.ч./в
ЛК
ЛБ
СМ
интеракт.ф.
Часов
на
СРС
Вариант 2
Всего
ПР/
ауд.ч./в
ЛК
ЛБ
СМ
интеракт.ф.
Часов
на
СРС
4/0
2
2
-
1
-
-
-
8
6/2
2
2
2
5
1
-
2
8
1)
2)
3.
1)
2)
4.
1)
2)
5.
1)
6.
1)
2)
Систематизация информации с
помощью таблиц. Виды таблиц и
способы их построения.
Графики и диаграммы, их виды и
способы построения. Примеры
построения графиков и диаграмм
на основе анализа информации.
Математические модели как
средство работы с
информацией
Функция как математическая
модель. Основные процессы и
явления, описываемые с
помощью функций. График
функции как модель
описываемого процесса или
явления. Интерпретация
полученных результатов.
Уравнения и неравенства как
математические модели,
интерпретация их решений.
Использование элементов
логики при работе с
информацией
Элементы логики.
Высказывания, операции над
ними. Основные законы логики.
Одноместные предикаты. Запись
умозаключений с помощью
логических формул.
Элементы комбинаторики как
средство обработки и
интерпретации информации
Понятие комбинаторной задачи.
Основные формулы
комбинаторики. Решение
комбинаторных задач,
соответствующих специфике
профессиональной деятельности
Элементы теории вероятностей,
их использование при
обработке информации
Классический подход к понятию
вероятности случайного события.
Свойства вероятностей. Теоремы
сложения и умножения
вероятностей.
Дискретные и непрерывные
случайные величины.
Нормальный закон распределения
вероятностей, его свойства.
Применение свойств нормального
8/2
2
2
4
5
1
-
2
8
6/0
2
2
2
5
-
-
1
10
6/0
2
2
2
5
-
-
1
10
4/2
2
-
2
5
1
-
1
8
распределения для обработки
информации.
7. Элементы математической
статистики в обработке и
интерпретации информации
1) Основные понятия статистики
(генеральная совокупность,
выборка, репрезентативность
2) выборки, способы задания
выборки).
Числовые характеристики
выборки (выборочная средняя,
мода, медиана, дисперсия,
среднее квадратичное
отклонение). Первичная
обработка опытных данных при
изучении случайных величин.
ИТОГО:
2/2
-
-
2
5
36/8
12
10
14
36
12/0
1
-
1
8
4
-
8
60
9. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
Роль математики в современном мире. Математизация гуманитарных
наук и её причины. Особенности обработки информации с помощью
математических методов.
Математические модели как средство работы с информацией. Основные
средства представления информации в математике в виде формул, таблиц,
графиков, диаграмм. Систематизация информации с помощью таблиц. Виды
таблиц и способы их построения.
Графики и диаграммы, их виды и способы построения. Примеры
построения графиков и диаграмм на основе анализа информации. Способы
чтения графиков и диаграмм.
Уравнения и неравенства как математические модели, интерпретация их
решений.
Использование элементов логики при работе с информацией. Элементы
логики. Высказывания, операции над ними. Основные законы логики.
Одноместные предикаты. Запись умозаключений с помощью логических
формул.
Элементы комбинаторики как средство обработки и интерпретации
информации. Понятие комбинаторной задачи, их виды. Основные формулы
комбинаторики. Решение комбинаторных задач, соответствующих специфике
профессиональной деятельности.
Элементы
теории вероятностей, их
использование при обработке
информации. Классический подход к понятию вероятности случайного события.
Свойства вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Нормальный закон
распределения вероятностей, его свойства. Применение свойств нормального
распределения для обработки информации.
Элементы математической статистики в обработке и интерпретации
информации. Основные понятия статистики. Генеральная совокупность, выборка,
репрезентативность выборки, способы задания выборки (вариационный,
статистический, интервальный ряды распределения).
Основные числовые характеристики выборки (размах, выборочная средняя,
мода, медиана, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент
однородности). Первичная обработка опытных данных при изучении случайных
величин.
Основные статистические графики как способы представления и
интерпретации информации (гистограмма, полигон, кумулянта частот,
частностей), способы их построения.
ТЕМЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
№
п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
Форма самостоятельной
работы
Введение. Роль математики в изучение
современном мире.
рекомендованной
литературы, написание
эссе
Обработка информации с
изучение рекомендованпомощью таблиц, способы
ной литературы;
их построения.
подготовка к
Графики и диаграммы, их
лабораторным занятиям
виды и способы построения.
Примеры построения
графиков и диаграмм на
основе анализа информации.
Интерпретация графиков и
диаграмм.
Основные процессы и
составление таблицы
явления, описываемые с
«Графики основных
помощью функций. Графики элементарных
функций и интерпретация
функций»;
результатов обработки
решение уравнений и
информации.
неравенств;
Уравнения и неравенства как подбор примеров
математические модели,
описания функциями
интерпретация их решений.
явлений окружающего
мира (сообщения - ЛБ)
Высказывания. Одноместные повторение
предикаты. Запись
теоретического
умозаключений с помощью
материала;
логических формул.
подготовка к
Дедуктивные и
выполнению ЛБ
недедуктивные
умозаключения.
Количество
часов
(очное/
заочное
отделение)
1/8
Форма контроля
самостоятельной
работы
проверка эссе
5/8
проверка
защита ЛБ работ
5/8
проверка таблицы
защита ЛБ,
оценивание
сообщений на
лабораторной
работе
5/10
защита ЛБ
Решение и составление
комбинаторных задач,
соответствующих специфике
профессиональной
деятельности
Вероятность случайного
события. Дискретные и
непрерывные случайные
величины.
Нормальный закон
распределения вероятностей,
его свойства и их применение
для обработки информации.
Числовые характеристики
выборки и первичная
обработка опытных данных.
Итого
5.
6.
7.
составление
комбинаторных задач;
подбор способов их
решения
5/10
проверка
составленных
задач и способов
их решения
решение задач;
подготовка к ЛБ;
самост. работа (инд. зад.)
5/8
защита ЛБ;
проверка с/р и
инд. заданий.
решение задач;
подготовка
выполнению ЛБ
5/8
защита ЛБ;
к
36/60
Образовательные технологии
Образовательные технологии: Лабораторный блок задач решаемых с использованием ЭВМ и
офисного программного обеспечения (Microsoft Excel). Решение ситуационных задач по
вариантам в рамках лабораторного практического блока. Обсуждение практических вопросов
применения средств и систем математической обработки информации (рефератов и докладов).
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки 050100.62 –
«Педагогическое
образование»
реализация
компетентностного
подхода
должна
предусматривать широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм
проведения в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития
профессиональных навыков обучающихся.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется главной
целью (миссией) программы, особенностью контингента обучающихся и содержанием
конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе они должны составлять не менее 25%
аудиторных занятий (определяется требованиями ФГОС с учетом специфики ООП). Занятия
лекционного типа для соответствующих групп студентов не могут составлять более 40 %
аудиторных занятий (определяется соответствующим ФГОС)).
Интерактивные формы занятий:
№
раздела
(темы)
2.
3.
6.
7.
Формы
Лабораторный блок задач решаемых с использованием ЭВМ и офисного
программного обеспечения (Microsoft Excel). Компьютерная обработка
информации.
Лабораторный блок задач решаемых с использованием ЭВМ и офисного
программного обеспечения (Microsoft Excel). Решение ситуационных задач по
вариантам в рамках лабораторного практического блока.
Лабораторный блок задач решаемых с использованием ЭВМ и офисного
программного обеспечения (Microsoft Excel). Решение ситуационных задач по
вариантам в рамках лабораторного практического блока.
Обсуждение практических вопросов применения средств и систем
математической обработки информации (рефератов и докладов).
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ
Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу (планы
последовательного проведения занятий: ПР, СМ, ЛБ) по предлагаемой схеме:
СЕМИНАР № 1
РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ. ОСОБЕННОСТИ ОБРАБОТКИ
ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ.
1. Информация в современном мире. Её классификация.
2. Базы данных и их виды. Таблицы.
3. Группировка информативных данных. Виды группировок.
Вопросы для коллективного обсуждения:
1. Какова сущность и содержание информации?
2. Классификация информации? Информация как объект исследования.
3. Методы и формы представления информации об объекте исследования.
4. Определите структурные и оценочные аспекты представления информации об объекте
исследования.
5. Какова специфика формализованного представления об объекте исследования?
6. Определите основы выбора модели и формы представления информации.
7. Определите методы группирования информативных данных. Какие виды группировок
применяются в рамках различных предметных областей.
8. Методы структурирования информации и формирования баз и банков данных. Работа с
хранилищами данных.
9. Методы аналитической обработки информации при работе с хранилищами данных.
Гиперкубы.
Задания для самостоятельной работы:
1. Способность модели реагировать на изменение начальных параметров
называется:
