Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков.
Формула Тейлора.
Определение: Дифференциалом порядка k, k>1 от функции f(x,y) в точке (x0,y0)
называется дифференциал от дифференциала порядка k-1.
d k f ( x0 , y 0 )  d (d k 1 f ( x0 , y 0 ))
Можно по индукции доказать следующее равенство:
 k f ( x0 , y 0 )
d f ( x0 , y 0 )   C
(dx) s (dy ) k  s , k = 1, 2…
s
k s
x y
s 0
k
k
s
k
Так, при k=2 и k=3 получим следующие равенства:
 2 f ( x0 , y0 )
 2 f ( x0 , y0 )
 2 f ( x0 , y0 )
2
d f ( x0 , y0 ) 
(dx)  2
(dx)( dy) 
(dy) 2
2
2
x
xy
y
2
 3 f ( x0 , y 0 )
 3 f ( x0 , y 0 )
 3 f ( x0 , y 0 )
3
2
d f ( x0 , y 0 ) 
(dx)  3
(dx) (dy )  3
(dx)( dy ) 2 
3
2
2
x
x y
xy
2
 3 f ( x0 , y 0 )

(dy ) 3 .
3
y
Заметим, что свойством инвариантности относительно замены переменных обладает
только первый дифференциал. Однако, если замена переменных линейная, им будут
обладать все дифференциалы порядков выше первого, так как в этом случае d2x=0 и
d2y=0. В частности, при замене x = a + bt, y = c + et, a, b, c, e   , получим равенства:
 n f ( x0 , y0 )
d f ( x0 , y0 )   C
(dx) k (dy ) nk  f n (t0 )( dt ) n ,
k
nk
x y
s 0
x0  a  bt0 , y0  c  et0 .
n
n
k
n
Формула Тейлора для функции f(x,y).
Теорема. Пусть функция f(x,y) и все её частные производные до порядка n+1
непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Тогда справедлива формула Тейлора:
d n f ( x0 , y0 )
f ( x, y)  f ( x0 , y0 )  df ( x0 , y0 )   
 R,
n!
где dx=x-x0, dy=y-y0 и
d n 1 f ( x1 , y1 ) x1  ( x0 , x)
R
,
- остаток в форме Лагранжа.
y1  ( y 0 , y )
(n  1)
Пусть точка (x,y) лежит в рассматриваемой окрестности точки (x0,y0). Сделаем
следующую замену переменных:
 x'  x0  ( x  x0 )t
t  [0,1].

 y '  y 0  ( y  y 0 )t
Зафиксируем значения x и y. Тогда справедлива формула Тейлора для функции
f1(x)=f(x’,y’) в точке t=0:
n 1
df1 (0)
d n f1 (0)
f1 (t )  f1 (0) 

 R, где R  d f1 (t ' ) , t ' (0,1)
1!
n!
n!
С другой стороны в силу инвариантности дифференциалов при линейной замене
получим равенство:
d n f1 ( x0 , y 0 )
f1 (t )  f ( x' , y' )  f ( x0 , y0 )  df ( x0 , y0 ) 
 R, где
n!
d n1 f1 ( x1 , y1 )
R
. Теорема доказана.
(n  1)!
Необходимое и достаточное условие локального экстремума для функции f(x,y).
Определение: точка (x0,y0) называется точкой локального максимума функции f(x,y),
если найдётся такая окрестность точки (x0,y0), что для всех точек ( x, y)  ( x0 , y0 ) из этой
окрестности выполняется неравенство: f(x,y) < f(x0,y0). Если выполняется обратное
неравенство, f(x,y) > f(x0,y0), то такая точка называется точкой локального минимума
функции f(x,y).
Точка (x0,y0) называется точкой максимального экстремума, если она является либо
точкой локального максимума, либо точкой локального минимума функции f(x,y).
Теорема (необходимое условие локального экстремума).
f f
Пусть функция f(x,y) и её частные производные
непрерывны в точке (x0,y0).
,
x y
Кроме того, точка (x0,y0) есть точка локального экстремума функции f(x,y). Тогда
выполняются равенства:
f ( x 0 , y 0 )
f ( x0 , y0 )
 0 или df ( x0 , y0 )  0.
0 и
y
x
Доказательство.
Зафиксируем переменную y, положив y=y0. Рассмотрим функцию f(x,y0), которая есть
функция от x, и в точке x=x0 эта функция имеет локальный экстремум. Тогда по теореме
f ( x 0 , y 0 )
f ( x0 , y0 )
 0 . Теорема доказана.
Ферма:
 0 . Аналогично доказывается, что
y
x
Теорема (достаточное условие локального экстремума).
f f  2 f  2 f  2 f
,
,
Пусть функция f(x,y) и её частные производные
непрерывны в
, ,
x y x 2 xy y 2
окрестности точки (x0,y0). Кроме того, выполняются следующие условия:




1) df(x , y )  0
0
0

2

 f(x 0 , y 0 )
A2) Δ 1 
0
x 2


  2 f(x 0 , y 0 )  2 f(x 0 , y 0 ) 



xy 
x 2
3) Δ  det 
0
2
  2 f(x 0 , y 0 )  2 f(x 0 , y 0 ) 




y 2
 xy


Тогда точка (x0,y0) есть точка локального минимума.
или
1) df ( x0 , y 0 )  0

B 2) 1  0
3)   0
2

Тогда точка (x0,y0) есть точка локального максимума.
Доказательство.
Воспользуемся формулой Тейлора при n=2:
1
1
f(x,y) = f(x0,y0) + df(x0,y0) + d 2 f ( x, y ) или f(x,y) - f(x0,y0) = d 2 f ( x, y ).
2
2
Знак левой части последнего равенства определяется знаком d 2 f ( x, y ). Пользуясь
критерием Сильвестра
d 2 f ( x, y)  0  1  0 и  2  0 .
d 2 f ( x, y)  0  1  0 и  2  0 .
Следовательно, если выполнены условия A, то d 2 f ( x, y) и f(x,y) - f(x0,y0) > 0, т. е. точка
(x0,y0) есть точка локального минимума.
Если выполнены условия B, то (x0,y0) есть точка локального максимума. Теорема
доказана.