является при бесконечно малой величиной более высокого

255
является при P → P0 бесконечно малой величиной более высокого порядка малости
по сравнению с ρ n ( P, P0 ) , где ρ =
форме Пеано
(x − x ) + ( y − y )
2
0
2
0
, т.е. можно представить его в
R( x , y ) = 0( ρ n )
Пример. Записать формулу Тейлора при n=2 с остаточным членом в форме
, ).
Пеано для функции f ( x , y ) = 2 xy в точке P0 (11
Для любых x , y ∈ Or ( P0 ) имеет место формула Тейлора второго порядка
1
f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) + df ( x 0 , y 0 ) + d 2 f ( x 0 , y 0 ) + o( ρ 2 )
2
или в краткой записи
1
f ( P) = f ( P0 ) + df ( P0 ) + d 2 f ( P0 ) + o( ρ 2 )
2
Проведем вычисления:
(
) (
f ( P0 ) = 2, df ( P0 ) = f x′( P0 ) dx + f y′( P0 ) dy = y 2 xy ln 2 ⋅ ( x − 1) + x 2 xy ln 2 ⋅ ( y − 1)
= 2 ln 2 ⋅ ( x − 1) + 2 ln 2 ⋅ ( y − 1) .
)
d 2 f ( P0 ) = f xx′′ ( P0 ) dx 2 + 2 f xy′′ ( P0 )dxdy + f yy′′ ( P0 )dy 2 =
(
= y 2 2 xy ln 2 2 ⋅ ( x − 1) + 2( 2 xy ln 2 + xy 2 xy ln 2 2)( x − 1)( y − 1) + x 2 2 xy ln 2 2 ⋅ ( y − 1)
2
2
P0
)
P0
=
=
= 2 ln 2 2 ⋅ ( x − 1) + 2( ln 2 + 2 ln 2 2)( x − 1)( y − 1) + 2 ln 2 2 ⋅ ( y − 1) .
2
2
Следовательно
2 xy = 2 ln 2 ⋅ ( x − 1) + 2 ln 2 ⋅ ( y − 1) +
+ ln 2 2 ⋅ ( x − 1) + ( ln 2 + 2 ln 2 2)( x − 1)( y − 1) + ln 2 2 ⋅ ( y − 1) + o( ρ 2 ) ,
2
2
где ρ 2 = ( x − 1) + ( y − 1) .
2
2
С помощью формулы Тейлора для функции двух аргументов приближенно вычисляют значение функции, а также исследуют такую функцию на экстремум.
§ 12 Локальные экстремумы функции двух переменных
Определение Точка P0 ( x 0 , y 0 ) называется точкой локального максимума (ми-
нимума) функции z = f ( x , y ) , если существует δ окрестность этой точки, такая,
что для всех P( x , y ) ∈ O& δ ( P0 ) выполняется неравенство
f (x 0 , y 0 ) > f (x, y)
( f ( x , y ) < f ( x, y )) .
0
0
Значение f ( x 0 , y 0 ) называют локальным максимумом (минимумом) и пишут
max f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 )
P∈Oδ ( P0 )
⎛
⎞
⎜ min f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 )⎟ .
⎝ P∈Oδ ( P0 )
⎠
Точки максимума или минимума функции называются точками экстремума
функции, а максимумы или минимумы называют экстремумами функции.
256
Например, функция z = 1 − ( x − 1) − ( y − 1) имеет локальный максимум в точке
2
2
Р(1,1).
Функция z = ( x − 1) + ( y − 2) имеет локальный минимум в точке Р(1,2).
2
2
Отметим, что если функция z = f ( x , y ) имеет в точке P0 ( x 0 , y 0 ) локальный экстремум, то
f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) = Δz < 0 ,
в случае локального максимума,
f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) = Δz > 0
в случае локального минимума.
z
z
f(P)
f(P)
y
y
P
P
x
x
Из сказанного следует, что важную роль для определения экстремума играет
полное приращение функции, но вычислить его для каждой точки выколотой окрестности невозможно. Поэтому необходимо искать другие условия для нахождения и
определения характера экстремума в данной точке.