а) адекватностью;
б) объективностью;
в) чувствительностью;
г) универсальностью.
2. К математической части исследования относятся следующие этапы:
а) формулировка проблемы, построение математической модели, выбор
вычислительного метода и построение алгоритма решения задачи, внедрение результатов на
практике;
б) построение математической модели, выбор вычислительного метода и построение
алгоритма решения задачи, программирование алгоритма и отладка программы, проверка
качества модели на контрольном примере;
в) выбор вычислительного метода и построение алгоритма решения задачи,
программирование алгоритма и отладка программы, проверка качества модели на контрольном
примере, внедрение результатов на практике;
г) формулировка проблемы, выбор вычислительного метода и построение алгоритма
решения задачи, программирование алгоритма и отладка программы, проверка качества
модели на контрольном примере.
3. Когда принятие решения представляет собой многоэтапный дискретный или
непрерывный во времени процесс, задача называется:
а) статической;
б) динамической;
в) детерминированной;
г) стохастической.
4. При столкновении интересов противоборствующих сторон применяется:
а) принцип минимакса;
б) принцип равновесия по Нэшу;
в) принцип оптимальности по Парето;
г) принцип недоминируемых исходов.
5. Укажите, в каком критерии максимизируется взвешенное среднее между
выигрышами крайнего пессимизма и крайнего оптимизма.
а) критерий Вальда;
б) критерий Сэвиджа;
в) критерий Сильвестра;
г) критерий Гурвица.
6. Укажите, в каком случае функция является непрерывной:
а) зависимость стоимости основных производственных фондов как функция от
прибыли;
б) зависимость курса валюты от политических факторов;
в) зависимость курса валюты от социальных факторов;
г) зависимость курса ценных бумаг от политических факторов.
7. Аксиома, в которой для любого
а) рефлексивности;
б) транзитивности;
в) полноты;
г) симметричности.
справедливо
, называется аксиомой:
8. Укажите, какими свойствами может обладать отношение предпочтения:
а) непрерывности, выпуклости, симметричности;
б) непрерывности, ненасыщаемости, симметричности;
в) непрерывности, выпуклости, ненасыщаемости;
г) непрерывности, ненасыщаемости, выпуклости.
д) ответы в) и г) одинаковые на мой взгляд.
9. Геометрическое место всех векторов затрат x, использование которых приводит
к одному и тому же объему выпуска продукции
а) изоквантой;
б) изопрофитой;
в) изоклиналией;
г) изокостой.
называется
10. Геометрическое место векторов затрат, для которых издержки производства
постоянны:
, называется
а) изоквантой;
б) изопрофитой;
в) изоклиналией;
г) изокостой.
Литература (основная):
1. Математика и информатика. Учебное пособие для студентов педагогических вузов/ Н.Л.
Стефанова, В.Д. Будаев, Е.Ю. Яшина и др. / Под ред. В.Д. Будаева, Н.Л. Стефановой. М.: Высшая школа, 2004
2. Бобонова Е.Н. Математика для гуманитарных специальностей. – Воронеж, 2007.
3. Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для
вузов. Изд. 7-е. – М., 2000.
4. Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев. - М., 2005.
5. Козлов В.Н. Математика и информатика. - СПб., 2004.
6. Мирошникова, О.В. Основы математической обработки информации. Учебник [Текст] /
О.В. Мирошникова, З.А. Филимонова. – М.: Альфа-Пресс, 2010. – 421 с.
7. Славко, Т.И. Математические методы обработки информации: уч. пособие [Текст] / Т.И.
Славко. – М.: Приоритет, 2009. – 126 с.
Литература (дополнительная):
1. Турецкий В.Я. Математика и информатика. - М., 2005.
2. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М., 2006.
3. Математика и информатика. Учебник для студентов гуманитарных факультетов
педагогических вузов / Под ред. В.Л. Будаева, Н.Л. Стефановой. - СПб: Изд-во
РГПУ им. АИ. Герцена. 2ОО1.- С.99-110.
4. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике. Учебное пособие. – М.: Агар,
1999. – С. 135-140.
СЕМИНАР № 2
ОСНОВНЫЕ СРЕДСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ В МАТЕМАТИКЕ
(ФОРМУЛЫ, ТАБЛИЦЫ, ГРАФИКИ, ДИАГРАММЫ)
1. Понятие соответствия и отображения.
2. Числовая функция как отображение числовых множеств.
3. Свойства отображений: сюръективность; инъективность; биективность.
4. Понятие бинарного отношения между элементами двух множеств.
5. Бинарные отношения элементов на множестве.
6. Граф и график бинарного отношения.
Вопросы для коллективного обсуждения:
1) Что такое соответствие между элементами?
2) Дайте определение отображения. Чем это определение отличается от определения
взаимно однозначного соответствия?
3) Какое множество называется областью определения отображения?
4) Как можно задать функцию? Отображение и уровни представления.
5) Приведите пример графа отображения и графа соответствия, не являющегося им.
Изобразите граф инъективного (неинъективного отображения).
Как по графу определить, будет ли отображение инъективным (сюръективным)?
Дайте характеристику свойств отображения множества студентов МГГУ и множества
факультетов МГГУ (инъективность, сюръективность, биективность).
9) Какими способами можно задать бинарное отношение между элементами множеств?
10) Чем отличается граф бинарного отношения от его графика?
6)
7)
8)
Задания для самостоятельной работы:
1. Модели по форме бывают:
а) графические;
б) стационарные;
в) вербальные;
г) каузальные.
2. Энтропия системы возрастает при:
а) полной изоляции системы от окружающей среды;
б) получении системой информации;
в) получении системой материальных ресурсов;
г) внешних управляющих воздействиях на систему.
3. Интегрирующее звено описывается уравнением:
а) y = kx’;
б) y = kx;
в) y’ = kx;
г) Ty’+y = kx’;
4. y = kx’ – это уравнение описывает поведение:
а) безынерционного звена;
б) инерционного звена;
в) колебательного звена;
г) идеального дифференцирующего звена;
5. При построении математической модели возникают следующие проблемы:
а) определение числа параметров модели;
б) определение значений параметров модели;
в) выбор структуры модели;
г) выбор критерия оценки качества модели;
6. Аналитический подход к построению математической модели требует наличия:
а) экспериментальных данных;
б) нестационарности объекта;
в) знаний закономерностей, действующих в системе;
г) стохастичности объекта.
7. В каких случаях целесообразно использовать модель:
а) для отражения планируемых свойств;
б) когда оригинал заведомо дешевле стоимости модели;
в) при недоступности оригинала для испытаний;
г) при необходимости смоделировать поведение системы в длительном периоде;
д) всегда.
8. Выберите классификационные признаки модели:
а) дуальное управление;
б) степень детализации модели;
в) способность самоорганизации;
г) реализация принципа замкнутого управления;
д) деление по функциональным качествам системы.
9. Каково назначение имитационных моделей в математической обработке
информации?
а) служат «заместителем» оригинала;
б) служат для отображения взаимодействия между элементами внутри исследуемого
объекта;
в) описывают в общем виде преобразование информации в системе;
г) наполняются математическим содержанием;
д) обеспечивают выдачу выходного сигнала моделируемой системы, если на ее
взаимодействующие подсистемы поступает входной сигнал.
10. Критериями эффективности в математической обработке информации
называют:
а) количественные критерии, позволяющие оценивать результаты принимаемых
решений;
б) качественные критерии, позволяющие оценивать результаты принимаемых решений;
в) информация о проделанной системой работе;
г) показатели, служащие для оценки работы системы;
д) качественные критерии, позволяющие оценить соответствие модели исследуемому
объекту.
Литература (основная):
1. Грес П.В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос, 2004. – С.80-83.
2. Локоть Н.В. Математика для нематематиков.
Учебное пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ. – Мурманск: МГПУ, 2005. – Ч. I . – С.37-42.
3. Мирошникова, О.В. Основы математической обработки информации. Учебник [Текст] / О.В.
Мирошникова, З.А. Филимонова. – М.: Альфа-Пресс, 2010. – 421 с.
4. Славко, Т.И. Математические методы обработки информации: уч. пособие [Текст] / Т.И.
Славко. – М.: Приоритет, 2009. – 126 с.
Литература (дополнительная):
1. Математика и информатика. Учебник для студентов гуманитарных факультетов
педагогических вузов / Под ред. В.Л. Будаева, Н.Л. Стефановой. - СПб: Изд-во РГПУ им.
АИ. Герцена. 2ОО1.- С.99-110.
2. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике. Учебное пособие. – М.: Агар, 1999. –
С. 135-140.
СЕМИНАР № 3
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КАК СРЕДСТВО РАБОТЫ С ИНФОРМАЦИЕЙ
1. Основные понятия математического моделирования.
2. Подходы к моделированию в математической обработке информации.
3. Этапы математического моделирования.
4. Интерпретация результатов.
Вопросы для коллективного обсуждения:
1) Какие виды математических моделей чаще всего применяются при математической
обработке информации?
2) Укажите порядок разработки математической модели.
3) В чем особенности методологии математической обработки информации?
4) Какие математические модели являются более точными с точки зрения полноты
функционального описания объекта исследования?
5) Примеры математических моделей в различных предметных областях.
Задания для самостоятельной работы:
1. Функция выпуска и функция затрат являются
а) убывающими функциями;
б) взаимно обратными функциями;
в) тождественными функциями;
г) симметричными функциями.

