UMO_5 - (МИИГАиК) - Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)
___________________________________________________________________________
Е.А. Гонжа
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»
ДЛЯ РАЗДЕЛА «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в
области геодезии и фотограмметрии в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению подготовки 120100-Геодезия и дистанционное
зондирование с присвоением квалификации (степени) «бакалавр» и 120401-Прикладная геодезия с
присвоением квалификации (степени) «специалист»
Москва 2013.
2
УДК
Составитель – Е.А. Гонжа.
Редактор – Г.А. Суворченкова.
Методические указания по выполнению тестовых заданий по дисциплине «Математика» для раздела
«Линейная алгебра». – М.: Изд. МИИГАиК, 2013.
Данное учебное пособие написано в соответствии с утвержденными рабочими программами
дисциплины «математика» по направлению подготовки Геодезия и дистанционное зондирование и
направлению Прикладная геодезия, рекомендовано к изданию кафедрой высшей математики
МИИГАиК. В пособии приводятся необходимые теоретические сведения, проводится разбор
типовых тестовых заданий, даются задания для самоконтроля. Текст написан в соответствии с
действующим федеральным государственным стандартом высшего профессионального образования
(ФГОС ВПО). Данное пособие может быть использовано студентами для подготовки к тестированию
по разделу «Линейная алгебра» в том числе к сдаче тестов в режиме «on line».
Библ. – 6 назв.
Рецензенты: к.т.н. О.А. Баюк, Финансовый Университета при правительстве РФ,
к.ф.-м.н. В.А. Попиченко, МИИГАиК.
Московский Государственный Университет геодезии и картографии, 2013
3
1. Матрицы и определители
1.1. Операции над матрицами
В этом разделе рассматриваются линейные операции над матрицами, матричное умножение,
нахождение многочлена от матрицы.
Задание №1. Найти матрицу X из условия: 5A – 3BT + X = 0,
−1
2
−3
2
3
A= (
), B=( 1
3) .
1 −1 −2
2 −3
где
Решение. Из заданного матричного уравнения находим
X = 3BT - 5A .
Матрица BT , транспонированная к матрице
𝑏11
(𝑏21
𝑏31
𝑏12
𝑏22 )
𝑏32
находится следующим образом:
𝑏
BT = ( 11
𝑏12
𝑏21
𝑏22
𝑏31
).
𝑏32
𝑎11
A = (𝑎
𝑎12
𝑎22
𝑎13
𝑎23 )
Произведение числа λ на матрицу
21
есть матрица C такая, что
C = λA = (
λ𝑎11
λ𝑎21
λ𝑎12
λ𝑎22
λ𝑎13
).
λ𝑎23
Тогда матрица X находится следующим образом:
−1 1
2
−3 3
−3
2
3
) - 5(
) = (
2 3 −3
6 9
1 −1 −2
X = 3(
6
−15
) - (
−9
5
Матрица C , равная разности матриц
𝑎11
A = (𝑎
21
находится так:
𝑎12
𝑎22
𝑎13
𝑏11
)
и
B
=
(
𝑎23
𝑏21
𝑏12
𝑏22
𝑏13
)
𝑏23
10
15
).
−5 −10
4
𝑎 − 𝑏11
C = A - B = ( 11
𝑎21 − 𝑏21
𝑎12 − 𝑏12
𝑎22 − 𝑏22
𝑎13 − 𝑏13
).
𝑎23 − 𝑏23
Итак, получаем:
−3 + 15
6−5
3 − 10
9+5
X=(
6 − 15
12
) = (
−9 + 10
1
−7
14
−9
).
1
Задание №2. Найдите матрицу C = AB , если
1 −2
2 0 −1
), B = (1
3) .
3 1
2
2 −1
A= (
Решение. Пусть
𝑎11
A = (𝑎
21
𝑎12
𝑎22
𝑏11
𝑎13
𝑏
)
,
B
=
(
21
𝑎23
𝑏31
𝑏12
𝑏22 ) .
