ZBМ-ММЭ-2-1 Контрольная 4 семестр 1. Дана функция двух переменных z f ( x, y ) . Доказать данное тождество. Вариант 1. z cos y ( y x) sin y, ( x y) 2 z z . xy y Вариант 2. z y 1 z 1 z z , F 2 0. 2 5 x x y y y (x y ) Вариант 3. z y2 z z arcsin( xy), F x 2 xy y 2 0. 3x x y 2 Вариант 4. z ln( x 2 y 2 2 x 1), Вариант 5. z e xy , F x 2 2 2z 2z 2 z 2 xy y 2 xyz 0. xy x 2 y 2 Вариант 6. z ln( x e y ), F Вариант 8. z 2z 2z 0. x 2 y 2 z 2 z z 2 z 0. x xy y x 2 x 2 z z , x 0. y xy y Вариант 9. z sin( x ay ), x y Вариант 10. z e ln y, x 2 2z 2 z a . y 2 x 2 z z z y . x y ln y 2. Дана функция z f x, y , точка А и вектор l . Найти градиент функции в точке А и производную z A . l Вариант 1. z 3x 2 y 2 5 y 2 x; Вариант 2. z 2 x 2 3xy y 2 ; A1; 1; A2; 1; l 2i j. l 3i 4 j. Вариант 3. z ln 5 x 2 3 y 2 ; A1; 1; Вариант 4. z 3x 4 2 y 3 x 2 ; A 1; 2; Вариант 5. z arctg xy 2 ; A2; 3; Вариант 6. z 5 x 2 6 yx; A2; 1; Вариант 7. z ln 5 x 2 4 y 2 ; Вариант 8. z arctg 2 xy 2 ; l 3i 2 j. l 4i 3 j. l 4i 3 j. l i 2 j. A1; 1; A1; 1; l 2i j. l 2i 2 j. Вариант 9. z 3xy 3 3x 3 y 2 ; A1; 2; Вариант 10. z arcsin x 2 y 2 ; 1 1 A ; ; 2 2 l 2i 2 j. l 2i j. 3. Исследовать на экстремум функцию Вариант 1. z x 3 y 3 3xy, Вариант 2. z x 3 8 y 3 6 xy 1, Вариант 3. z x 2 xy y 2 2 x 3 y, Вариант 4. z x 2 xy y 2 3x 6 y, x 2 Вариант 5. z e x y 2 , Вариант 6. z 3x 2 x 3 3 y 2 4 y, Вариант 7. z 2 x 3 xy 2 5 x 2 y 2 , Вариант 8. z y x y 2 x 6 y, Вариант 9. z 6 xy 9 y 2 9 x 2 4 x 4 y, Вариант 10. z y2 x2 2 xy 4 x 5 y. 2 2 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D. Вариант 1. z x 2 2 y 2 1 ; D : x 0; y 0; x y 3. Вариант 2. z 3 2 x 2 xy y 2 ; D : x 1; y 0; y x. Вариант 3. z 5x 2 3xy y 2 4 ; D : x 1; y 1; x y 1. Вариант 4. z x 2 xy 2 ; D : 4 x 2 4 y 0. Вариант 5. z x 2 y 2 9 xy 27 ; Вариант 6. z x 2 3 y 2 x y ; Вариант 7. z x 2 2 xy 2 y 2 ; Вариант 8. z x 2 xy ; D : 0 y 3, 0 x 3. D : x 1; y 1; x y 1. D : 0 y 2, 1 x 1. D : 0 y 3, 1 x 1. Вариант 9. z x xy y ; D : 2 y 3, 1 x 2. Вариант 10. z 3x 2 5 y 2 6 x 20 y 5 ; 1. Дана функция двух D : 0 y 5, 0 x 5. z ln e x e y . переменных 2 2z 2z 2z 0. x 2 y 2 xy Решение Вычислим частные производные: z e e e e z ex x , 2 2 x e e y x ex ey 2 x x y 2x e e x y x ey 2 , Доказать тождество z e e e e z ey x , 2 2 x e e y y ex e y 2 2z e x y xy ex ey y 2 x y 2y e e x y x ey 2 , . Подставляя полученные выражения в заданное уравнение, получим e e 2 x y x e e y 4 e 2 x y e x 0. y 4 2. Дана функция z arctg x y 2 , точка А(1; 2) и вектор l 4i j . Найти градиент функции в точке А и производную z A . l Решение. Вычислим значения частных производных в точке А. z x 1 z y 1 1 xy ; 2y xy 1 2 2 2 2 ; 2 x z A 1 1 1 . x 1 25 2 52 z A 4 2 . y 1 25 13 Тогда grad z A i 2j . 52 13 Длина вектора l : l 4 2 1 17 . 1 2 4 1 z A 52 13 3 . l 17 13 17 3. Исследовать на экстремум функцию z 1 x y xy 47 x y . 2 3 4 Решение. Найдем частные производные первого порядка: z 1 2 47 y x , x 12 3 3 Находим z 1 1 47 y x . y 2 12 4 стационарные точки, воспользовавшись необходимым условием экстремума: 2 47 1 12 y 3 x 3 0, 1 y 1 x 47 0, 2 12 4 8 x y 188, x 6 y 141. Решая систему, находим х = 21, у = 20; стационарная точка М(21; 20). Найдем значения производных второго порядка в точке М: 2z 2 2z 1 2z 1 , , . Составим из полученных чисел определитель: 2 2 3 y 2 xy 12 x 2 3 1 12 1 12 1 1 0. 1 3 144 2 Следовательно, в точке М(21; 20) функция имеет максимум: z max z M 282 . 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x 3 y 3 3xy в области D : 0 x 2, 1 y 2. Решение. Данная область – прямоугольник. 1). Найдем стационарные точки, принадлежащие области D. z x 0 z z 2 2 ; 3x y , 3 y x . Составим и решим систему уравнений: z x y 0 y x 2 y 0, Решая систему, найдем точки Р1(0, 0) и Р2(1, 1). 2 y x 0. Значения функции в этих точках z1=0, z2= -1. 2). Исследуем функцию на границах области. а) При х=0 имеем z y 3 . Эта функция монотонно возрастает и на концах отрезка 1, 2 принимает значения: z y 1 1, z y 2 8. б) При х=2 имеем z 8 y 3 6 y . Найдем значения этой функции в стационарной точке и на концах отрезка 1, 2 . Имеем z 3 y 2 6 ; z 0 при y 2 2 , или, в данной области, при y 2 ; z y 2 8 2 2 6 2 8 4 2 ; z y 1 13, z y 2 4. в) При у= -1 имеем z x 3 1 3x и z 3х 2 3 0 . Функция монотонно возрастает от z х0 1, z х2 13. г) При у= 2 имеем z x 3 8 6 x , z 3 х 2 6 ; z 0 при x 2 ; z x 2 84 2 ; z x0 8, z x2 6. 3) Сравнивая все полученные значения функции находим z наиб 13 в точке (2, -1); z наим 1 в точках (1, 1) и (0, -1).