1
2. Функция Y  a K L называется
а) производственной CES-функцией;
б) производственной функцией с фиксированными пропорциями;
в) производственной функцией затрат-выпуска;
г) производственной функцией Кобба-Дугласа.
3. Исходными концепциями модели Вальраса являются:
а) дезагрегированность участников рынка;
б) совершенность конкуренции;
в) общность равновесия;
г) верно все вышеперечисленное.
l
4. Множественнозначная функция D ( p )   Di ( p ) называется
i 1
а) функцией спроса;
б) функцией затрат;
в) функцией выпуска;
г) функцией предложения.
5. Существование конкурентного равновесия доказывается в
а) модели Вальраса;
б) модели Эрроу-Дебре;
в) паутинообразной модели;
г) верно все вышеперчисленное.
6. Устойчивость точек взаимодействия по Нэшу наблюдается в модели
а) Курно;
б) Стакельберга;
в) картеля;
г) монополии.
7. Множество недоминируемых точек называется множеством
а) оптимальности по Парето;
б) оптимальности по Нэшу;
в) доминирующих стратегий;
г) недомнируемых стратегий.
8. Переговорное множество………, чем множество Парето
а) больше;
б) меньше;
в) менее предпочтительно;
г) более предпочтительно.
9. Если технология соответствует производственной функции
y  K  N 1 , функция спроса на труд имеет вид
1
 y *  1
а) N D     ,
 K0 
Где K0 – используемый объем капитала, а y* – эффективный спрос на рынке благ.
dy
 W.;
б) P
dN