𝑏32
Тогда элементы матрицы C = AB находятся по формулам:
c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 ,
c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 ,
c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 ,
c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 .
Здесь элемент cij понимают как «произведение» i - ой строки матрицы A
матрицы B . Для заданных матриц A и B по этим формулам находим:
на
j - ый столбец
c11 = 2∙1 + 0∙1 + (-1) ∙2 = 0 ,
c12 = 2∙(-2) + 0∙3 + (-1) ∙(-1) = - 3 ,
c21 = 3∙1 + 1∙1 + 2∙2 = 8 ,
c22 = 3∙(-2) + 1∙3 + 2∙(-1) = - 5 .
Итак, получаем
0 −3
C=(
).
8 −5
Задание №3. Найти значение многочлена от матрицы f(A) = 2A2 - 3A + 4E , где E - единичная
матрица,
5
−1 2
).
3 1
A=(
Решение. По определению A2 = A∙A . Размер матрицы E должен совпадать с размером матрицы A,
значит
E=(
1 0
).
0 1
Тогда
−1 2
−1 2
−1
)∙(
) - 3(
3 1
3 1
3
f(A) = 2(
14
=(
0
0
7 −6
21
)+ (
)=(
14
−9
1
−9
Итак, f(A) = (
21
−9
2
1
) + 4(
1
0
1 + 6 −2 + 2
0
−3 6
4 0
) = 2(
)- (
) + (
) =
−3 + 3
6+1
1
9 3
0 4
−6
).
15
−6
).
15
Задания для самоконтроля
1.
Ответ: (
1 −2
2 −3
), B=(
) . Найти 2A – BT
0
3
−1
4
A=(
0 −3
).
3
2
2.
1 2
1 2
A = ( 0 3) , B = (
) . Найти AB.
3 4
−1 4
7
Ответ: ( 9
11
10
12) .
14
−2
3
1
1 −2 −3
3. A = ( 5
)
,
B
=
(
4
0
0 −3
1 ) . Найти AB.
2 −1 −5
4 −4
5
2
Ответ: ( 5
−18
−9
−22
19
14
−11) .
−32
4. Найти значение многочлена от матрицы f(A) = 3A2 + 2A + 5E , где
2
0
A=(
−3
1 0
), E=(
).
4
0 1
6
21
0
−60
).
61
Ответ: (
1.2. Определители
В этом разделе рассматриваются задачи вычисления определителей разложением по его строкам,
столбцам, по правилу треугольников.
Задание №4. Вычисляя определители, решите уравнение
3𝑥
|
2
𝑥
𝑥−1
| = |
3
−1
−1
|.
2
Решение. Определитель 2-го порядка задается равенством:
𝑎11
|𝑎
21
𝑎12
𝑎22 | = 𝑎11 ∙ 𝑎22 - 𝑎12 ∙ 𝑎21 .
Вычисляя определители в данном уравнении, получим:
-3x - 2(x – 1) = 2x + 3 .
Отсюда
-5x + 2 = 2x + 3 .
Тогда x = -
1
7
.
Задание №5. Вычислить определитель ∆ , разлагая его по второй строке:
3
∆ = |𝑎
2
−2 1
𝑏 𝑐| .
−1 0
Решение. Пусть задан определитель 3-го порядка
𝑎11
∆ = |𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 | .
𝑎33
Формула разложения определителя ∆ по 2-ой строке такова:
𝑎12
∆ = (- 1)2+1∙a21∙ | 𝑎
32
𝑎13
𝑎11
2+2
|
+
(1)
∙a
22∙ |
𝑎33
𝑎31
𝑎13
𝑎11
2+3
|
+
(1)
∙a
23∙ |
𝑎33
𝑎31
Тогда
3
|𝑎
2
−2 1
−2 1
3 1
3 −2
| + (- 1)2+2∙ b ∙ |
| + (- 1)2+3∙ c ∙ |
|=
𝑏 𝑐 | = (- 1)2+1∙ a ∙|
−1 0
2 0
2 −1
−1 0
𝑎12
𝑎32 | .
