1 Тема 10 Непрерывные случайные величины. Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (– ; a), [b;), (–; ). Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается, по крайней мере, на 1 метр. При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум». Если – непрерывная случайная величина, то равенство = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события. Так, например, можно говорить, что только с вероятностью «нуль» снаряд пролетит 5245,7183 метра, или что отклонение действительного размера детали от номинального составит 0,001059 миллиметра. В этих случаях практически невозможно установить, произошло событие или нет, так как измерения величин проводятся с ограниченной точностью, и в качестве результата измерения можно фактически указать лишь границы более или менее узкого интервала, внутри которого находится измеренное значение. Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка. 2 Тема 10 Пусть – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < < х + х P(х < < х + х). Здесь х – величина малого интервала. Очевидно, что если х 0, то P(х < < х + х) 0. Обозначим р(х) предел отношения P(х < < х + х) к х при х 0, если такой предел существует: P( x x x) (1) p( x) lim x x 0 Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин х, которое также можно считать определением функции р(х): P(х < < х + х) p(x)х (2) Очевидно, что p(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина примет значение из промежутка [a, b] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х2,, хn удовлетворяющие условию а=х0<х1<x2<<xn<b=xn+1. Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х0, х1), [х1, х2), ,[хn, b]. Введём обозначения: х0= х1 – х0, х1= х2 – х1, , хn = b – хn, n и составим сумму p( xi )xi . Рассмотрим процесс, при котором число точек i 1 разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина хi стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы n p( xi )xi будет определённый интеграл по i 1 промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности: b P(a b) = p x dx a Это равенство можно также p(x) рассматривать как определение функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х1, х2) x1 x2 x равна площади фигуры, образованной Рис. 1 отрезком [х1, х2] оси х, графиком функции р(х) и вертикальными прямыми х = х1, х = х2, как изображено на рисунке 1. 3 Тема 10 Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) – её плотности распределения справедливо равенство b p( x)dx 1 a Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины. Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям: 1) р(х) 0; 2) p( x)dx 1 Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям. В качестве примера рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка: c a x b p ( x) 0 x a; x b По свойству 2) функции р(х) b a p( x)dx cdx c(b a) 1 1 . График функции p(x) ba 1 р(х) представлен на рисунке 2. c= b-a Во многих практических задачах встречаются случайные x величины, у которых возможные Рис. 2 значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х и х – асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует. Отсюда c 4 Тема 10 Пусть – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством F ( x) P(ξ x) , называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины . Непосредственно из определения следует равенство F ( x) x p(t )dt . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению F ( x) p ( x) . Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения. Функция распределения F(x) случайной величины имеет следующие свойства. 1. F(x) — непрерывная неубывающая функция. 2. lim F ( x) 0 ; lim F ( x) 1 x x Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x). 3. Приращение F(x) на промежутке (х1; х2) равно вероятности того, что случайная величина принимает значение из этого промежутка: F(x2) – F(x1) = P(x1 < x2) Доказательство. F(x2) = P( x2) = P( x1) + P(x1 < x2) = F(x1) + P(x1 < x2) Отсюда P(x1 < x2) = F(x2) – F(x1) Заметим, что для непрерывной случайной величины справедливы равенства P(x1 < x2) = P(x1 < < x2) = P(x1 < x2) = P(x1 x2) Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид: 1 при x a 0 x dt xa F ( x) при a x b b a b a a 1 при x b a b x График функции F(x) представлен на рисунке 3. Рис. 3 Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x). 5 Тема 10 Функцию распределения F(x) можно построить и для дискретной случайной величины , если задан закон распределения этой случайной величины. Пусть задана дискретная случайная величина с законом распределения 1 2 3 Р 0,2 0,5 0,3 Построим функцию F(x), используя определение F(x) = P( x). x 1 0 при 0,2 при 1 x 2 F(x) F ( x) 1 0,7 при 2 x 3 1 при x3 График функции F(x) изображён на рисунке 3. Очевидно, что закон распределения 1 2 3 Рис. 4 дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, где каждому значению этой случайной величины ставится в соответствие вероятность, или с помощью функции распределения. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется равенством Mξ xpx dx в предположении, что интеграл существует (сходится). Здесь сохраняется смысл математического ожидания как среднего значения случайной величины. Все свойства математического ожидания, приведённые ранее для дискретных случайных величин, имеют место и для непрерывных случайных величин. Отметим два важных свойства математического ожидания непрерывных случайных величин. 1. Если плотность распределения р(х) случайной величины – чётная функция, то М = 0. Доказательство. 6 Тема 10 Mξ xp x dx 0 0 xpx dx xpx dx Теперь в первом из двух интегралов в правой части равенства сделаем замену t = –x: 0 0 0 0 xpx dx t p t d t tpt dt tpt dt Окончательно получаем 0 0 Mξ tp t dt xp x dx 0 . 2. Если ось симметрии графика плотности распределения р(х) случайной величины проходит через точку х = , то есть р(–х + ) = р(х + ), то М = . Доказательство аналогично приведенному выше. Очевидно, можно сформулировать аналогичные свойства математического ожидания для дискретных случайных величин. Дисперсия непрерывной случайной величины определяется равенством Dξ 2 x Mξ px dx Для вычисления дисперсии можно использовать формулу D 2 2 x px dx M Дисперсия непрерывной случайной величины имеет те же свойства, что и Dξ называется дисперсия дискретной случайной величины. Величина среднеквадратическим отклонением. Если график плотности распределения случайной величины имеет единственный ярко выраженный пик в точке х = , как на рисунке 5, то это означает, что принимает с большой вероятностью значения из малого промежутка x около х = (или, иначе, возможные значения Рис. 5 тесно сконцентрированы около числа ). Такая случайная величина имеет относительно малую дисперсию. 7 Тема 10 Пусть график плотности распределения случайной величины пологий и не имеет выраженного пика, как на рисунке 6. Тогда внутри довольно большой области можно взять различные промежутки одинаковой длины, и вероятности попадания случайной величины в эти промежутки будут отличаться незначительно. В этом случае дисперсия относительно велика. Если – размер детали, выпускаемой p(x) автоматическим станком, настроенным на размер , то график, изображённый на рисунке 5, характерен для случая, когда x Рис. 6 станок хорошо налажен: отклонения от номинальной величины встречаются редко или маловероятны. График плотности распределения, изображённый на рисунке 6, свидетельствовал бы о том, что механизм станка расстроен: здесь часто (или с большой вероятностью) встречаются детали с большим отклонением от номинального размера . Напомним читателю, что на обоих приведённых рисунках площади фигур, заключённых между горизонтальной координатной осью и графиками плотности распределения, одинаковы и равны единице. Приведём пример расчёта математического ожидания и дисперсии для случайной величины, равномерно распределённой на промежутке [a; b]. Ранее было получено выражение для плотности распределения такой случайной величины: 0 при x a и при x b p ( x) 1/ b a при a x b 1 b 1 x2 M xdx b a 2 baa b a 1 b2 a 2 a b ba 2 2 ab лежит в середине промежутка [a; b], и этот результат можно было 2 получить, используя второе из приведённых выше свойств математического ожидания непрерывной случайной величины. 2 b b a b 1 1 b 2 a b 2 b Dξ x dx x dx a b xdx dx 2 b a b a 4 a a a a Точка 1 b 3 a 3 a b b 2 a 2 a b 2 b a b a 2 ba 3 2b a 4b a 12 8 Тема 10 Отсюда видно, что чем длиннее промежуток, тем больше дисперсия случайной величины, равномерно распределённой на этом промежутке. Задача 1. Плотность распределения случайной величины имеет вид c cos x, / 2 x / 2 p ( x) 0, x / 2; x / 2 Найти М, D, F(x), P(/6 < х < /3). Решение. Сначала определим величину параметра с. По свойству нормировки /2 c cos xdx 1 / 2 Отсюда следует, что с = 1/2. Математическое ожидание случайной величины равно 0, так как плотность распределения – чётная функция. Дисперсию 1 случайной величины определим по формуле D = 2 /2 x 2 cos xdx . Вычислив / 2 определённый интеграл, получаем D = /4 – 2. Функция F(x) на промежутке (; –/2) равна нулю, на промежутке (–/2; /2) эта функция равна (1 + sinx)/2, на промежутке (/2; ) функция равна 1. 2 P / 6 ξ / 3 (1 sin x) / 2 // 36 3 1 / 4 Задача 2. Функция распределения случайной величины имеет вид 0, x 1 F ( x) 0,2 x 3 x 2 x 1 , 1 x 2 1, x 2 Найти М, D, P(1 < х < 1,5). Задача 3. Плотность распределения случайной величины имеет вид 0 при x 2 и при x 3 p ( x) a / x 1 при 2 x 3 Найти М, D, F(x) P(1 < х < 2,5) Ответы. 2. 97/60, 263/3600, 13/40. 3. (ln2+1)/ln2, (3ln2–2)/ (2ln22) 0, x 2 ln x 1 F ( x) , 2 x 3 , ln1,5/ln2. ln 2 1, x 3