в)
1/ 
d
K 
1  
 1   P 0   W  0  N D  K 0 

dN
 w 
 N 
;
г) N   PK 0 N 1  iK 0  WN .
10. Данное уравнение


yF  y
  u  u * является математической формализацией:
y
а) кривой Филлипса;
б) кривой Энгеля;
в) теоремы Хаавельмо;
г) закона Оукена.
Литература (основная):
1. Грес П.В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. - М.: Агар, 2004. – С. 70-79.
2. Локоть Н.В. Математика для нематематиков.
Учебное пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ. – Мурманск: МГПУ, 2005. – Ч. I . – С.54-78.
3. Аматова Г.М., Аматов М.А. Математика. Учебное пособие для факультетов подготовки
бакалавров образования в области начального образования и учителей начальных классов
высших учебных заведений. - М.: МПСИ, 1999. – С.29-63.
4. Мирошникова, О.В. Основы математической обработки информации. Учебник [Текст] / О.В.
Мирошникова, З.А. Филимонова. – М.: Альфа-Пресс, 2010. – 421 с.
5. Славко, Т.И. Математические методы обработки информации: уч. пособие [Текст] / Т.И.
Славко. – М.: Приоритет, 2009. – 126 с.
Литература (дополнительная):
1. Математика и информатика. Учебник для студентов гуманитарных факультетов
педагогических вузов / Под ред. В.Л. Будаева, Н.Л. Стефановой. – СПб: Изд-во РГПУ им.
АИ. Герцена. 2001. - С.3-60.
СЕМИНАР № 4
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛОГИКИ ПРИ РАБОТЕ С ИНФОРМАЦИЕЙ
1. Основные понятия теории высказываний.
2. Операции над высказываниями, их свойства.
3. Понятие логической формулы. Равносильность логических формул и её доказательство.
4. Понятие одноместного предиката, их виды. Операции с предикатами.
5. Кванторы, их виды. Высказывания с кванторами.
6. Дедуктивные и недедуктивные умозаключения. Правила вывода.
Вопросы для коллективного обсуждения:
1) Какая операция при последовательном выполнении выполняется первой, а какая – второй,
если дана запись: A  B  C ?
2) Укажите порядок выполнения операций в формуле: ( A  B)  C  D  K .
3) Любое ли повествовательное предложение является высказыванием? Приведите примеры.
4) Какие высказывания являются простыми, составными? Приведите примеры.
5) Приведите пример высказывания, составленного из трёх простых высказываний.
6) Составьте сумму высказываний A  B , если высказывание A : «студент – отличник»,
« B - «студент активно участвует в НИРС».
7) В условиях предыдущего примера составьте произведение высказываний A  B .
8) Составьте разность высказываний: A : « 15 – нечётное число» и B : «15 5 ».
9) Приведите пример двухместного и одноместного предиката.
10) Назовите область определения и область истинности предиката P( x) : 3 x  (2  x)  5 .
11) Составьте высказывание с квантором из предиката Q( x) : « x - спортсмен». Укажите
область определения и область истинности.
Задания для самостоятельной работы:
1. Отношение верхнего дециля к нижнему называется:
а) децильным коэффициентом;
б) квартильным коэффициентом;
в) коэффициентом фондов;
г) коэффициентом Джинни.
2. Если вместо отношения квартилей берут их разность, то говорят о:
а) интерквартильном расстоянии;
б) межквартильном расстоянии;
в) внутриквартильном расстоянии;
г) суперквартильном расстоянии.
3. Энтропия распределения, представляющего собой функцию Лоренца, это:
а) разложимая мера расслоения Тейла;
б) разложимая мера расслоения Парето;
в) разложимая мера расслоения Йенсена;
г) разложимая мера расслоения Джини.
4. Транспортная задача является частным случаем задачи:
а) линейного программирования;
б) регрессионной;
в) статистической;
г) имитационной;
д) о назначениях.
5. Какое из следующих утверждений является верным?
а) безотходный способ раскроя является рациональным;
б) безотходный способ раскроя может быть рациональным;
в) безотходный способ раскроя не является рациональным;
г) рациональный способ раскроя является безотходным;
д) рациональный способ раскроя не является безотходным.
6. Без математической модели можно обойтись при решении задачи:
а) стабилизации;
б) программного управления;
в) поискового управления;
г) оптимального управления.
7. Математическая модель обязательно необходима при:
а) оптимизации;
б) экстремальном регулировании;
в) оптимальном управлении в динамике;
г) стабилизации.
8. Какой из законов регулирования можно использовать при управлении по
возмущению:
а) позиционный;
б) пропорциональный;
в) дифференциальный;
г) интегральный.
9. Какой из законов регулирования можно использовать при управлении по
отклонению:
а) позиционный;
б) пропорциональный;
в) дифференциальный;
г) интегральный.
10. Какой из законов регулирования можно использовать при управлении по
заданию:
а) позиционный;
б) пропорциональный;
в) дифференциальный;
г) интегральный.
Литература (основная):
1. Грес П.В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос, 2004. – С.103-109.
2. Локоть Н.В. Математика для нематематиков.
Учебное пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ. – Мурманск: МГПУ, 2005. – Ч. II . – С.79-85.
3. Мирошникова, О.В. Основы математической обработки информации. Учебник [Текст] / О.В.
Мирошникова, З.А. Филимонова. – М.: Альфа-Пресс, 2010. – 421 с.
4. Славко, Т.И. Математические методы обработки информации: уч. пособие [Текст] / Т.И.
Славко. – М.: Приоритет, 2009. – 126 с.
Литература (дополнительная):
1. Математика и информатика. Учебник для студентов гуманитарных факультетов
педагогических вузов / Под ред. В.Л. Будаева, Н.Л. Стефановой. - СПб: Изд-во РГПУ им.
АИ. Герцена. 2ОО1.- С.189-200.
2. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике. Учебное пособие. – М.: Агар, 1999. –
С. 179-197.
СЕМИНАР № 5
ЭЛЕМЕНТЫ
КОМБИНАТОРИКИ
ИНТЕРПРЕТАЦИИ ИНФОРМАЦИИ
КАК
СРЕДСТВО
ОБРАБОТКИ
И
1. Понятие кортежа. Кортежи и множества. Равенство кортежей. Множества и кортежи.
2. Основные правила комбинаторики.
3. Комбинаторные соединения, их виды. Факториал.
4. Размещения из m элементов по k элементов без повторений и с повторениями.
5. Перестановки из m элементов без повторений и с повторениями, примеры.
6. Сочетания из m элементов по k элементов без повторений и с повторениями.
7. Бином Ньютона, его применение в математике.
Вопросы для коллективного обсуждения:
1) Какое событие называется элементарным?
2) Какие события будут элементарными?
4) Приведите примеры невозможного случайного события.
5) Можно ли складывать вероятности событий? Для каких событий?
8) Что такое схема случаев? Приведите примеры множества событий, а) образующих схему
случаев, б) не образующих схему случаев.
Задания для самостоятельной работы:
1. Стратегия игрока называется чистой, если выбор игрока:
а) чередуется от партии к партии;
б) повторяется с определенной периодичностью;
в) неизменен от партии к партии;
г) среди указанных ответов нет верного.
2. Анализ возможных правил принятия решений в группах был проведен:
а) Моргенштерном;
б) Нэшем;
в) Понтрягиным;
г) Эрроу.
3. Дифференцирующее звено нулевого порядка, выход которого пропорционален
скорости входа, называется:
а) мультипликатором;
б) инерционным звеном;
в) акселератором;
г) коэффициентом Тобина.
4. Ответная (выходная) реакция динамического звена на импульсное входное
воздействие в форме функции Дирака (t) называется:
а) импульсной характеристикой;
б) колебательным звеном;
в) частотной характеристикой;
г) передаточной функцией.
5. Если в модели выход мультипликатора добавляется к входному воздействию, то
имеет место:
а) отрицательная прямая связь;
б) положительная прямая связь:
в) положительная обратная связь;
г) отрицательная обратная связь.
6. В модели Лайдлера для отображения динамики экономических параметров
используются:
а) линейные функции;
б) показательные функции;
в) степенные функции;
г) гиперболические функции.
7. В модели взаимодействия мультипликатора и акселератора конъюнктурные
колебания в экономике возникают
а) вследствие экзогенного импульса;
б) вследствие изменения величины автономного спроса;
в) вследствие изменения количества денег;
г) верно все вышеперечисленное.
8. Формулировка анализа выгоды гласит, что:
а) при принятии долгосрочного решения следует сравнить приведённые затраты с
предполагаемой выгодой. если последняя (выгода) больше, чем первая (затраты), то решение
следует принять;
б) при принятии краткосрочного решения следует сравнить приведённые затраты с
предполагаемой выгодой. если последняя (выгода) больше, чем первая (затраты), то решение
следует принять;
в) при принятии долгосрочного решения следует сравнить приведённые затраты с
предполагаемой выгодой. если последняя (выгода) меньше, чем первая (затраты), то решение
следует принять;
г) при принятии краткосрочного решения следует сравнить приведённые затраты с
предполагаемой выгодой. если последняя (выгода) меньше, чем первая (затраты), то решение
следует принять.
9. Если кривая распределения F(w) имеет непрерывную производную, то кривая
Лоренца, заданная в параметрическом виде (x=F(w), y(w)=L(w)):
а) выпукла вверх;
б) выпукла вниз;
в) не касается осей координат;
г) параллельна оси ординат.
10. Коэффициент Джини определяется как
а) отношение площади между диагональю единичного квадрата и кривой Лоренца к
площади единичного квадрата;
б) отношение площади между диагональю единичного квадрата и кривой Лоренца к
половине площади единичного квадрата;
в) отношение площади между диагональю единичного квадрата и кривой Лоренца к
удвоенной площади единичного квадрата.
г) отношение площади между диагональю единичного квадрата и кривой Лоренца к
одной четверти площади единичного квадрата;
Литература (основная):
1. Грес П.В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос, 2004. – С.103-109.
2. Локоть Н.В. Математика для нематематиков.
Учебное пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ. – Мурманск: МГПУ, 2005. – Ч. II . – С.79-85.
3. Мирошникова, О.В. Основы математической обработки информации. Учебник [Текст] / О.В.
Мирошникова, З.А. Филимонова. – М.: Альфа-Пресс, 2010. – 421 с.
4. Славко, Т.И. Математические методы обработки информации: уч. пособие [Текст] / Т.И.
Славко. – М.: Приоритет, 2009. – 126 с.
Литература (дополнительная):
1. Математика и информатика. Учебник для студентов гуманитарных факультетов
педагогических вузов / Под ред. В.Л. Будаева, Н.Л. Стефановой. - СПб: Изд-во РГПУ им.
АИ. Герцена. 2ОО1.- С.189-200.
2. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике. Учебное пособие. – М.: Агар, 1999. –
С. 179-197.
Лабораторная работа № 1

Тема: Группировка данных и табулирование.
 Задания:
1. На выборке испытуемых измерен некоторый признак X.
1) Записать оценки в виде интервального ряда, выбрав необходимое количество классов.
2) Выделить 3 уровня овладения признаком (низкий, средний, высокий).
3) Построить
 гистограмму частностей распределения признака;
 полигон распределения частностей;
 кумулянту распределения частот.
2. Построить круговую диаграмму (в %) по данным оценкам величины. Охарактеризовать
структурные изменения величины.
Вариант 1
1) X: 23; 62; 49; 52; 25; 60; 28; 34; 49; 50; 34; 50; 33; 30; 51; 30; 52; 31; 45; 30;
55; 54; 55; 49; 42; 44; 54; 45; 48; 46; 42; 43; 47; 47; 43; 44; 41; 52; 33; 22.
2)
Оценки за контрольную работу 5 4 3 2
Количество студентов
6 10 6 3
Вариант 2
X:
53; 62; 49; 52; 55; 60; 68; 54; 69; 70; 54; 70; 53; 50; 71; 52; 72; 51; 65; 60;
65; 74; 75; 69; 62; 64; 74; 75; 78; 64; 62; 63; 67; 77; 73; 54; 51; 65; 53; 80.
2)
Распределение токарей по разрядам 1 2 3 4 5
Количество студентов
3 7 5 3 2
Вариант 3
X: 123; 160; 149; 152; 125; 160; 128; 134; 149; 150; 134; 150; 133; 130; 151; 130; 152; 131; 145; 130;
155; 154; 155; 149; 142; 144; 154; 145; 148; 146; 142; 143; 147; 147; 143; 144; 141; 152; 133; 120.
2)
Тестовые оценки
0-5 6-10 11-15 15-20
Количество учащихся 5
8
9
3
Вариант 4
X: 13; 50; 39; 42; 15; 50; 18; 24; 39; 40; 24; 40; 23; 20; 41; 20; 42; 21; 35; 20;
45; 44; 45; 39; 32; 30; 34; 35; 48; 36; 32; 33; 37; 37; 33; 34; 31; 42; 23; 20.
2)
Месяцы
Янв. Фев. Март Апр. Май
Выпуск продукции , шт. 20
40
60
70
60
Вариант 5
X: 21; 59; 48; 51; 24; 59; 27; 24; 48; 50; 24; 50; 32; 30; 51; 3; 51; 30; 44; 31;
54; 53; 54; 48; 41; 40; 43; 44; 57; 46; 41; 32; 46; 47; 50; 43; 40; 52; 32; 28.
2)
Дни недели
пон вт ср чт пят
Количество бракованных деталей 8
5 3 1 3
Вариант 6
X: 21; 60; 47; 50; 22; 58; 26; 33; 47; 48; 32; 50; 31; 28; 49; 30; 50; 29; 43; 30;
52; 52; 53; 47; 40; 42; 52; 42; 46; 44; 40; 41; 45; 45; 41; 42; 39; 50; 31; 20.
2)
Оценки за контрольную работу 5 4 3 2 не яв.
Количество студентов
5 10 6 3 1
Вариант 7
X: 33; 70; 59; 62; 35; 70; 38; 44; 59; 60; 44; 60; 43; 40; 61; 40; 62; 41; 55; 40;
65; 64; 65; 59; 52; 50; 54; 55; 68; 56; 52; 43; 57; 57; 53; 54; 51; 62; 43; 30.
2)
Распределение токарей по разрядам 1 2 3 4 5
Количество студентов
3 7 5 3 2
Вариант 8
X:
58; 67; 59; 57; 60; 65; 73; 59; 72; 75; 59; 74; 58; 55; 75; 57; 75; 56; 70; 65;
65; 77; 70; 65; 67; 69; 70; 70; 72; 66; 62; 61; 62; 70; 77; 59; 56; 59; 58; 51.
2)
Тестовые оценки
0-5 6-10 11-15 15-20 20-25
Количество учащихся 5
8
9
2
1
Вариант 9
X: 24; 61; 50; 53; 26; 60; 28; 34; 49; 50; 35; 50; 34; 30; 51; 30; 52; 31; 45; 30;
56; 55; 55; 49; 42; 45; 55; 45; 49; 48; 43; 43; 47; 47; 43; 45; 41; 52; 33; 28.
2)
Месяцы IV квартала Сент.. Окт. Нояб. Дек.
Выпуск продукции , т 60
70
70
50
Вариант 10
X: 35; 52; 61; 64; 37; 70; 38; 46; 59; 60; 44; 60; 43; 40; 63; 42; 64; 43; 55; 20;
65; 64; 65; 59; 55; 50; 54; 56; 69; 56; 54; 55; 59; 58; 33; 37; 51; 32; 43; 40.
2)
Дни недели
пон вт ср чт пят
Количество бракованных деталей 9
5 6 2
3
Лабораторная работа № 2