7
= - a (- 2∙0 + 1∙1) + b (3∙0 - 1∙2) – c (- 3 + 2∙2) = - a – 2b – c .
Итак,
3
|𝑎
2
−2 1
𝑏 𝑐 | = - a – 2b – c .
−1 0
Задание №6. Вычислить определитель ∆ , разлагая его по третьему столбцу:
−1 2 𝑎
∆ = |−1 1 𝑏 | .
2 0 𝑐
Решение. Формула разложения определителя ∆ по 3-ему столбцу такова:
𝑎21
∆ = (- 1)1+3∙a13∙ |𝑎
31
𝑎22
𝑎11
2+3
|
+
(1)
∙a
23∙ |
𝑎32
𝑎31
𝑎12
𝑎11
3+3
|
+
(1)
∙a
33∙|
𝑎32
𝑎21
𝑎12
𝑎22 | .
Тогда
−1 2
|−1 1
2 0
𝑎
−1 1
−1 2
−1 2
| + (- 1)2+3∙ b ∙ |
| + (- 1)3+3∙ c ∙ |
|=
𝑏 | = (- 1)1+3∙ a ∙|
2 0
2 0
−1 1
𝑐
= a (- 1∙0 - 2) – b (-1∙0 - 2∙2) + c (- 1 + 2) = - 2a + 4b + c .
Итак,
−1 2
|−1 1
2 0
𝑎
𝑏 | = - 2a + 4b + c .
𝑐
Задание №7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислить определитель:
1 2
|−3 1
4 0
1
0| .
3
Решение. По правилу треугольников
𝑎11
𝑎
| 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 | = (𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 ) – (𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎32 𝑎23 𝑎11) .
𝑎33
Обозначим
∆+ = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31,
∆- = 𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎32 𝑎23 𝑎11 .
8
Величина ∆+ вычисляется относительно главной диагонали определителя, а величина ∆- относительно второй диагонали. Для заданного определителя
∆+ = 1∙1∙3 + 0∙(- 3) ∙1 + 2∙0∙4 = 3 ,
∆- = 4∙1∙1 - 3∙2 ∙3 + 0∙0∙1 = - 14 .
Тогда
1 2
|−3 1
4 0
1
0| = ∆+ - ∆- = 3 – (- 14) = 17 .
3
Задания для самоконтроля
1. Вычислить определитель
1
|
−3
2
|.
−4
Ответ: 2.
2. Вычислить определитель разложением по первой строке:
2 1 3
| 5 3 2| .
1 4 3
Ответ: 40.
3. Вычислить определитель с помощью правила треугольников:
3 2 −1
|−2 2
3| .
4 2 −3
Ответ: - 12.
4. Решить уравнение
2
0
3
|−1
7 𝑥 − 3| = 0 .
5 −3
6
Ответ: x = 5.
1.3. Обратная матрица
В данном разделе рассматриваются задачи существования обратной матрицы, нахождения обратной
матрицы через алгебраические дополнения.
9
Задание №8. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице
𝛼−1
7
𝛼+5
A=( 0
0
0
11
83 ) .
𝛼 − √2
Решение. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля. Имеем (по
правилу треугольников):
𝛼−1
| 0
0
7
11
𝛼+5
83 | = (𝛼 − 1)(𝛼 + 5)(𝛼 − √2) .
0
𝛼 − √2
Полученное выражение отлично от нуля, а тогда матрица A имеет обратную, если
𝛼 ≠ 1 , 𝛼 ≠ −5 , 𝛼 ≠ √2 .
Задание №9. Найти матрицу A-1 , обратную матрице
3 −7
).
5
2
A=(
Решение. Вначале вычислим определитель матрицы A :
3 −7
∆ = |
| = 6 + 35 = 41 ≠ 0 .
5
2
Следовательно, обратная матрица A-1 существует.
Будем искать A-1 через алгебраические дополнения. Для определителя
𝑎11
|𝑎
21
𝑎12
𝑎22 |
алгебраические дополнения таковы:
A11 = (- 1)1+1∙a22 ; A12 = (- 1)1+2∙a21 ; A21 = (- 1)2+1∙a12 ;
A22 = (- 1)2+2∙a11 .
