Параметры.Системы неравенств с одной переменной.

Задачи с параметрами
Системы и совокупности линейных неравенств
с одной переменной
Дихтярь М. Б.
Основные определения
Линейной системой двух линейных неравенств с одной неизвестной
a1 x  b1 ,
называется система неравенств 
(*) где ai  i  1,2  коэффициенa
x

b
,
 2
2
ты при неизвестной, bi  i  1,2  – свободные члены, знак  обозначает: <
(меньше), или > (больше), или  (не больше), или  (не меньше).
Число х0 называется решением линейной системы неравенств с неизвестной х , если х  х0 удовлетворяет каждому неравенству системы
( х  х0 является решением каждого неравенства системы).
Замечание. Если решением неравенства a1 x  b1 является множество
X 1 , решением неравенства a2 x  b2 является множество X 2 , то решением
системы неравенств (*) является множество X 1  X 2 .
Линейной совокупностью двух линейных неравенств с одной неиз a1 x  b1 ,
вестной называется совокупность неравенств 
(**)
a
x

b
,
 2
2
где ai  i  1,2  коэффициенты при неизвестной, bi  i  1,2  – свободные
члены, знак  обозначает: < (меньше), или > (больше), или  (не больше), или  (не меньше).
Число х0 называется решением линейной совокупности неравенств с
неизвестной х , если х  х0 удовлетворяет хотя бы одному неравенству
совокупности ( х  х0 является решением хотя бы одного неравенства совокупности).
Замечание. Если решением неравенства a1 x  b1 является множество
X 1 , решением неравенства a2 x  b2 является множество X 2 , то решением
совокупности неравенств (**) является множество X 1  X 2 .
Решить систему (совокупность) неравенств – это значит найти
все её решения или показать, что система (совокупность) не имеет решений.
1
Если в системе (совокупности) линейных неравенств некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а система (совокупность)
неравенств называется системой с параметром. Система (совокупность)
неравенств с параметром является семейством систем (совокупностей)
неравенств, рассматриваемых при фиксированном значении параметра.
Решить систему (совокупность) неравенств с параметром означает, что надо решить множество систем (совокупностей) неравенств, которые получаются, если придавать параметру конкретные числовые значения. Система (совокупность) неравенств с параметром должна быть
рассмотрено при всех значениях параметра.
Для того чтобы решить систему (совокупность) неравенств с параметром надо:
1) для каждого значения параметра найти все решения системы (совокупности) неравенств;
2) указать, при каких значения параметра система (совокупность)
неравенств не имеет решений.
Задачами с параметрами являются, например, следующие задачи:
1) найти решения системы неравенств (совокупности) в зависимости от параметра;
2) найти значения параметра, при которых решения положительные
(отрицательные);
3) определить, при каких значениях параметра система (совокупность) неравенств имеет единственное решение;
4) определить, при каких значениях параметра две системы (совокупности) неравенств равносильны.
Дополнительная задача.
Найдите все значения х, при которых
1) интервал  2; х  содержит ровно 5 целых чисел;
2) промежуток (2; х] содержит ровно 5 натуральных чисел;
3) интервал  5; х  содержит не более 5 натуральных чисел;
4) отрезок  х; 5 содержит не менее 3 целых чисел;
Решение. 1) Интервал  2; х  содержит ровно 5 целых чисел, если
ему принадлежат следующие целые числа: –1; 0; 1; 2; 3.
Если х  3 , то интервалу не принадлежит число, равное 3. Если
х  4 , то интервалу не принадлежит число, равное 4. Если 3  х  4 , то
интервалу принадлежат 5 целых чисел: –1; 0; 1; 2; 3.
2
2) Промежуток (2; х] содержит ровно 5 натуральных чисел, если
ему принадлежат следующие натуральные числа: 1; 2; 3;4; 5.
Если х  5 , то промежутку принадлежит число, равное 5. Если
5  х  6 , то промежутку принадлежат 5 натуральных чисел: 1; 2; 3;4; 5.
3) Интервал  5; х  содержит не более 5 натуральных чисел, если
интервал не содержит натуральных чисел, тогда 5  х  1 ;
или интервал содержит одно натуральное число (число 1), тогда
1  х  2;
или интервал содержит два натуральных числа (числа 1; 2), тогда
2  х  3;
или …, или интервал содержит пять натуральных чисел (числа 1; 2;
3;4; 5), тогда 5  х  6 .
Итак, интервал  5; х  содержит не более 5 натуральных чисел, если
5  х  6 .
4) Отрезок  х; 5 содержит не менее 3 целых чисел, если
отрезок содержит 3 целых числа (числа 3; 4; 5), тогда 2  х  3 ;
отрезок содержит 3 или 4 целых числа (числа 3; 4; 5 или 2, 3; 4; 5),
тогда 1  х  3 ;
отрезок содержит не менее 3 целых чисел (числа …,0, 1, 2, 3; 4; 5),
тогда х  3.
Примеры решения систем линейных неравенств с одной переменной
На примерах рассмотрим, как решаются системы линейных неравенств с одной переменной.
Решите системы неравенств:
 x  a,
1. 
(1)
2.
x

1
.

2
ax  a  a,
4. 
 x  3.
 x  a,

 x  1.
(4)
 x  a,
 x  2a  3.
(a 2  1) x  a  a 2 ,
5. 
(5)
ax  a  1.
(2)
3. 
(3)
Решения. 1. Решением первого неравенства системы (1) является
промежуток [a; ) , а второго – интервал (;1) .
Возможны следующие случаи.
а) Если а  1 , то система (1) решений не имеет (рис. 1).
б) Если а  1 , то решениями системы (1) являются x [a;1) (рис. 2).
3
в) Если а  1 , то система (1) принимает вид  x  1,
 x  1.
(1.1)
Система (1.1), а значит и система (1) при а  1 , не имеет решений.
2. Решением первого неравенства системы (2) является промежуток
[a; ) , а второго – промежуток (;1] .
Возможны следующие случаи.
а) Если а  1 (рис. 3), то система (2) не имеет решений.
б) Если а  1 (рис. 4), то решениями системы (2) являются x  [a;1] .
в) Если а  1 , то система (2) принимает вид  x  1,
 x  1.
(2.1)
Решением системы (2.1), а значит и системы (2) при а  1 , является
х  1.
3. Решением первого неравенства системы (3) является интервал
промежуток  a;   , а второго – промежуток [2a  3; ) .
Возможны следующие случаи.
а) Пусть 2a  3  а , то есть a  3 . Решениями системы (3) являются
x [2а  3; ) (рис 5).
б) Пусть 2a  3  а , то есть a  3 . Решениями системы (3) являются
x  (a; ) (рис 6).
 x  3,
 x  3.
в) Если а  3 , то система (3) принимает вид 
(3.1)
Решениями системы (3.1), а значит и системы (3) при а  3 , являются x  (3; ) .
4. Отметим, что коэффициент при х в первом неравенстве системы
(4) зависит от параметра а.
4
Возможны следующие случаи.
1. Если а  0 то система (4) принимает вид 0  x  0,  x  3 .
x  3
Итак, решениями системы (4) при а  0 являются x (;3) .
2. Если a  0 , то система (4) равносильна системе  x  a  1, (4.1)
 x  3.
Решением первого неравенства системы (4) является промежуток
[a  1; ) , а второго – интервал (;3) .
Возможны следующие случаи.
а) Если а  1  3  a  4 , то система (4.1), а значит и системы (4) при
a  4 , не имеет решений (рис 7).
а  1  3,
 0  а  4. Решениями системы (4.1), а значит и сиa