Тема: Математические модели как средство работы с информацией
 Задания:
1. Исследовать функцию
Варианты :
f ( x) на непрерывность и построить её график.
 x  4, x  1
 2
1. f ( x)   x  2, 1  x  1;
 2 x, x  1

 x  2, x  1
 2
2. f ( x)   x  1, 1  x  1;
  x  3, x  1

  x, x  0

2
3. f ( x)   ( x  1) , 0  x  2 ;
 x  3, x  2

 cos x, x  0
 2
4. f ( x)   x  1, 0  x  1;
 x, x  1

 x, x  0
 2
5. f ( x)   x , 0  x  2 ;
 x  1, x  2

  x, x  0

6. f ( x)  sin x, 0  x  
 x  2, x  

 ( x  1), x  1

2
7. f ( x)  ( x  1) , 1  x  0 ;
 x, x  0

2 x, x  0
 2
9. f ( x)   x  1, 0  x  1 ;
 2, x  1

8.

 x2 , x  0



f ( x)   tg x, 0  x  ;
4



 2, x  4
 2 x, x  0

10. f ( x)   x , 0  x  4 .
 1, x  4

f : X  Y . Построить граф соответствия. Является ли оно
2. Дано соответствие
отображением? Если - нет, то почему, если - да, то каким (сюръективным, инъективным,
биективным)?
Варианты :
1. X  {x | x  ;| x | 3}, Y  {1;0;2;1;4;9} , f : квадрат x  X равен y  Y .
2. X  {x | x  ; 4  x  5}, Y  { y | y  ; y  (1,5; 1]}, f : x  X больше y  Y .
3. X  {x | x  ;2  x  7}, Y  {1;0;7;8;9}, f : x  X делится нацело на y  Y .
4. X  {x | x  ;| x | 4}, Y  {4; 5;5}, f : x  X меньше y  Y .
5. X  {x | x 
6. X  {x | x 
7. X  {x | x 
8. X  {x | x 
9. X  {x | x 
10. X  {x | x 
; 2  x  5}, Y  {2; 1;0;2;1;3}, f : x  X на 1 больше y  Y .
;| x | 4}, Y  {0;5;1;6;8} , f : x  X кратно y  Y .
; 5  x  4}, Y  {0;2;3;4;5;6}, f : x  y  1, y  Y .
;1  x  5}, Y  {2;0;5;1;6}, f : x  X делится нацело на y  Y .
;| x | 2}, Y  {8; 4; 1;0;2;1;4;8} , f : куб x  X равен y  Y .
;| x | 4}, Y  {1;0;1;2} , f : x  X на 2 больше y  Y .
3. Изобразить область на плоскости, заданную неравенствами:
Варианты:
x  1, 2  y  x 2  1 ;
1.
2.
y  2, x  y  1 ;
3.
x  2, y  x  1 ;
4.
x  4, 3  y  x 2  1 ;
5.
x 2  y 2  4, x  1 ;
6.
x  y  1, x  y  1;
7.
x  1, x  y  3 ;
8.
x  y  1, 2  x  3 ;
9.
x  1, 4  y   x 2 ;
10.
2
2
x  y  1, y  x  2 .
Лабораторная работа № 3

Тема: Использование элементов логики при работе с информацией.
 Задания:
1. Проверить истинность логических законов:
Варианты:
1.
3.
5.
7.
p  ( q  r )  ( p  q)  ( p  r ) ;
p  ( q  r )  ( p  q)  r ;
p  ( q  r )  ( p  q)  ( p  r ) ;
p  q  pq;
pq  pq;
4. p  q  ( p  q)  (q  p) ;
6. p  (q  r )  ( p  q)  r ;
8. A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) ;
2.
9. A  B  A  B ;
10. A  B  ( A  B)  ( A  B) .
2. . Построить отрицание высказывания с квантором и указать, какое из них истинно, а какое –
ложно.
Варианты:

3.  x 
5.  x 
7.  x 
9.  x 
1. x 
 x 5 ;
  x2  2 ;
 x  1 ;
 x  0  1 ;
  x2  7  ;
x 
4.  x 
6.  x 
8.  x 
10.  x 
2.
 x  3 ;
 x  5 ;
  x 2  1 ;
 x 2 ;
  x2  5 .
3. Дана теорема. Сформулировать
обратную теорему, противоположную, обратную
противоположной. Указать истинность каждой теоремы.
Варианты:
1. Если число делится на 10 и на 4, то оно делится на 40.
2. Если треугольник равнобедренный, то высота, опущенная на основание, делит его пополам.
3. Если число делится нацело на 3. то сумма его цифр делится нацело на 3.
4. Если в прямоугольнике две смежные стороны равны, то он – квадрат.
5. Если две последние цифры в записи числа делятся нацело на 4, то и число делится нацело на 4.
6. Если сумма двух углов треугольника равна 90 , т о треугольник - прямоугольный.
7. Если чётное число делится нацело на 5, то оно делится нацело на 10.
8. Если произведение двух чисел – чётное число, то хотя бы один из сомножителей – чётное
число.
9. Если треугольник равносторонний, то в нём есть два угла, равные 60 .
10. Если сумма двух натуральных чисел a  b c , то каждое слагаемое делится нацело на c .
4. Упростить логическую формулу.
Варианты:
1. B  ( A  B )  ( A  B )  ?
2. ( p  q )  ( q  p )  ? ;
p  q  ( p  q)  p  ? ;
3. ( A  B  C )  ( B  A )  B  ? ;
4.
5. A  B  A  B  ? ;
6. ( p  q )  p  q  ? ;
7. p  q  p  r  q  r  q  r  ? ;
9. A  B  B  A  ? ;
8. ( p  r )  (q  r )  ? ;
10. ( A  B )  ( A  B )  ?
Лабораторная работа № 4