Записываем алгебраические дополнения для заданного определителя ∆ :
A11 = 2; A12 = - 5; A21 = 7; A22 = 3 .
Составляем союзную матрицу A* :
𝐴
A* = ( 11
𝐴12
𝐴21
2 7
)=(
).
𝐴22
−5 3
Вычисляем обратную матрицу A-1 :
1
1
2 7
).
−5 3
A-1 = ∆ ∙ A* = 41 ∙ (
Итак,
10
2
A-1 = ( 415
− 41
7
41
3)
.
41
Делаем проверку:
2
3
A ∙ A-1 = (
5
−7
) ∙ ( 41
5
2
−
41
7
41
3)
1 0
)=E.
0 1
=(
41
Задание №10. Найти матрицу A-1 , обратную матрице
3 2 2
A = (1 3 1 ) .
5 3 4
Решение. Вначале вычисляем определитель матрицы A :
3 2 2
3
∆ = |1 3 1| = 3|
3
5 3 4
1
1 1
1 3
| - 2|
| + 2|
| = 3(12 – 3) – 2(4 – 5) + 2(3 – 15) = 3∙9 + 2 + 2∙(-12) = 5 ≠ 0
4
5 4
5 3
.
Следовательно, обратная матрица A-1 существует.
Находим алгебраические дополнения элементов определителя ∆ :
3 1
1 1
1 3
| = 9; A12 = - |
| = 1; A13 = |
| = - 12;
3 4
5 4
5 3
A11 = |
2
3
2
3 2
3
| = - 2; A22 = |
| = 2; A23 = - |
4
5 4
5
2
| = 1;
3
2 2
3
3 2
| = - 4; A32 = - |
| = - 1; A33 = |
3 1
1
1 1
2
| = 7.
3
A21 = - |
A31 = |
Составляем союзную матрицу A* :
9 −2 −4
A* = ( 1
2 −1) .
−12
1
7
Вычисляем обратную матрицу A-1 :
9
1
1
A-1 = ∆ ∙ A* = 5 ∙ ( 1
−12
Итак,
−2 −4
2 −1) .
1
7
11
9
5
1
-1
A =
(
−
2
−5
2
5
12
5
1
5
5
4
−5
1
−5
.
7
5)
Задания для самоконтроля
1. Найти матрицу, обратную к матрице
1 2
).
3 4
A=(
−2
1
Ответ: ( 3 − 1) .
2
2
2. Найти матрицу, обратную к матрице
3 2 1
A = (2 3 1 ) .
2 1 3
2
3
1
Ответ:
−3
1
(
−3
5
1
− 12 − 12
7
12
1
12
1
− 12
.
5
12)
1.4.Ранг матрицы
В данном разделе рассматривается задача нахождения ранга матрицы путем приведения ее к
ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк матрицы.
Задание №11. Вычислить ранг матрицы
−1
1 2
A = ( 2 −2 1
−1
1 7
5
−5 ) .
10
Решение. Проводим элементарные преобразования строк заданной матрицы так, чтобы привести
матрицу A к ступенчатому виду:
−1
1 2
−1
5
̃
(2)
( 2 −2 1 −5)
+ 2(1) ( 0
−1
1 7 10
−1
1 2 5
−1 1 2
̃
(3)
(1)
−
( 0 0 5
0 5 5)
1 7 10
0 0 5
5
− (2)
5) (3)̃
5
12
−1 1 2
( 0 0 5
0 0 0
5
−1 1
5) ̃ (
0 0
0
2 5
).
5 5
Запись вида (2) + 2(1) означает, что вторая строка матрицы складывалась с первой, умноженной на
2;
(3) – (1) – из третьей строки вычиталась первая строка;
~ - знак эквивалентных преобразований матрицы, при которых ее ранг не меняется.
Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2.
Следовательно, ранг заданной матрицы A также равен 2, т.е. r(A) = 2.