0;

б) Если 
стемы (4) при 0  a  4 , являются x [а  1;3) (рис 8).
в) Если а  4 , то система (4) принимает вид  x  3,
 x  3.
(4.2)
Система (4.2), а значит и система (4) при а  4 , не имеет решений.
3. Если a  0 , то система (4) равносильна системе  x  a  1, (4.3)
 x  3.
Решением первого неравенства системы (4.3) является промежуток
(; a  1] , а второго – интервал (;3) .
Так как a  1  3 при a  0 , то решениями системы (4.3), а значит и
системы (4) при a  0 , являются x  (; а  1] .
5. Отметим, что коэффициент при х в первом и во втором неравенствах системы (5) зависит от параметра а.
Возможны следующие случаи.
1. Хотя бы один из коэффициентов при х в неравенствах системы
равен нулю.
1) Пусть а 2  1  0
а) Если а  1 , то система (5) не имеет решений, так как в этом случае
0  x  0,
она принимает вид 
 x  2.
5
0  x  2,
 x  0.
x

0;

б) Если а  1, то система (5) принимает вид 
Решениями системы (5) при а  1 являются x  (;0) .
в) Если а  0 , то система (5) не имеет решений, так как в этом слу x  0,
чае она принимает вид 
.
0

x

1.

2. Пусть а 1; 0;1 . Возможны следующие случаи.
1) Коэффициенты при х в неравенствах системы положительные, то
а 2  1  0,
есть 
 a  1.
a  0;
Если a  1 , то система (5) равносильна системе
a
(1  a)a


x


,
x

,
2


a 1
a 1


a

1
x  a  1.
x 
;


a
a
Пусть x1   a и x2  a  1 . Так как a  1 , то x1  0 , а x2  0 . Тогда
a 1
a
x2  x1 . Решениями последней системы, а значит и системы (5) при a  1 ,
являются x  ( x2 ; ) (рис 10).
2) Коэффициенты при х в неравенствах системы отрицательные, то
а 2  1  0,
есть 
 1  a  0 .
a

0;

Если  1  a  0 , то система (5) равносильна системе
(1  a)a
a


x

,
x


,


a2 1
a 1 


a

1
x 
 x  a  1;
;


a
a
 x  x1 ,

 x  x2 .
Так как  1  a  0 , то x1  0 , а x2  0 . Тогда x2  x1 . Решениями последней системы, а значит и системы (5) при  1  a  0 , являются
x  (; x2 ) (рис 11).
6
3) Коэффициенты при х в неравенствах системы имеют разные знаки.
а 2  1  0,
а) Пусть 
 a  1.
a  0;
Если a  1, то система (5) равносильна системе
a
(1  a)a


x


,
x

,



a  1   x  x1 ,
a2 1



a

1
a

1
 x  x2 .
x 
x 
;
;


a
a

Так как a  1, то x1  0 , а x2  0 . Тогда x2  x1 . Решениями последней
системы, а значит и системы (5) при a  1, являются x  ( x1; x2 ) (рис 12).
а 2  1  0,
б) Пусть 
 0  a  1.
a

0;

Если 0  a  1, то система (5) равносильна системе
(1  a)a

a

,
 x  x1 ,
 x  a 2  1 ,  x  

a

1




a

1
 x  x2 .
x 
 x  a  1;
;


a
a

Так как x1  0 , а x2  0 . Тогда x2  x1 . Последняя система, а значит и
система (5) при 0  a  1, решений не имеет (рис 13).
Ответы.
1. Если а  1 , то x  [a;1) ; если а  1, то решений нет.
2. Если а  1 , то x  [ a;1] ; если а  1 , то x  1; если a  1 , то решений
нет.
3. Если a  3 , то x  (a; ) ; если a  3 , то x  [2а  3; ) .
4. Если a  0 , то x  (; а  1] ;
если а  0 , то x  (;3) ;
0  a  4 , то x  [а  1; 3) ; если a  4 , то решений нет.
5. Пусть x1  a  a  1
1
если
и x2   a  1 a 1 .
Если a  1, то x  ( x1 ; x2 ) ; если а  1 , то x  (; 0) ; если  1  a  0 , то
x  (; x2 ) ; если 0  a  1, то решений нет; если a  1 , то x  ( x2 ; ) .
7
Примеры решения совокупностей линейных неравенств с одной переменной
На примерах рассмотрим, как решаются совокупности линейных неравенств с одной переменной.
Примеры.
Решите совокупности неравенств:
 x  a,
 x  a,
6. 
(6)
7. 
(7)
x

2
a

3;
x

1;


(a 2  1) x  a  a 2 ,
8. 
 ax  a  1.
(8)
Решения. 6. Так как решением первого неравенства совокупности
(6) является промежуток [a; ) , а второго – интервал (;1) , то возможны следующие случаи.
а) Если а  1 (рис. 14), то решением совокупности (6) является множество (;1) [a; ).
б) Если а  1 (рис. 15), то решением совокупности (6) является множество R.
7. Так как решением первого неравенства совокупности (7) является
интервал (a; ) , а второго – промежуток [2a  3; ) , то возможны следующие случаи.
а) Если 2a  3  а , то есть a  3 , то решениями совокупности (7)
являются x  (a; ) (рис 16).
.
б) Если 2a  3  а , то есть a  3 , то решениями совокупности (7)
являются x [2а  3; ) (рис 17).
8. Так как коэффициент при х в первом и во втором неравенствах совокупности (8) зависит от параметра а, то надо рассмотреть три случая.
1. Хотя бы один коэффициент при х в неравенствах совокупности (8)
равен нулю, то есть а 1; 0;1 .
8
0  x  0,
1) Если а  1 , то совокупность (8) принимает вид 
 x  2.
x