Тема: Дедуктивные и недедуктивные умозаключения..
 Задания:
1. Дано умозаключение. Выбрать правильные варианты ответов, сделать геометрическую
интерпретацию выбора ответа.
Варианты:
1. Сердце красавицы склонно к измене. Сердце Эльзы не склонно к измене.
Ответы: а) Эльза – красавица; б) Эльза – не красавица.
2. Любители «Вискас» не любят валерьянку. Кошка Мурка любит валерьянку.
Ответы: а) кошка Мурка не любит «Вискас»; б) все кошки любят «Вискас».
3. Все люди умеют плакать. Есть богатые люди
Ответы:
а) все богатые умеют плакать; б) богатые тоже плачут.
4. Принцессы не могут спать на горошине. Некоторые студентки могут спать на горошине.
Ответы: а) все студентки – не принцессы; б) не все студентки - принцессы.
5. Все звёзды не являются плотными телами. Пульсары – плотные тела.
Ответы: а) пульсары – звёзды; б) пульсары – не звёзды.
6. Студенты – не профессора. Среди отдыхающих на Кипре есть студенты.
Ответы: а) на Кипре отдыхают только студенты;
б) на Кипре отдыхают не только
профессора.
7. Здравый смысл всегда может подвести человека. Логика никогда не подводит.
Ответы: а) логика и здравый смысл – разные вещи; б) логика – это здравый смысл.
8. Собаки бывают кусачими. Все собаки – друзья человека.
Ответы: а) некоторые друзья человека - кусачие; б) не все друзья человека – кусачие.
9. Все поэты непрактичны. Некоторые люди практичны.
Ответы: а) все люди – не поэты; б) некоторые люди – не поэты.
10. Балерины не едят сладкого. Некоторые сладкоежки умеют танцевать.
Ответы: а) некоторые балерины не танцуют; б) не все, кто танцует, - балерины.
2. Дано умозаключение. Записать его в логических символах. Дедуктивно ли оно? Если да, то, по
какому закону построено? Сделать геометрическую интерпретацию, указав области истинности
посылок и заключения.
Варианты:
1. Одушевлённые имена существительные отвечают на вопрос «кто?». Существительное
«дом» не отвечает на вопрос «кто?», следовательно, оно не является одушевлённым.
2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность. Через точки
А, В, С можно провести окружность. Следовательно, точки А, В, С не лежат на одной
прямой.
3. Все студенты, сдавшие экзамен « на отлично», получили повышенную стипендию. Я не сдал
экзамены «на отлично», следовательно, я не могу получать повышенную стипендию.
4. У каждой кошки 4 лапы. Все кошки – млекопитающиеся животные. Следовательно, все
млекопитающиеся имеют 4 лапы.
5. Все участники ансамбля – студенты МГПУ. Иванов – студент МГПУ, следовательно,
Иванов – участник ансамбля.
6. Если двузначное число записано одинаковыми цифрами, то оно делится нацело на 11.
Двузначное число a делится нацело на 11, следовательно, оно записано одинаковыми цифрами.
7. Все квадраты являются ромбами. В любом квадрате диагонали равны. Следовательно, в
любом ромбе диагонали равны.
8. Все сотрудники нашей лаборатории принимают участие в конференции. Сидоров участвует
в работе конференции, следовательно. Сидоров – наш сотрудник.
9. Все трёхзначные числа, оканчивающиеся на 16, делятся на 4. Трёхзначное число делится
нацело на 4, значит, оно оканчивается на 16.
10. Все натуральные числа являются положительными. Положительные числа откладывают
на правой полуоси. Значит, натуральные числа откладываются на правой полуоси.
Лабораторная работа № 5

Тема: Элементы
информации

Задания:
теории вероятностей, их
использование при обработке
1. Найти вероятности указанных событий.
Варианты:
1. На четырёх карточках написаны буквы о, т, к, р . Карточки перевернули и перемешали.
Затем открыли наугад последовательно одну за другой эти карточки и положили их в ряд.
Какова вероятность, что получится слово « крот »?
2. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности
идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре
цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. Какова вероятность, что абонент
набрал верный номер?
3. Взяли четыре карточки. На первой написали букву о , на второй - т , на третьей - с , а на
четвёртой - п . Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад одну карточку за
другой и положили рядом. Какова вероятность того, что в результате получится слово
« стоп » или слово « пост »?
4. На каждой из двух карточек написана цифра 1, а на третьей – цифра 2. Эти три карточки
перемешиваются и случайным образом выкладываются в ряд. Какова вероятность, что
образовалось число: 1) 112; 2) 121?
5. Чтобы открыть сейф, надо набрать в определённой последовательности пять цифр (без их
повторения): 1, 2, 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что если набирать цифры в произвольном
порядке, то сейф откроется?
6. Четыре одинаковых шара пронумерованы числами 1, 2, 3, 4 и сложены в ящик. Случайным
образом из ящика извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что шара были
извлечены в последовательности: 1) 4, 2, 1, 3; 2) 4, 3, 2, 1?
7. На трёх карточках написаны цифры 1, 2 и 3 (на каждой карточке по одной цифре).
Случайным образом из этого набора выбирают последовательно по одной карточке и кладут в
ряд, образуя трёхзначное число. Какова вероятность того, что образуется число: 1) 321; 2)
231?
8. На карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4. Карточки перевернули и перемешали. Затем
открыли наугад последовательно одну за другой эти (опечатка: три) карточки, расположив их
в ряд слева направо. Какова вероятность того, что в результате получилось:
а) число 123;
б) число 312 или 321; в) число, первая цифра которого 2?
9. На каждой карточке написана одна из букв о, п, р, с, т . Несколько карточек наугад
выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность того, что при выкладывании:
а) 3 карточек получится слово « рот »;
б) 4 карточек получится слово « сорт »;
в) 5 карточек получится слово « спорт »?
10. В клетки квадратной таблицы 2  2 произвольно ставят крестики и нолики. Найдите
вероятность того, что: а) будет поставлен ровно один крестик; б) будут поставлены ровно
два нолика; в) в левой нижней клетке будет стоять крестик;
г) в верхней левой и нижней
правой клетках будут разные значки.
2. Определить вероятности случайных событий (комбинаторный подход).
Варианты:
1. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 клетку. Из пачки наугад
берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?
2. В ящике находится 10 деталей, одна из которых нестандартная. Наугад берут две детали.
Какова вероятность того, что обе детали окажутся стандартными?
3. Четыре билета на ёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками.
Какова вероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?
4. В коробке лежат 8 красных карандашей и 4 синих. Из коробки наугад вынимают 5
карандашей. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся красными, а 2 – синими?
5. На полке стоят 12 книг, из которых 4 – это учебники. С полки наугад снимают 6 книг.
Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?
6. В ящике лежат 6 красных шаров и 4 зелёных. Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность
того, что два шара из них окажутся красными, а один – зелёный?
7. В вазе 11 гвоздик, из которых 4 – красные. В темноте наугад вынимают три гвоздики.
Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет красной?
8. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, из которых какие-то 4 заперты. Вы выбираете
две двери. Найдите вероятность того, что хотя бы через одну дверь можно выйти из зала?
9. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, из которых какие-то 5 заперты. Вы выбираете
две двери. Найдите вероятность того, что через одну из этих дверей можно выйти из зала, но
через другую вернуться уже нельзя.
10. В ящике находятся 4 белых и 6 чёрных шаров. Наугад вынимают три шара. Какова
вероятность того, что среди них ровно 2 белых шара?
3. Дана случайная величина Х.
Найти закон распределения случайной
величины X, ее характеристики: М(Х), D(X), F(X) и построить график F(X).
Варианты:
1) Имеется 5 ключей, из которых только один открывает замок. X - число проб при
открывании замка при условии, что испробованный ключ в последующих пробах
не участвует.
2) Вероятности попадания в цель при одном выстреле для трех стрелков равны соответственно
0,9; 0,7; 0,6. Каждый стрелок произвел по одному выстрелу. X - число попаданий в цель при
этом событии.
3) В соревнованиях участвуют три спортсмена. Вероятности выигрыша для них равны
соответственно 0.4; 0,7; 0,8. X - число выигравших спортсменов.
4) Игральная кость бросается четыре раза. X - число появлений числа очков, кратного трем.
5) Монета бросается до появления герба, но не более четырех раз. X -число бросков монеты.
6) Из урны, в которой 5 белых и 3 чёрных шара, извлекают сразу 4 шара. X - число чёрных
шаров в выборке.
7) Стрелок имеет 4 патрона и стреляет в цель до первого попадания. Вероятность попадания
при каждом выстреле равна 0,8. X - число использованных патронов.
8) Буквы слова «огород» рассыпаны в беспорядке. Из них наудачу сразу выбирают 4
буквы. X - число букв «о» в выборке.
9) В урне находятся 3 белых и 2чёрных шара. Шары извлекают по одному до появления
чёрного шара. X – число появления белых шаров.
10) Один стрелок стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более
четырех выстрелов. Вероятность попадания в цель при од ном выстреле равна 0,7. X число выстрелов.
Лабораторная работа № 6