Задание №12. Укажите, при каких значениях параметра α ранг матрицы A равен 2, если
𝛼−4
0
A=( 0
𝛼+4
0
0
1
0 ).
2
𝛼 − 16
Решение. Матрица A имеет ступенчатый вид. В этой матрице одна строка должна быть нулевая, а
две другие - отличны от нуля. Это возможно только в случае, когда α = 4.
Итак, r(A) = 2 при α = 4.
Задания для самоконтроля.
1. Привести матрицу A к ступенчатому виду, если
2 −1 5
A = (1
1 3) .
1 −5 1
2 −1 5
Ответ: (0
3 1) .
0
0 0
2. Привести матрицу A к ступенчатому виду, если
1 −2
3 1
A = (3
2 −4 2) .
5 −2
2 4
1 −2
3
Ответ: (0
8 −13
0
0
0
1
−1) .
0
3. Найдите ранг матрицы A путем элементарных преобразований строк, если
13
1 2
A = (0 1
1 3
3 0
1 1) .
4 1
Ответ: 2.
4. Найдите ранг матрицы A путем элементарных преобразований строк, если
1
1
3 −7
A = ( 2 −1
1
6
−1
2 −1 −10
1
−4) .
5
Ответ: 3
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
В данном разделе рассматриваются задачи на решение систем линейных алгебраических уравнений
по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, способом Гаусса. Рассматривается
применение теоремы Кронекера-Капелли.
Формулы Крамера
2.1.
Задание №13. Решить систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера.
{
5𝑥 + 3𝑦 = 6 ,
7𝑥 + 4𝑦 = 7 .
Решение. Вычисляем определитель системы:
5 3
∆ = |
| = 20 – 21 = - 1 ≠ 0 .
7 4
Следовательно, система невырожденная. Имеем:
6 3
5
∆x = |
| = 3 , ∆y = |
7 4
7
6
|=-7.
7
По формулам Крамера:
x=
∆x
∆
=
3
−1
=-3, y=
∆y
∆
=
−7
−1
=7.
14
Найденное решение проверяется путем подстановки в заданную систему:
5∙(- 3) + 3∙7 = 6 ,
7∙(- 3) + 4∙7 = 7 .
Итак, заданная система имеет единственное решение: x = 3, y = 7.
2.2.
Решение систем с помощью обратной матрицы
Задание №14. Решить систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными с
помощью обратной матрицы:
{
8𝑥 + 5𝑦 = 23 ,
7𝑥 + 3𝑦 = 5 .
Решение. Запишем систему в матричном виде: A∙X = B , где A - матрица системы, B - столбец
свободных членов, X - решение системы,
𝑥
23
8 5
A=(
) , B = ( ) , X = (𝑦) .
5
7 3
Имеем:
8 5
∆ = |
| = 24 – 35 = - 11 ≠ 0 .
7 3
Следовательно, обратная матрица A-1 существует и решение заданной системы существует и
единственно.
Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы A:
A11 = 3 , A12 = - 7 , A21 = - 5 , A22 = 8 .
Составляем союзную матрицу A* :
𝐴
A* = ( 11
𝐴12
𝐴21
3 −5
)=(
).
𝐴22
−7
8
Находим обратную матрицу A-1 :
3
5
−
3 −5
11
A = ∆ ∙ A = - 11 ∙ (
) = ( 11
7
8).
−7
8
−
11
11
-1
1
*
1
Решение системы X находим по формуле:
X = A-1 ∙ B .
Тогда
15
3
5
−
𝑥
23
−4
11
(𝑦) = ( 11
7
8 ) ∙ ( 5 ) = ( 11) .
− 11
11
Итак, заданная система имеет единственное решение: x = - 4, y = 11.
Способ Гаусса. Применение теоремы Кронекера-Капелли
2.3.
Задание №15. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса:
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2 ,
{ 𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 6 ,
2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 5 .