2;

Если а  1 , решением совокупности (8) является интервал (2; ) .
0  x  2,
2) Если а  1, то совокупность (8) принимает вид 
 x  0.
Решением последней совокупности, а значит и совокупности (8) при
а  1, является множество R.
3) Если а  0 , то решением совокупности (8) является интервал
(;0) , так как совокупность (8) принимает вид  x  0,
0  x  1.
2. Пусть а 1; 0;1 .
1) Если коэффициенты при х в неравенствах совокупности (8)
а 2  1  0,
отрицательные, то 
 1  a  0 .
a  0;
В этом случае совокупность (8) равносильна совокупности
a
(1  a)a


x


,
x

,


a2 1
a 1


a

1
 x  a  1.
x 
;


a
a
Пусть x1   a и x2  a  1 . Так как  1  a  0 , то x1  0 , а x2  0 . Тоa 1
a
гда x2  x1 (рис 18).
Решениями последней совокупности, а значит и совокупности (8)
при  1  a  0 , являются x  (; x1 ) .
2) Если коэффициенты при х в неравенствах совокупности (8) по 2
ложительные, то а  1  0,  a  1. В этом случае совокупность (8) равноa  0;
a

(1  a)a

x


,
x

,

2
 x  х1 ,

a

1
a 1
сильна совокупности 


 x  х2 .
 x  a  1;
 x  a  1;


a
a
9
Так как a  1 , то x1  0 , а x2  0 . Тогда x2  x1 . Решениями последней
совокупности, а значит и совокупности (8) при a  1 , являются x  ( x1; )
(рис 19).
3) Пусть коэффициенты при х в неравенствах совокупности (8)
имеют разные знаки.
а 2  1  0,
а) Если 
 a  1, то совокупность (8) равносильна совоa

0;

купности
(1  a)a
a


 x  x1 ,
 x  a2 1 ,
 x   a 1,


x  x .


2
 x  a  1;
 x  a  1;


a
a
Так как a  1, то x1  0 , а x2  0 . Тогда x2  x1 . Решениями последней совокупности, а значит и совокупности (8) при a  1, является множество R (рис 20).
а 2  1  0,
б) Если 
 0  a  1, то совокупность (8) равносильна соa

0;

(1  a)a
a


x

,
x


,
 x  x1 ,
2


a

1
a

1

вокупности 

x  x .
a

1

2
x 
 x  a  1;


a
a
Так как 0  a  1, то x1  0 , а x2  0 . Тогда x2  x1 . Решением последней совокупности, а значит и совокупность (8) при 0  a  1, является
множество (; x1 )   x2 ;   (рис 21).
Ответы.
6. Если а  1, то x  R; если а  1 , то x  (;1) [a; ) .
7. Если a  3 , то x  [2а  3; ) ; если a  3 , то x  (a; ) .
1
8. Пусть x1  a  a  1 и x2   a  1 a 1 . Если a  (;  1] , то x  R ; если
a  (1; 0] , то x  ( ; x1 ) ; если a   0;1 , то x  (; x1 )   x2 ;   ; если a  1 ,
то x  (2; ) ; если a  (1; ) то x  ( x1 ;  ) .
10
Разные задачи
9. При каких значениях параметра а совокупность неравенств
 ах  a,
(9) не имеет решений?
 2
а
х

2

Решение. Так как решением совокупности неравенств является объединение множеств решений каждого неравенства совокупности, то совокупность (9) не имеет решений, когда оба неравенства совокупности одновременно не имеют решений.
Линейное неравенство может не иметь решений только, если коэффициент при х равен нулю.
 0  х  0,
Если а  0 , то совокупность (9) принимает 
 0  х  2.
Так каждое неравенство последней совокупности не имеет решений, то
совокупность (9) не имеет решений.
Ответ. а  0
10. При каких значениях параметра а решением системы
ах  3a 2  a 1 х  2a 2 ,
(10)

x

a

3
/
8

1) является отрезок; 2) является луч [0; ) ?
Решение. Система (10) равносильна системе
1
2
(а  а ) х  a ,
(10.1)

x

a

3
/
8
.

1
1. Если а  а  0 , то есть а (1; 0)  (1; ) , то система (10.1), а
 х  а 3  (a 2  1) 1 ,
значит и система (10), равносильна системе 
(10.2)
x

a

3
/
8
.


1
а) Пусть х1  а 3   а 2  1 и x2  а  3 8 . Так как решением первого неравенства системы (10.2) является луч [ x1 ; ) и решением второго неравенства системы (10.2) является луч [ x2 ; ) , то решением системы (10.2),
а значит и системы (10) при а (1; 0)  (1; ) , является луч.
б) Решением системы (10.2), а значит и системы (10) при
а (1; 0)  (1; ) , может быть луч [0; ) только в случае, если
а3  (а2  1)1  0 или а  3/8  0 . То есть, когда а  0 или а  3 / 8 . Так как
эти значения а не принадлежат множеству (1; 0)  (1; ) , то система (10)
в этом случае не имеет решением луч [0;  ) .
11
в)
Из
1.а) следует: не существует значений параметра
а (1; 0)  (1; ) , при которых решением системы (10) является отрезок.
2. Пусть а  а1  0 , то есть а  (;  1)  (0; 1) . Система (10.1), а
 х  х1 ,
 x  х2 .
значит и система (10), равносильна системе 
(10.3)
а) Так как решением первого неравенства системы (10.3) является
луч (; x1 ] и решением второго неравенства системы (10.2) является луч
[ x2 ; ) , то решением системы (10.3), а значит и системы (10), будет отрезок, если
 3а 2  8a  3
 (3а  1)(a  3)
 а3
3