Тема: Условные вероятности случайных событий. Байесовский подход к
переоценке гипотез. Схема Бернулли..
 Задание:
Решить задачи, выбрав самостоятельно способ решения.
Вариант 1.
1) Имеется две урны. В первой - 6 белых и 3 черных шара, во второй -7 белых и 2 черных. Из
первой урны во вторую перекладывают 1 шар. После этого из второй урны наугад
выбирают еще один шар. Какова вероятность, что он - черный?
2) Решить предыдущую задачу при условии, что вынутый из второй урны шар оказался
белым. Найти вероятность, что из первой урны во вторую переложили черный шар.
3) Вероятность того, что зерно не взойдет, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 20 зерен
не взойдет ровно три.
Вариант 2.
1) В урне 7 белых и 3 чёрных шар. Наугад извлекают по одному два шара. Найти вероятность
того, что второй шар – чёрный.
2) Решить предыдущую задачу при условии, что второй вынутый шар был чёрным. Найти
вероятность того, что первый шар был белым?
3) Найти вероятность того, что событие произойдёт не менее 3 раз в 5 независимых
испытаниях. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,8.
Вариант 3.
1) В урне лежит шар неизвестного цвета с равной вероятностью: белый или чёрный. В урну
опускают белый шар, затем после перемешивания извлекают один шар. Найти вероятность
того, что он - белый?
2) Решить предыдущую задачу при условии, что вынутый из урны шар оказался белым.
Найти вероятность того, что в урне остался черный шар.
3) Вероятность отказа прибора при испытании равна 0,2. Испытано 10 приборов. Найти
вероятность того, что отказал, как минимум, один прибор.
Вариант 4.
1) В пирамиде 5 винтовок, 3 из них с оптическим прицелом. Вероятность поражения цели из
винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, без такового - 0,7. Найти вероятность того, что
цель поражена из наугад выбранной винтовки.
2) Решить предыдущую задачу при условии, что цель поражена из наугад выбранной
винтовки. Найти вероятность того, что эта винтовка без оптиче ского прицела.
3) Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,01. Какова вероятность того, что из
50 билетов выиграют ровно три.
Вариант 5.
1) В ящике 12 деталей, изготовленных заводом № 1, 20 – заводом № 2 и 18 – заводом № 3.
Вероятности того, что деталь отличного качества при условии, что она изготовлена заводом №
1, № 2, № 3, соответственно равны 0,9, 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что наугад
выбранная деталь – отличного качества.
2) Решить предыдущую задачу при условии, что наугад выбранная деталь оказалась отличного
качества. Какова вероятность, что она изготовлена заводом № 2?
3) Найти вероятность того, что событие А появится не менее 4 раз в 5 независимых
испытаниях, если вероятность появления события в каждом из испытаний равна 0,7.
Вариант 6.
1) В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания в цель из которых соответственно равны
0,5; 0.6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность попадания в цель из наугад выбранного
ружья.
2) Решить предыдущую задачу при условии, что цель поражена. Найти вероятность того, что
выстрел был произведен из винтовки N 4.
3) Купили 50 экземпляров учебника. Вероятность того, что учебник сброшюрован
неправильно, равна 0,01. Найти вероятность того, что в купленной партии содержится ровно 1
бракованный учебник.
Вариант 7.
1) Имеется три партии деталей, по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в
первой, второй и третьей партиях равно со ответственно 20, 15, 10. Найти вероятность
того, что наугад извлеченная деталь окажется стандартной.
2) Решить предыдущую задачу при условии, что наугад извлеченная деталь оказалась
стандартной. Найти вероятность того, что она извлечена из первой партии.
3) В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны берут шар, а затем кладут в урну обратно.
Какова вероятность того, что в восьми таких испытаниях будет извлечено ровно три
белых шара?
Вариант 8.
1) Число грузовых машин относится к числу легковых машин как 3:2. Вероятность того, что
будет заправляться грузовая машина, равна 0,1, а легковая - вероятность 0,2. Найти
вероятность того, что наугад выбранная машина будет заправляться.
2) Решить предыдущую задачу при условии» что наугад выбранная машина будет
заправляться. Найти вероятность того, что она легковая.
3) Аппаратура состоит из 20 элементов, каждый из которых выходит из строя с вероятностью
0,05. Найти вероятность того, что откажет ровно 2 элемента.
Вариант 9.
1) В двух урнах находится по 4 черных и по б белых шаров. Из первой урны во вторую
перекладывают шар, после чего из второй урны вынимают один шар. Найти
вероятность того, что он черный.
2) Решить предыдущую задачу при условии, что извлеченный из второй урны шар - черный.
Найти вероятность того, что из первой урны во вторую переложили белый шар.
3) С завода было перевезено 30 сервизов. Вероятность того, что при перевозке сервиз будет
повреждён, равна 0,02. Какова вероятность того, что при перевозке будет повреждено 3
сервиза?
Вариант 10.
1) Имеется две партии деталей, по 10 и 12 штук, причем в каждой партии по одному
бракованному изделию. Из первой партии во вторую переложено одно изделие.
После чего из второй партии наугад извлечена деталь. Найти вероятность того, что
извлеченная деталь окажется бракованной.
2) Решить предыдущую задачу при условии, что извлеченная из второй партии деталь
оказалась бракованной. Найти вероятность того, что из первой партии во вторую
переложили бракованную деталь.
3) Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа
каждого из них в одном испытании равна 0,1. Какова вероятность отказа не более двух
элементов.
Лабораторная работа № 7

Тема: Элементы математической статистики в обработке и интерпретации
информации
 Задания:
1. На выборке испытуемых измерен некоторый признак X.
1) Найти интервал значений выборки, среднее арифметическое, размах, дисперсию, среднее
квадратическое, коэффициент вариации, оценить выборку на однородность.
2) Найти интервал наиболее вероятных значений выборки и проверить, попадает ли в него 60
% всех значений выборки.
Варианты:
1. Х: 17, 12, 18, 13, 13, 15, 17, 15;
3. Х: 32, 38, 36, 38, 40, 38, 26, 32;
5. Х: 62, 69, 65, 63, 62, 66, 70, 65;
7. Х: 20, 32, 21, 23, 21, 22, 30, 31;
9. Х: 16, 18, 26, 28, 20, 19, 16, 22, 15;
2.
3.
6.
8.
10.
Х:
Х:
Х:
Х:
Х:
23, 23, 19, 24, 27, 25, 19 .
52, 49, 55, 54, 52, 56, 60, 54;
47, 42, 48, 43, 43, 45, 47, 45;
63, 63, 59, 64, 67, 65, 59 .
40, 37, 35, 34, 30, 36, 42, 34.
2. Оценки признака записаны в виде интервального ряда. Найти среднее арифметическое, моду,
медиану. Сделать анализ данных.
Вариант№1
Интервалы
[20 – 27)
[27 – 34)
[34 – 51)
[51 – 58)
[58 – 65)
[65 – 72)
Частоты
5
18
25
35
17
10
Вариант № 2.
Интервалы
Частоты
[11 – 17)
11
[17 – 23)
14
[23 –29)
34
[29 – 35)
27
[35 – 41)
10
[41 – 47)
4
Вариант № 3
Интервалы
Частоты
[30 – 38)
9
[38 – 46)
14
[46 – 54)
23
[54 – 62)
37
[62 – 70)
16
[70 – 78)
11
Вариант № 4.
Интервалы
Частоты
[34 – 45)
8
[45 – 56)
14
[56 - 67)
27
[67– 78)
23
[78 – 89)
16
[89 – 100)
12
Вариант № 5
Интервалы
Частоты
[16 – 21)
12
[21 – 26)
8
[26 – 31)
39
[31 – 36)
28
[36 – 41)
8
[41 – 46)
5
Вариант № 6.
Интервалы
Частоты
[25 – 30)
10
[30– 35)
12
[35 – 40)
34
[40 – 45)
26
[45 – 50)
15
[50 – 55)
3
Вариант № 7.
Интервалы
Частоты
[11 – 16)
12
[16 – 21)
14
[21 – 26)
30
[26 – 31)
25
[31 – 36)
16
[36 – 41)
3
Вариант № 8.
Интервалы
Частоты
[34 – 42)
10
[42– 50)
22
[58 – 66)
28
[66– 74)
30
[74 – 82)
17
[82 – 90)
13
Вариант № 9.
Интервалы
Частоты
[17 – 27)
12
[27 – 37)
18
[37– 47)
23
[47– 57)
37
[57– 67)
26
[67 – 77)
14
Вариант № 10.
Интервалы
Частоты
[31 – 38)
8
[38 – 45)
27
[45 – 52)
24
[52 – 58)
36
[58 – 65)
13
[65 – 72)
12
Лабораторная работа № (8)