Решение. Составляем расширенную матрицу системы и проводим над ее строками элементарные
преобразования до получения ступенчатой матрицы:
2 1
(1 1
2 1
12
2 1
̃
− (1) (0 1
3|6) 2(2)
25
2 1
1 2
2 1 1 2
− (1) (0 1 5|10) .
5|10) (3)̃
2 5
0 0 1 3
Полученной матрице соответствует ступенчатая система уравнений:
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2 ,
{ 𝑥2 + 5𝑥3 = 10 ,
𝑥3 = 3 .
Она решается обратным ходом, т.е. найденное значение 𝑥3 подставляется сначала во второе
уравнение системы и находится 𝑥2 . Полученные значения 𝑥2 и 𝑥3 подставляются в первое
уравнение системы и находится 𝑥1 .
Имеем:
𝑥3 = 3;
𝑥2 = 10 - 5𝑥3 = 10 – 15 = - 5 ;
𝑥1 =
1
2
1
∙ (2 - 𝑥2 - 𝑥3 ) = 2 ∙ (2 + 5 - 3) = 2 .
Итак, заданная система имеет единственное решение: 𝑥1 = 2, 𝑥2 = - 5, 𝑥3 = 3.
Задание №16. Решить систему линейных уравнений:
𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 1 ,
{ 2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 0 ,
5𝑥1 + 3𝑥2 + 8𝑥3 + 𝑥4 = 1 .
16
Решение. Будем решать данную систему способом Гаусса. Имеем:
1
5 4
(2 −1 2
5
3 8
31
1
− (1) (2
−1|0) (3)̃
11
4
31
5 4
−1 2 −1|0)
−2 4 −2 0
1
5 4
(
2 −1 2
3 1 (2)̃
1
5
| )
− 2(1) (
−1 0
0 −11
1
5
̃
(3) − (2) (2 −1
2
0
0
1
31
4
2 −1|0) ̃
00
0
3 1
4
| ).
−6 −7 −2
Полученной матрице соответствует ступенчатая система уравнений:
𝑥 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 1 ,
{ 1
−11𝑥2 − 6𝑥3 − 7𝑥4 = −2 .
Выбираем главные неизвестные (они связаны с углами ступенек). Это 𝑥1 и 𝑥2 . Тогда свободными
неизвестными будут 𝑥3 и 𝑥4 . Считаем, что 𝑥3 = 𝐶3 , 𝑥4 = 𝐶4 , где 𝐶3 и 𝐶4 - произвольные
постоянные.
После переноса свободных неизвестных вправо, получаем систему двух линейных уравнений с
двумя неизвестными:
{
𝑥1 + 5𝑥2 = 1 − 4𝐶3 − 3𝐶4 ,
11𝑥2 = 2 − 6𝐶3 − 7𝐶4 .
Решаем ее обратным ходом. Получаем общее решение системы:
2
𝑥2 =
11
𝑥1 =
11
1
-
6
11
14
11
7
𝐶3 -
11
𝐶3 +
11
2
𝐶4 ,
𝐶4 ,
𝑥3 = 𝐶3 ,
𝑥4 = 𝐶4 .
Одно из частных решений системы получим, например, при 𝐶3 = 0 и 𝐶4 = 0:
1
2
𝑥1 = 11 , 𝑥2 = 11 , 𝑥3 = 0 , 𝑥4 = 0.
Частное решение проверяется путем подстановки в исходную систему уравнений.
Итак, заданная система неопределенна, имеет две главные и две свободные неизвестные.
Задание №17. Решить систему линейных уравнений:
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −4 ,
{𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0 ,
−2𝑥1 − 2𝑥3 = 16 .
Решение. Будем решать данную систему, применяя теорему Кронекера – Капелли. Для этого
запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью
элементарных преобразований:
17
1 1 −1 −4
1 1
( 1 2 −3| 0 ) (2)̃
− (1) ( 0 1
−2 0 −2 16
−2 0
1 1
(0 1
0 0
−1 −4
1
−2| 4 ) ̃ (
0
0 0
−1 −4
1 1
+ 2(1) (0 1
−2| 4 ) (3)̃
−2 16
0 2
−1 −4
− 2(2)
−2| 4 ) (3)̃
−4 8
1 −1 −4
| ).