0,
 х1  х2 ,

a

,

 a  3,
2
 (a  1)(a  1)  0,
 2
8(
a

1)
8

 a 1





1
  a  1,  
a


1,
0  a  .
 0  a  1;  
  a  1,
  a  1,
3


 0  a  1;
 0  a  1;
 0  a  1;
Итак, если а (;  3)  (0;1\ 3) , то решением системы (10), является
отрезок  х2 ; х1  .
б) Из 2.а) следует: не существует значений параметра
а  (;  1)  (0; 1) , при которых решением системы (10) является луч.
3. Если а  а1  0 , то есть а  1 или а  1 , то система (10) не имеет
решений, так как первое неравенство этой системы не имеет решений
(оно принимает вид 0  х  1 )
Ответ.
Решение
системы
является
отрезок,
если
а (;  3)  (0;1\ 3) ; решением системы не является луч [0; ) .
11. При каких значениях параметра а наибольшее целое число, яв x  3,
ляющееся решением совокупности неравенств 
(11)
а

1
х

a
,



равно 12?
Решение. 1. Так как при а  1 множеством решений совокупности
(11) является множеством R (второе неравенство совокупности принимает вид 0  х  0 ), то это множество не содержит наибольшего числа.
2. Если а  1 , то совокупность (12) равносильна совокупности
 x  3,
(11.1)

1
 х  a   a  1 .
Решением совокупности (11.1), а значит и совокупности (11) являет1
ся множество (; 3]  (; a   a  1 ] , где а  1 .
12
Число 12 будет наибольшим числом, которое принадлежит множе1
ству (; 3]  (; a   a  1 ] , где а  1 , если
13a  13  a,
a  13 12,
a
 13  

a 1
12a  12  a; a  12 11.
Итак, если 12 11  а  13 12 , то наибольшее целое число, являю12 
щееся решением совокупности неравенств (11), равно 12.
3. Если а  1, то совокупность (11) равносильна совокупности
 x  3,

1
 х  a   a  1 .
(11.2)
Решением совокупности (11.2), а значит и совокупности (11) являет1
ся множество (; 3]  [a   a  1 ; ) , где а  1 .
1
Множество (; 3]  [a   a  1 ; ) , где а  1 , а значит и множество
решений совокупности (11) при а  1, не содержит наибольшего числа.
Ответ. 12 11  а  11 12 .
12. Найдите все значения параметра а, при которых решением совокупности неравенств
 a 2  4  х  1  a,

 a  1 x  a
(12)
является луч. Определите, при каких значениях параметра а в этом случае
множество решений совокупности содержит а) ровно 5 натуральных чисел; б) не менее 7 натуральных чисел.
Решение. 1. Пусть хотя бы в одном неравенстве совокупности (12)
коэффициент при х равен нулю, то есть а  2;  1; 2 .
0  х  3,
1) Если а  2 , то совокупность (12) принимает вид 
 x  2.
Решением совокупности (12) является луч (; 2] , который содержит два натуральных числа.
x   2 3,
2) Если а  1, то совокупность (12) принимает вид 
0  х  1.
Решением совокупности (12) является множество R.
0  х  1,
3) Если а  2 , то совокупность (12) принимает вид 
 х  2 3.
Решением совокупности (12) является множество R.
2. Решением совокупности (12) является луч только в случае, если
2
 а  4    а  1  0 .
13
а 2  4  0,
1) Пусть 
 а  2.
а

1

0;

Если а  2, то совокупность (12), равносильна совокупности
 х  1  a   a 2  4 1 ,

(12.1)
 x  a  a  11 .

Пусть х1  1  а    a 2  4  , x2  a   a  1 .
1
1
Если а  2, то х1  0, x2  0 . Тогда x2  х1 и решением совокупности
(12.1), а значит и совокупность (12), является луч [ х1 ; ) , который содержит бесконечное множество натуральных чисел.
а 2  4  0,
2) Пусть 
 2  а  1.
а

1

0;

Если 2  а  1, совокупность (12), равносильна совокупности
 х  1  a   a 2  4 1 ,

 x  a  a  11 .

(12.2)
Если 2  а  1, то х1  0, x2  0 . Тогда x2  х1 и решением совокупности (12.2), а значит и совокупность (12), является луч ( ; х2 ] .
а) Луч ( ; х2 ] содержит 5 натуральных
чисел (1, 2, 3, 4, 5) (рис. 22), если
5a  5  a,
а

 6,
5  х2  6,
5 


 a  6a  6   5 4  a   6 5.
а 1

2  а  1;


2  а  1;
2  а  1;
Итак, если a  [ 5 4;  6 5) , то ровно 5 натуральных чисел принадлежат множеству решений совокупности (12).
б) Луч ( ; х2 ] содержит не менее 7 натуральных чисел (лучу
( ; х2 ] принадлежат числа: 1, 2, 3, 4, 6, 7, или 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, или
…, или 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, …), если
 а
 7,
 х2  7,
a  7a  7,

 а 1

  7 6  a  1.


2

а


1;

2  а  1;

2  а  1;
14
Итак, если a  [ 7 6;  1) , то множество решений совокупности (12)
содержит не менее 7 натуральных чисел.
Ответ. Решением является луч, если а  [2;  1)   2;   ;
а) a [ 5 4;  6 5) ; б) a  [ 7 6;  1) .
13. Определите, при каких значениях параметра а множество решений
ах  а  (a 2  1)1/ 2 ,
системы 
(13) содержит 1) ровно 5 целых чисел; 2) не
x

7.

более 6 целых чисел.
Решение. ОДЗ параметра являются а (;  1]  [1; ) .
1. Если а  (;  1] , то система (13) равносильна системе
 х  (a 2  1)1/ 2 ,
множество решений которой является луч, содержащий

 x  7,
бесконечное число целых чисел.
2. Если а [1; ) , то система (13) равносильна системе
 х  (a 2  1)1/ 2 ,
(13.1)

x

7,

Система (13.1) а значит и система (13) имеет решение, если
a  1,
a  1,
 2
 1  a  50 .
 2
a  50;
 a  1  7;
Итак, если 1  а  50 , то решением системы (13) является отрезок
[(а 2  1)1 / 2 ; 7] , если а  50 , то системы (13) имеет единственное решение
x7
1) Пусть x0  a 2  1 , где 1  а  50 . Отрезку [ x0 ; 7] принадлежат ровно 5 следующих целых
чисел: 7, 6, 5, 4, 3 (рис. 23), если
1  a  50, 1  a  50,
1  a  50,


 5  a  10.