Тема: Элементы комбинаторики как средство обработки и интерпретации
информации
 Задание:
Решить задачи, самостоятельно определив вид комбинаторного соединения:
Варианты:
1. а) Сколькими способами можно выбрать 3 открытки для поздравления с Новым годом, если
в киоске продается 5 различных видов открыток?
б) Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в
числе 1) не повторяются, 2) могут повторяться.
в) В кафе имеются три первых блюда, пять вторых и два третьих. Сколькими способами
посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из одного первого, второго и третьего
блюда?
2. а) На яхте 12 пассажиров. Нужно выбрать затейника, помощника кока, ответственного за
чистоту и вперёдсмотрящего. Сколькими способами это можно сделать?
б) Сколькими способами можно выбрать 6 пирожков, если имеется 4 вида пирожков?
в) У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных
комбинаций юбок и кофт имеется у Светланы?
3. а) В подгруппе 10 студентов, из них - 6 отличников. По списку наудачу отобрали 5
студентов. Найти вероятность того, что из них 3 отличника.
б) Сколькими способами можно переставить 8 разных учебников на полке?
в) Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из 3 видов. Сколько различных (по
видам овощей) вариантов салатов можно приготовить?
4. а) В магазине 4 вида расписных чашек. Дама хочет купить 6 таких чашек. Сколькими
способами она может это сделать?
б) На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых
точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на
гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?
в) Сколькими способами можно переставить буквы в слове «переделка»?
5. а) В шахматном турнире приняло участие 20 шахматистов. Сколько было всего сыграно
партий, если известно, что каждые двое встречались только один раз?
б) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2?
в) В ларьке продаётся пять видов мороженого (не менее 2 брикетов каждого вида). Оля и
Таня покупают по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки?
6. а) Имеются 3 пары перчаток различного цвета. Сколькими способами можно из них
выбрать две перчатки разного цвета, но так, что одна на правую, а другая на левую
руку?
б) Сколькими способами можно выбрать 5 карандашей, если их всего 4 вида?
в) Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут по одному
мелку. Сколько существует различных вариантов такого выбора двух мелков?
7. а) В турнире по футболу участвует 12 команд. Разыгрываются золотые, серебряные и
бронзовые медали. Сколькими способами они могут быть распределены?
б) Сколько существует способов занять 1-е, 2-е, 3-е места на чемпионате по футболу, в
котором участвуют: 1) 10 команд; 2) 11 команд?
в) Имеется 7 книг, причём две из них одинаковые, а остальные книги отличаются от этих
двух и различны между собой. Сколькими способами можно расставить эти книги на
книжной полке при условии, что одинаковые книги в любой последовательности должны
стоять рядом?
8. а) В бутике 20 фасонов платьев. Сколькими способами можно выбрать 2 платья для дуэта
певиц? (Рассмотреть все возможности).
б) У Вовы на обед – первое, второе, третье блюдо и пирожное. Он обязательно начнёт с
пирожного, а всё остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных
вариантов обеда.
в) Сколькими способами можно из 10 черных и 5 красных шаров выбрать разом три шара
так, чтобы ровно 2 были черными?
9. а) Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из всех цифр?
б) В клетки квадратной таблицы 2  2 произвольно ставят крестики и нолики. Сколькими
способами можно заполнить эту таблицу? В скольких случаях в левой нижней клетке будет
стоять крестик?
в) Сколькими способами может разместиться семья из трёх человек в четырёхместном купе,
если других пассажиров в купе нет?
10. а) Сколько существует трёхзначных чисел, кратных 10, если цифры в числе могут
повторяться?
б) Сколькими способами можно с помощью букв K , L, M , N обозначить вершины
четырёхугольника?
в) Сколькими различными способами можно назначит двоих ребят на дежурство по
столовой, если в классе 24 учащихся?
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Рекомендуемая литература, учебные издания (учебники и учебные пособия):
Основная литература:
1. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем:
учебное пособие [Текст] / Е.В. Бережная. – М.: Финансы и статистика, 2011. – 432 с.
2. Бродецкий, Г.Л. Экономико-матемаические методы и модели в логистике.
Потоки событий и системы обслуживания : учеб. пособие для студ. Вузов [Текст] / Г.Л.
Бродецкий. – М.: Академия, 2009. – 272 с.
3. Замков, О.О. Математические методы в экономике [Текст] / О.О. Замков, А.В.
Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2011. – 221 с.
4. Коробков, П.Н. Математическое программирование и моделирование
экономических процессов [Текст] / П.Н. Коробков. – М.: Приоритет, 2011. – 237 с.
5. Кундышева, Е.С. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие
[Текст] / Е.С. Кундышева. – М.: Проспект, 2009. – 142 с.
6. Лугинин, О.Е. Экономико-математические методы и модели: теория и
практика с решением задач: учеб. пособие [Текст] / О.Е. Лугинин, В.Н. Фомишина. – М.:
Феникс, 2009. – 440 с.
7. Мажукин, В.И. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие
[Текст] / В.И. Мажукин, О.Н. Королева. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 132 с.
8. Орехов, Н.А. Математические методы и модели в экономике [Текст] / Н.А.
Орехов. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2009. – 302 с.
9. Орлова, И.В. Экономико-математическое моделирование [Текст] / И.В. Орлова.
– М.: КНОРУС, 2011. – 224 с.
10. Попов, А.М. Экономико-математические методы и модели. Высшая
математика для экономистов: учебник для бакалавров: [учебник для студ. вузов, обуч. по
спец. экономики и управления] [Текст] / А.М. Повов, В.Н. Сотников - М. : Юрайт, 2011. 479 с.
Дополнительная литература:
1. Гончаров, В.А. Методы оптимизации: учеб. пособие для студ. вузов [Текст] /
В.А. Гончаров. – М.: Юрайт, 2010. – 190 с
2. Иванчук, Н.В. Математика и информатика: математика : учеб.-метод.
пособие для студ. гуманит. факультетов МГПУ [Текст] / Н.В. Иванчук . М-во
образования и науки РФ, Мурм. гос. пед. ун-т. – Мурманск: МГПУ, 2010. –83 с.
3. Красс, М.С. Основы математики в экономическом образовании [Текст] / М.С..
Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Приоритет, 2012. – 343 с.
4. Кузнецов, Б.Т. Математическая экономика [Текст] / Б.Т. Кузнецов. – М.:
Престиж, 2011. – 201 с.
5. Маликов, Р.Ф. Основы математического моделирования. Учебное пособие для
вузов [Текст] / Р.Ф. Маликов. – М.: Приоритет, 2011. – 368 с.
6. Райцин, В.Я. Моделирование социальных процессов [Текст] / В.Я. Райцин. –
М.: ЮНИТИ ДАНА, 2011. – 215 с.
7. Степанов, В.И. Экономико-математическое моделирование [Текст] / В.И.
Степанов, А.Ф. Терпугов. – М.: Академия, 2009. – 119 с.
8. Чураков, Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных
в экономике [Текст] / Е.П. Чураков. – М.: Альфа-Пресс, 2012. – 232 с.
базы
данных,
информационно-справочные
и
поисковые
системы
www.consulting.ru; www.e-commerce.ru; www.intellect-service.ru; www.it.ru; www.olap.ru;
www.osp.ru;
ЭЛЕКТРОННЫЕ БИБЛИОТЕЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ
1. http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9.htm - элементарная математика.
2. http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=14 – функции и их исследование.
3. http://graphfunk.narod.ru/parabola.htm - графики элементарных функций.
4. http://www.math.ru/ - сайт, на котором имеются книги по теории вероятностей.
5. http://window.edu.ru/window - Информационная система «Единое окно доступа к
образовательным ресурсам», в библиотеке которого представлены источники по всем
основным разделам математики.