1 −2 4
Полученной матрице соответствует система уравнений, эквивалентная заданной:
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 = −4 ,
{ 1
𝑥2 − 2𝑥3 = 4 .
Далее исследуем и решаем эту систему. Ранг матрицы системы равен рангу матрицы
1 1 −1
A=(
).
0 1 −2
Здесь можно выбрать минор второго порядка вида
1
|
0
1
|=1≠0.
1
Это означает, что r(A) = 2.
Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы
̅ = (1 1
A
0 1
−1 −4
).
−2
4
Выбираем минор вида
1
|
0
1
|.
1
̅) = 2.
Следовательно, r(A
̅) , то по теореме Кронекера – Капелли заданная система совместна. А так как при
Так как r(A) = r(A
этом r(A) меньше числа неизвестных системы n = 3, т. е. r(A) < 3, то заданная система
неопределенна.
Количество главных неизвестных равно r(A) = 2. Количество свободных неизвестных находим по
формуле: n - r(A) = 3 – 2 = 1.
Теперь будем искать решение системы. Вначале выберем главные неизвестные. Они связываются с
базисным минором матрицы A . Выберем минор
1
|
0
1
|.
1
Его столбцы есть первый и второй столбцы матрицы A и соответствуют переменным 𝑥1 и 𝑥2 .
Это будут главные неизвестные. Тогда 𝑥3 будет свободной неизвестной. Считаем, что 𝑥3 = 𝐶3 , где
𝐶3 - произвольная постоянная.
Запишем систему в виде:
𝑥 + 𝑥2 = −4 + 𝐶3 ,
{ 1
𝑥2 = 4 + 2𝐶3 .
Решаем ее обратным ходом. Получим общее решение системы:
18
𝑥1 = - 𝐶3 - 8 ,
𝑥2 = 2𝐶3 + 4 ,
𝑥3 = 𝐶3 .
Одно из частных решений системы получим, например, при 𝐶3 = 0:
𝑥1 = - 8, 𝑥2 = 4, 𝑥3 = 0 .
Частное решение проверяется путем подстановки в исходную систему уравнений.
Итак, заданная система уравнений неопределенна, имеет две главные неизвестные и одну свободную
неизвестную.
Задания для самоконтроля
1. Решить систему уравнений
{
𝑥1 − 𝑥2 = −4 ,
2𝑥1 + 𝑥2 = −5 .
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы.
Ответ: 𝑥1 = - 3;
𝑥2 = 1.
2. Решить систему уравнений способом Гаусса:
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 8 ,
{2𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 = −1 ,
𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 0 .
Ответ:
x = 2, y = - 1, z = 3.
3. Исследовать систему уравнений:
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 𝑥4 = 8 ,
2𝑥1 − 𝑥2 − 4𝑥3 + 3𝑥4 = 1 ,
{
4𝑥1 − 7𝑥2 − 18𝑥3 + 11𝑥4 = −13 ,
3𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 9 .
Ответ: совместна и неопределенна. Общее решение (2 + C3 – C4 ; 3 – 2C3 + C4 ; C3 ; C4), где C3 ∈ R ,
C4 ∈ R.
19
3. Тренировочные тесты
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
1 3
0 1 2
где A = (
), B = ( 0 1) .
−1 1 3
−1 2
Варианты ответов:
1) (
2) (
1 4
2 3
3
)
8
−2 3 8
)
−9 1 5
−3 2
3) ( 2 0)
−1 4
4) (
2 2 −3
)
−1 5 11
5) (
−1 2 −5
)
3 −1 −4
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
A= (
2
1
1 −2 3
), B = ( 3 −1) .
0 1 2
−1 1
Варианты ответов:
1) (
3 8
)
−2 0
2) (
5 −2 4
)
0 3 1
1 4
3) (−2 0)
3 7
20
4) (
−7 6
)
1 1
5) (
−7 4
)
3 −1
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
A=(
4 −3
).