2
2
2  х0  3
2  a  1  3; 5  a  10;
Итак, если a  ( 5; 10] , то множество решений системы (13) содержит ровно 5 целых чисел.
15
2) Множество решений системы (13.1), а значит и системы (13) при
а [1; ) , содержит не более 6 целых чисел, если это множество содержит
одно целое число (число 7), или 2 целых числа (числа 7 и 6) , …, или 6
целых чисел (числа 7, 6, 5, 4, 3, 2). Это возможно, если
1  a  50, 1  a  50, 1  a  50,

 2
 2  a  50.

2
a

2;
 x0  1;

 a  1  1;
Итак, если a  ( 2; 50], то множество решений системы (13) содер-
жит не более 6 целых.
Ответ. 1) а  ( 5; 10] ; 2) a  ( 2; 50]
14. Определите, при каких значениях параметра a   0;1 число х  1
не удовлетворяет неравенству log (2ax  1  2a )  1
(14).
Решение. 1. Число х  1 не удовлетворяет неравенству (14), если
оно удовлетворяет системе
2
a
0  a  1,
0  a  1,

 
2
2
 log a  2ax  1  2a   1,    2ax  1  2a  a,


2
2

2
ax

1

2
a

0;
  2ax  1  2a  0.
 
2. Число х  1 не удовлетворяет неравенству (14) при a   0;1 , если
оно удовлетворяет последней системе, то есть если
0  a  1,
0  a  1,

0  a  0,5 3  1 ,

2

a

1

2
a

1

0,





2
a

1

2
a

a
,






0,5  a  1.
 2a  1  2a 2  0;  
a  0,5 3  1  2a  3  1  0;

 
Если a  (0; 0,5( 3  1)]  (0,5;1) , то число х  1 не удовлетворяет нера-

 





венству (14)..
Ответ. a  (0; 0,5( 3  1)]  (0,5;1) .
15. Решите неравенство
a
2
 2a  x
a2

a
.
a2
(15)
Решение. Неравенство (15) равносильно системе
  a 2  2a  x
  a  2  ax
a
a
a

, 

, 

,
 a2
 a2
ax 
a2
a2


a2
 2
  a  2a  x
  a  2  ax  0.
ax  0.

0;
 a  2
 a  2
16
(15.1)
0  x  0,
1) При a  0 система (15.1) принимает вид 
0  x  1.
Последняя система, а значит и неравенство (15) при a  0 , не имеет
решений.
 x   a  2 1 ,
2) Если a  0 , то неравенство (15) равносильно системе 
 x  0,
a  0,
которая имеет решения, если 
 a  2.
1
a

2

0;



Итак, если a  2 , то решениями неравенства (15) являются
x [0; (a  2)1 ) . Если 0  a  2 (при a  0 ), то неравенство (15) не имеет
решений.
 x   a  2 1 ,
3) Если a  0 , то неравенство (15) равносильно системе 
 x  0,
a  0,
которая имеет решения, если 
Итак,
если
x  ( a  2  ; 0] .
a  0,
 a  2 
то
1
 0;
решениями
 a  0.
неравенства
(15)
являются
1
Из 1) – 3) следует, ответ.
1
Ответ. Если a   ; 0  , то x  ( a  2  ; 0] ; если a   0; 2 , то
x   ; если a   2;   , то x  [0;  a  2  ) .
16. При каких значениях параметра а множество решений неравенства х  3a  2  ах (16) является объединение двух промежутков, пересечение которых пустое множество и при каких значениях параметра а
число х  0 принадлежит этому множеству решений?
Решение. Имеем
1
1  a  х  3a  2,
 х  3a  aх  2,
(16.1)
х  3a  2  ах  

x

3
a

2

aх
;
1

a
x

2

3
a
.




Решение совокупности (16.1), а значит и неравенства (16), может
быть объединение двух промежутков, пересечение которых пусто только
в случае, если (1  а)  (1  а)  0 .
1  a  0,
1. Пусть 
 1  a  1.
1

a

0;

17
Если а  (1;1) , то совокупность (16.1), а значит и неравенство (16),
 х   3a  2   1  a 1 ,
равносильно совокупности 
(16.2)
1
 x   3a  2   1  a  .
1
1
Пусть x1   3a  2   1  a  и x2   3a  2   1  a  Решением совокупности (16.2), а значит и неравенства (16), при а  (1;1) , является
множество (; x1 ]  [ x2 ; ) . Пересечением промежутков (; x1 ], [ x2 ; )
при а  (1;1) является пустое множество, если
1  a  1,
1  a  1,

1

a

1,



  3a  2 3a  2   6a 2  4
  2 3  a  2 3.


0;
x

x
;

;
 2
1
 1  a
 1  a   1  a 
1 a

Итак, если a    2 3; 2 3  , то множеством решений неравенства (16)
является объединение двух промежутков, пересечение которых пусто.
Число х  0 принадлежит множеству (; x1 ]  [ x2 ; ) если
 2 3  а  2 3,

 2 3  а  2 3,
 2 3  а  2 3,
 2 3  a  2 3,



  3a  2  0,
  1  a
   2 3  a  1,

 0  x1 ,




 2 3  a   2 3.
3
a

2

1

a


2
3;



 0  x2 ;

 0;
  1  a

Итак, если a  ( 2 3;  2 3]  [2 3; 2 3) , то число х  0 принадлежит
множеству (; x1 ]  [ x2 ; )
1  a  0,
a  1,
2. Пусть 

1  a  0;
a  1.
Так как последняя система не имеет решений, то невозможен случай, когда коэффициенты при х в совокупности (16.2) одновременно отрицательные.
Ответ. a    2 3; 2 3  ; a  ( 2 3;  2 3]  [2 3; 2 3) .
17. При каких значениях параметра а решением неравенства
х  3  ах  2 (17) является отрезок?
Решение. Имеем
(1  а ) х  5,
 х  3  aх  2,

(1  а ) x  1.
 x  3  2  aх.
х  3  ах  2  
Решением последней системы, а значит и неравенства (17), может
быть отрезок только в случае, если (1  а)  (1  а)  0 .
18
1  a  0,
 1  a  1.
1

a

0;

1. Пусть 
 х  5(1  a) 1 ,
При а   1;1 имеем х  3  ах  2  
(17.1)
1
 x  (1  a) .
Решением системы (17.1), а значит и неравенства (17) при а   1;1 ,
является отрезок, если
1  a  1,
1  a  1,

 1  a  2/3. .
 5
1  
4

6
a

0;

;

1  а 1  a
Итак, решением
a  (1;  2 / 3) .
неравенства
(17),
является
отрезок,
если
1  a  0, a  1,
2. Пусть 

1  a  0;
a  1.
Так как последняя система не имеет решений, то случай, когда коэффициенты при х в системе (17.1) одновременно отрицательные, невозможен.
Ответ. a  (1;  2 / 3)
При решении задач 18 и 19 воспользуемся следующим: так как неравенство
 a  b,
a  c  b  d является следствием системы неравенств 
то последняя сиc  d ,
a  b,

стема неравенств равносильно системе неравенств c  d ,
a  c  b  d .

18. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
6 х  3a  х  7а  5 (18) имеет 1) решение; 2) ровно 7 целых чисел принадлежат множеству решений неравенства.
Решение. Имеем
6 х  3а  х  7a  5,  х  2a  1,
(18.1)

6 х  3a  х  7а  5  
х

5

4
a
7.
6
х

3
а

5

х

7
a
;




1) Система (18.1), а значит и неравенство (18), имеет решение, если
2a  1   5  4a  7  a  2 3 . Итак, неравенство (18) имеет решение, если
a  2 3. Отметим, что решением неравенства (18) является отрезок
 5  4a  7; 2a  1 , если a  2 3 , а при a  2 3 решением является x  1 3 .
19
2) Отрезку  5  4a  7; 2a  1
принадлежат ровно 7 целых чисел
( k  1, k  2, k  3, k  4, k  5, k  6, k  7 , где k  Z ) (рис. 24), если
7k  5  4a  7k  2,
k   5  4a  7  k  1, 7k  5  4a  7k  2,


 2k  16  4a  2k  18,

2k  16  4a  2k  18; 9k  11  0  9k  20.
k  7  2a  1  k  8;

Из
третьего
неравенства
последней
системы
находим
 20 9  k  11 9 . Так как k целое число, то только k  2 удовлетворяет
третьему неравенству последней системы.
Если k  2 , то из первых двух неравенств последней системы имеем
19  4a  12,
3  a  19 4,

 3  a  7 2.


12

4
a

14;
3

a

7
2;


Итак, если 3  a  7 2 , то множество решений неравенства (18) содержит 7 целых чисел.
Ответ.1) a  2 3; 2) 3  a  7 2 .
19. Найдите все значения параметра а, при которых а неравенство
2 х  a  х  2а  3 (19) имеет
1) решение; 2) единственное решение; 3) только положительные
решения; 4) только отрицательные решения; 5) хотя бы одно решение,
принадлежащее отрезку  1; 0,5 ; 6) ровно 6 целых решений; 7) ровно 6
натуральных решений.
Решение. Имеем
2 х  а  х  2a  3,
 х  3  a,

(19.1)
2 х  a  х  2а  3  
2
х

а

2
a

х

3;
х

a

1.


1) Система (19.1), а значит и неравенство (19), имеет решение, если
3  а  а  1  а  2 . Итак, неравенство (19) имеет решение, если а  2 .
Решением неравенства является интервал  a  1; 3  а  .
2) Неравенство (19) не имеет единственного решения, так как его
решением является интервал.
3) Неравенство (19) имеет только положительные решения, если
a  2,
 1  а  2.

a

1

0;

20
4) Неравенство (19) имеет только отрицательные решения, если
a  2,
 a  2,



3  a  0;
 a  3.
Так как последняя система не имеет решений, то ни при каких значениях а неравенство (19) не имеет только отрицательных решений.
5) Ни одно решение неравенства (19) не принадлежит отрезку
 3  a  1
  a  4,


 1; 0,5 , если a  1  0,5,  a  1,5,  1,5  a  2.
a  2;
a  2;


Итак, ни одно решение неравенства (19) не принадлежит отрезку
 1; 0,5 , если a [1,5; 2) . Так как неравенство (19) имеет решение при
а  2 , то хотя бы одно решение неравенства (19) принадлежит отрезку
 1; 0,5 , если a   ;1,5 .
6) Решением неравенства (19) является интервал  a  1; 3  а  , где
а  2 . Этому интервалу принадлежат 6 целых чисел (k , k  1, k  2, k  3,
k  4, k  5, где k  Z ), если
 k  a  k  1,
k  1  a  1  k ,
k  a  k  1,


 k  3  a  k  1,

k  5  3  a  k  6; k  2  a  k  3; 
2k  2  0  2k  4.
Из третьего неравенства последней системы имеем двойное неравенство 2  k  1, которому не удовлетворяет ни одно целое число. Тогда последняя система не имеет решений. Итак, ни при каких значениях а
множество решений неравенства (19) не содержит ровно 6 целых чисел.
7) Решением неравенства (19) является интервал  a  1; 3  а  , где
а  2 . При любом значении параметра а  2 интервалу  a  1; 3  а  принадлежит число 1, так как, если а  2 , то а  1  1 и 3  а  1. Интервал
 a  1; 3  а  , где а  2 , содержит ровно 6 натуральных чисел, если ему
принадлежат числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и неположительные числа.
Это возможно, если
6  3  а  7,
3  а  4,
4  а  3,


 4  а  3.

а

2;
а

2;
а

2;



Неравенство (19) имеет 6 натуральных решений, если 4  а  3.
Ответ. 1) а  2 ; 2) a . ; 3) 1  а  2 ;
4) а  ; 5) a  1,5 ; 6) a . 7) 4  а  3.
21
20. Найдите все значения а, при которых неравенство
 x  a  2 x  2a  0 (20)
выполняется при всех х, таких, что 1  x  2.
Решение. Имеем
 x  2a  0,
 x  2a,

 x  a  2  x  2a  0  
 x  a  2  0;  x  a  2.
Если a  2  2a  a   2 3, то решением последней системы, а значит и неравенства (20) является интервал  2a; a  2  , где a   2 3.
Интервал  2a; a  2  при a   2 3 содержит отрезок  1; 2 , если
2a  1, a  0,5,

 a  0,5.

a

2

2;
a

0;


Ответ. a  0,5.
21. При каких значениях а область определения функции
f ( x)  arc sin  2ax  4a  1 (21)
а) является отрезком длиной меньше 3; б) содержит 6 целых отрицательных чисел в) содержит больше 3 целых положительных чисел?
Решение. Область определения функции определяется неравенством
2aх  4а  1  1,
aх  1  2a,

(21.1)
2aх  4a  1  1  
2
aх

4
а

1


1;
aх

2
a
.


0  х  1,
1. Если а  0 , то система (21.1) принимает вид 
Из послед0

х

0.

ней системы следует, что область определения функции (21) есть множество R , в которое входит бесконечное число как положительных, так и
отрицательных чисел.
 х  a 1  2,
2. Если а  0 , то система (21.1) равносильна системе 
 х  2.
Так как а  0 , то a1  2  2 , а это означает, что решением последней системы, а значит и областью определения функции (21), является отрезок
 2; a 1  2  , где а  0 .
а) Длина отрезка  2; a 1  2  , где а  0, меньше 3, если
 a 1  2   2  3,
a 1  3,

 a  1 3. .

а  0;
а  0;
22
Итак, если а  1\ 3;   , то область определения функции является
отрезок длиной меньше 3.
б) Область определения функции не содержит отрицательных чисел,
так как областью определения функции является отрезок  2; a 1  2  , где
а  0.
в) Отрезок  2; a 1  2  , где а  0 , содержит больше 3 целых положительных чисел (то есть отрезку принадлежат числа: 2, 3, 4, или 2, 3, 4, 5,
a 1  2  4,
a 1  2,
или 2, 3, 4, 5, …), если 

 0  a  0,5.
а  0;
а  0;
Итак, если а   0; 0,5  , то область определения функции содержит
больше 3 целых положительных чисел.
 х  a 1  2,
2. Если а  0 , то система (21.1) равносильна системе 
 х  2.
Так как а  0 , то a1  2  2 , а это означает, что решением последней
системы, а значит и областью определения функции (21), является отрезок  a 1  2; 2  , где а  0 .
а) Длина отрезка  a 1  2; 2  , где а  0 будет меньше 3, если
2   a 1  2   3,
a 1  3,

 a  1 3.

a

0;
a

0;


Итак, если а   ;  1\ 3 , то область определения функции является
отрезок длиной меньше 3.
б) Отрезку  a 1  2; 2  , где а  0 , принадлежат следующие 6 целых
отрицательных числа: –1, –2, –3, –4, –5, –6, если
6  2  a 1  7, 8  a 1  9,

 1 9  a  1 8 .

a

0;
a

0;


Итак, если а (1\ 9;  1\ 8], то область определения функции содержит 6 целых отрицательных чисел.
в) Отрезок  a 1  2; 2  , где а  0 , содержит только 2 целых положительных числа: 1, 2.
Ответ. а) а   ;  1\ 3  1\ 3;   ; б) а (1\ 9; 1\ 8]; в) а   0; 0,5  .
23
Упражнения
Решите системы и совокупности неравенств:
 x  2a  1,
 x  2a  1,
1. 
2. 
 x  3.
 x  3.
 x  3a  1,
 x  3a  1,
3. 
4. 
 x  2.
 x  2.
 x  2a  1,
 x  2a  1,
5. 
6. 
 x  a  5.
 x  a  5.
2
  a  2  x  a 2  2a ,
 a  2  x  a  2a,
7. 
8. 
 x  3.
 x  3.
 a 2  4  x  2a  a 2 ,
(a 2  4) x  2a  a 2 ,
9. 
10. 
 a  1 x  a  2.
 a  1 x  a  2.
a  2 x  1   a  1 x,
 a  2 x  1   a  1 x,
11. 
12.

2
2
a

2
x

3
x

a
.


 a  2  x  x  3a .

 a  3 x  2a  9,
 a  3 x  2a  9,
13. 
14. 
 a  1 x  x  1.
 a  1 x  x  1.
 x  a,
 x  a,
15. 
16. 
2
x

3

3
x

1
.


 2 x  3  3  x  1 .

 x  1  a,
 x  1  a,
17. 
18. 
 x  1 x  3  0.
 x  1 x  3  0.
Ответы.
1. Если а  2 , то x  [2a  1; 3) ; если а  2 , то x   .
2. Если а  2 , то x  R ; если а  2 , то x   ; 3  [2a  1; ) .
3. Если а  1, то x  [3a  1;2] ; если a  1 , то x  2 ; если a  1 , то
x .
4. Если а  1, то x  R ; если a  1 , то x  (; 2]  [3a  1; ) .
5. Если a  6 , то x  [а  5; ) ; если a  6 , то x  (2a 1; ) .
6. Если a  6 , то x  (2a 1; ) ; если a  6 , то x  [а  5; ) .
7. Если a  3 , то x  (; a] ; если 3  a  2 , то x  (;  3) ; если a  2 , то x   .
24
8. Если a  3 , то (;  3) ; если 3  a  2 , то (; a] ; если
a  2 , то x  R ; если a  2 , то x  (;  3)  [a; ) .
Пусть x1  a  a  2 1 и x2   a  2  a  11 .
9. Если a  2 , то x  ( x1 ; x2 ) ; если а  2 , то x  (; 0) ; если
2  a  1, то x  (; x2 ) ; если 1  a  2 , то x   ; если a  2 , то
x  ( x2 ; ) .
10. Если a  2 , то x  R ;
если а  1 , то x  (;1) ;
если
2  a  1, то x  ( ; x1 ) ; если 1  a  2 , то x  (; x1 )  ( x2 ; ) ; если
a  2 , то x  ( x1 ;  ) .
Пусть x1  a  a  1 и x2  3a 2  a  1 .
11. Если a  (; 0]  [1; ) , то x   ; если a   0;1 , то x  ( x1 ; x2 ) .
12. Если a  (; 0] , то x  (; x2 )  ( x1; ) ;
если a  (0;1] , то
x  R ; если a  1;   , то x  (; x1 )  ( x2 ; ) .
1
1
Пусть x1   2a  9  a  31 и x2   2  a  .
13. Если a  (;  3] , то x   ; если a  (3; 2], то
x  (; x1 ) ; если a   2;   , то x  ( x2 ; x1 ) .
14. Если a   ;  3 , то x  (; x2 )  ( x1; ) ; если a  3 , то
x  (;1 5) ; если a   3; 2  , то x  (; x2 ) ; если a [2; ) , то x  R .
15. Если a   ; 0  , то x  [6; ) ; если a [0; 6) , то
x  [6;  a)   a;   ; если a [6; ) , то x   a;   .
16. Если a  (; 6] , то x  R ; если a   6;   , то
x   ;  a   [6; ) .
17. Если a  (; 0] , то x   ; если a  (0; 2] , то x  (1  a;1] ;
если a   2;   , то x . (1  a;1]  [3;1  a).
18. Если a  (; 0] , то x  (;1] [3; );
если a   0; 2  , то
x  (; a  1]  [3; ); если a [2; ) , то x  R .
1
Решите неравенства:
19.
a
2
 5a  x
a5
a