2 1
Варианты ответов:
1) (
11
8
3
)
−7
2) (
4
11
−9
)
3
3) (
7 −9
)
6 −2
4) (
−5 6
)
3 11
5) (
7 −8
)
−3 2
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
𝛼−4
3
2
A=( 0
𝛼 − 4 1) .
0
0
5
Варианты ответов:
1) α ≠ √5
21
2) α ≠ 0
3) при всех α
4) α ≠ 4
5) α = 4
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
𝑥 𝑥+1
−3 2
|
|=|
|.
4
5
2 1
Варианты ответов:
2
1) x = - 3
2) x =
3
5
3) x = -3
4) x = -1
1
5) x = - 5
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по первой строке:
𝑎
|1
3
𝑏 𝑐
−2 0| .
1 2
Варианты ответов:
1) 5a – 3b + 6c
2) -3a + 4b - 5c
3) -4a – 2b - c
4) -4a – 2b + 7c
5) 6a + b - 3c
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
5
|0
7
0 1
3 −1| .
1 3
22
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
1) (32; 18)
2) (17; 13)
3) (45; 29)
4) (-56; 8)
5) (43; -4)
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
A=(
1 2
).
3 5
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
3 2
)
−4 1
1) (
−5 2
)
3 −1
2) (
2
4
3) (
−1
)
1
4) (
6
3
)
−4 −1
5) (
−3 2
)
1 4
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
1
A = (0
0
0
0
𝛼+2
0 ).
2
0
𝛼 −4
Варианты ответов:
1) α = - 2
2) α = 0
3) при всех α
23
4) α = 2
5) α ≠ 2
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
{
2𝑥 + 3𝑦 = 8 ,
4𝑥 − 𝑦 = 2 .
Варианты ответов:
1) (- 11; 3)
2) (- 14; 3)
3) (4; 2)
4) (12; 3)
5) (8; 4)
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными способом
обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и y0 –
решение системы.
{
Варианты ответов:
1) (
−1 3
); 2
2 4
2) (
3 5
); - 1
1 2
3 2
); - 1
−1 1
4 −2
4) (
); 2
3 1
3) (
3𝑥 + 𝑦 = 5 ,
5𝑥 + 2𝑦 = 7 .
24
5) (
2 −1
); - 1
−5 3
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными способом
Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
6𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 5 ,
{ 2𝑥2 − 3𝑥3 = 7 ,
7𝑥3 = 35 .
Варианты ответов:
1) - 3
2) 0
3) 2
4) 13
5) 5
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 4 ,
{ 4𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 5 ,
6𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 = 10 .
Варианты ответов:
1) 3
2) - 1
3) 1
4) система несовместна
5) 2
25
4. Литература
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.: Айрис-пресс, 2004.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Учебное пособие для ВТУЗ-ов.СПб.: Профессия, 2002.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В
2т. Ч.1. – М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003.
4. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей
математике: В 2т. Ч1. – М.: Айрис пресс, 2005.
5. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. – М.: Физикоматематическая литература, 2001.
6. Черняк Ж.А., Черняк А.А., Феденя О.А., Серебрякова Н.Г., Булдык Г.М. Контрольные задания
по общему курсу высшей математики.- СПб.: Питер, 2006.
Содержание
1. Матрицы и определители…………………………………………………………………..
1.1. Операции над матрицами……………………………………………………………..
1.2. Определители…………………………………………………………………………..
1.3. Обратная матрица……………………………………………………………………...
1.4. Ранг матрицы…………………………………………………………………………...
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений…………………………………..
2.1. Формулы Крамера………………………………………………………………………
2.2. Решение систем с помощью обратной матрицы……………………………………..
2.3. Способ Гаусса. Применение теоремы Кронекера-Капелли…………………………
3. Тренировочные тесты……………………………………………………………………….
4. Литература……………………………………………………………………………………
Составитель: Е.А. Гонжа.
Редактор: Г.А. Суворченкова.