;
a5
21. x  x 2  x  a;
23. . x  4  аx;
20.
a
2
 5a  x
a5

a
;
a5
22.  a  1 2  x  1;
24. x  5  аx;
25
25. log a ( a  1) x  1;
26. log x (ax  3)  1.
Ответы.
1
19. Если a   ;  5 , то x  ( a  5  ; 0] ; если a   5; 0 , то x   ;
если a   0;   , то x  [0;  a  5 ) .
1

;  .
20. Если a   ;  5 , то x  ;  a  5

если a   0;   , то x   a  5
1
1
 ; если a 5; 0, то x   ;
Пусть x0  a 2  2a  1 .
Если a   ; 0    0; 0,5 , то
x  ( x0 ; 0]  [1; ) ;
если a  0 , то x[1; ) ;
если a  0 , ,5 то
x  (; 0] [1; ) ; если a  1 , то x  (; 0] ; если a   0,5;1  1;   , то
x  (; 0]  [1; x0 ) .
1
21.
22. Пусть x0   a  1 . Если a  (;  1] , то x  (; 2] ;
a   1;   , то x  (2  x ; 2] .
2
если
0
23. Пусть x1  4 1  a  , x2  4  a  1
1
1
Если a   ;  1 , то
.
x   ; x2  ; если a [1; 0) , то x  R ; если a  0 , то
x   ; 4    4;   ; если a   0;1 , то x   ; x2    x1;   ;
если
a [1; ) , то x   ; x2  .
Пусть x1  4  a  1 , x2  4  a  1
Если a  (;  1] , то
x   ; x1  ; если a   1; 0 , то x   ; если a   0; 1 , то x   x2 ; x1  ; если
a  1;   , то x   x1 ;   .
1
24.
25. Пусть x0  a  a  1
a   ; 0   1 , то x .
1
1
Если a   0;1  1;   , то x   ; x0  ; если
26. Пусть x1  3 1  a  , x2  3a 1 . Если a   ;  3 , то x   x1; x2  ;
если a   3;  2 , то x   x1;1 ;
если a   2;1 , то x  1; x1  ; если
a [1; ) , то x  1;   .
27. Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств
 х  2  а,
 х  2  а,
а) 
б) 
имеет единственное решение.
3
х

6
a

4
3
х

6
a

4;


Ответ. а) а  10 9 ; б) a .
1
26
28. При каких значениях параметра а совокупность неравенств
 ах  1,
не имеет решений?
 2
 а  a  х  1
Ответ. a  0 .
29. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
 x  2a  4x  a  0 выполняется при всех х, таких, что 1  x  3.
Ответ. 1,5  a  4.
30. При каких значениях параметра а система неравенств
ах  4a 2  4a 1 х  3a 2 ,

x  4 / 3  a
а) имеет единственное решение; б) решением явля-
ется луч [0; ) ; в) решением является отрезок?
Ответ. а) а  4;1 ; б) а   ; в) а (4;  2)  (1; 2) .
31. При каких значениях параметра а решением совокупности
 x  5,
является луч?

а

2
х

3
a

4



Ответ. 3  a  2.
32. При каких значениях параметра а наименьшее целое число, явля x  2,
равно 1?
а

1
х

3
a
,



ющееся решением совокупности неравенств 
Ответ. 0  a  0,5.
33. Найдите все значения параметра а, при которых решением сово ах  6a  4a 1 х  5a,
купности неравенств 
1  a  x  a
является луч и определите, при
каких значениях параметра а в этом случае множество решений совокупности содержит а) ровно 5 натуральных чисел; б) не менее 7 натуральных
чисел.
Ответ. а  (2;  1]  (0; 2] ; а) a ; б) а  (2;  1].
ах  а  a 2  4,
34. Решите систему неравенств 
Определите, при каких
 x  10.
значениях параметра а множество решений системы содержит а) ровно 5 целых чисел; б) не более 3 целых чисел.


Ответ. Пусть x0  a 2  4 . Если a  2;  2 26 ; то x  (;10] ;


если а   2 26;  2  , то x  (; x0 ] ; если а   2; 2   2 26;  , то


27
x   ; если а [2; 2 26) , то x   x0 ;10 ; если а  2 26 , то x  10 ;
а) а 


29; 40 ; б) а  ( 53; 2 26] .
35. Определите при каких значениях параметра а решением неравенства а) х  3   а  2  х  2 ; б) х  3   а  2  х  2 является отрезок.
Ответ. а) a (8/3;  1) ; б) a  .
36. При каких значениях параметра а решением неравенства
х  5a  20   а  1 х является объединение двух промежутков, пересечение которых пусто и в этом случае число –15 принадлежит этому множеству решений?
Ответ. a   2; 0  ; a   2;  1.
37. Решите неравенство log a2 1 (2ax  a 2  2a  1)  1. Определите при
каких значениях параметра а число 2 не удовлетворяет неравенству.
Ответ. Пусть x1  1  a 1 , x2  0,5a 1  1  0,5a . Если a (; 0) ,
то x  [ x1; x2 ) ; если a  0 ; то x   , если a (0; ) ; то x  ( x2 ; x1 ] ; число 2 не удовлетворяет неравенству, если a    2  1; 2  1  1;  .
38. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
2 х  a  х  2а  6 1) имеет решение; 2) имеет единственное решение; 3)
имеет только положительные решения; 4) имеет только отрицательные
решения; 5) хотя бы одно решение, принадлежит отрезку  1; 0,5 ; 6)
ровно 9 целых чисел, принадлежат множеству решений неравенства.
Ответ. 1) а [4; ) ; 2) а  4 ; 3) а [4;  2) ; 4) а  ;
5) а[2,5; ) ; 6) a [0;1).
39. При каких значениях параметра а область определения функции
f ( x)  arcco s   a  1 x  5a  4  а) является отрезком длиной меньше 4;
б) содержит 5 натуральных чисел в) содержит больше 4 целых отрицательных чисел?
Ответ. а) а   ;  1,5   0,5;   ;
б) а [1,5;  1,4)  ( 3 5;  0,5] ;
в) а  (1; 0,8] .
28
Оглавление
Основные определения
1
Дополнительная задача
2
Примеры решения систем
линейных неравенств с одной переменной
3
Примеры решения совокупностей
линейных неравенств с одной переменной
8
Разные задачи
11
Упражнения
24
29