Теорема (необходимые условия существования локального экстремума ).
Если в точке P0 ( x 0 , y 0 ) дифференцируемая функция f ( x , y ) имеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
(23)
f x′( x 0 , y 0 ) = f y′( x 0 , y 0 ) = 0
или, по крайней мере, одна из них не существует.
> Рассмотрим в Oδ ( P0 ) лишь те точки, в которых y = y 0 . Получим функцию
z = f ( x , y 0 ) = ϕ ( x ) одной переменной х. Эта функция имеет в точке x 0 экстремум, сле-
довательно ϕ ′( x 0 ) = f x′( x 0 , y 0 ) = 0 или не существует.
Аналогично доказывается, что f y′( x 0 , y 0 ) = 0 . <
257
Например, функция f ( x , y ) = 1 − x 2 + y 2 имеет максимум в точке О(0;0) частные производные
f x′( x , y ) =
−x
x +y
2
2
, f y′( x , y ) =
−y
x2 + y2
в точке О(0;0) не существуют.
Следствие Если функция f ( x , y ) имеет в точке P0 ( x 0 , y 0 ) локальный экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен нулю или не существует.
Точка P0 ( x 0 , y 0 ) , в которой выполняется условие (23), называется точкой возможного экстремума (или стационарной точкой).
Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным условием существования экстремума.
Теорема (достаточные условия существования локального экстремума).
Пусть P0 ( x 0 , y 0 ) - стационарная точка трижды дифференцируемой в Oδ ( P0 ) функции и пусть
H ( P0 ) =
f xx′′ ( P0 ) f xy′′( P0 )
f xy′′ ( P0 ) f yy′′ ( P0 )
=
A B
= AC − B 2 .
B C
Тогда стационарная точка P0 ( x 0 , y 0 ) является:
1) точкой локального максимума, если H ( P0 ) > 0 и f xx′′( x 0 , y 0 ) < 0 ;
2) точкой локального минимума, если H ( P0 ) > 0 и f xx′′ ( x 0 , y 0 ) > 0 ;
3) если H ( P0 ) < 0 , то стационарная точка P0 не является точкой локального
экстремума функции.
> Из определения локального экстремума следует, что, если функция z = f ( x , y )
имеет в точке P0 ( x 0 , y 0 ) локальный максимум то Δz < 0 для ∀P ∈ O& δ ( P0 ) ; если же
P0 ( x 0 , y 0 ) является точкой локального минимума, то Δz < 0 для ∀P ∈ O& δ ( P0 ) .
Для определения знака приращения Δz разложим функцию z = f ( x , y ) по формуле Тейлора:
1
1
1
Δz = df ( x 0 , y 0 ) + d 2 f ( x 0 , y 0 ) +...+ d n f ( x 0 , y 0 ) +
d n +1 f (ξ , η) ,
n!
2
( n + 1)!
где df ( x 0 , y 0 ), d 2 f ( x 0 , y 0 ),..., d n f ( x 0 , y 0 ) - дифференциалы соответствующих порядков
функции z = f ( x , y ) , вычисленные в точке P0 ( x 0 , y 0 ) ; d n+1 f (ξ , η) дифференциал (n+1)
порядка функции z = f ( x , y ) , вычисленный в точке P(ξ , η ) , x 0 < ξ < x , y 0 < η < y . Оставим в формуле Тейлора только два первых члена, т.е.
1
Δz ≈ df ( x 0 , y 0 ) + d 2 f ( x 0 , y 0 ) .
2
Так как P0 ( x 0 , y 0 ) - стационарная точка, то дифференциал первого порядка, вычисленный в этой точке равен нулю. Следовательно
Δz ≈
(
)
1 2
1
d f ( x0 , y0 ) =
f xx′′ ( x 0 , y 0 )Δx 2 + 2 f xy′′ ( x 0 , y 0 )ΔxΔy + f yy′′ ( x 0 , y 0 )Δy 2 .
2
2
258
Введем обозначения:
A = f xx′′ ( x 0 , y 0 ),
B = f xy′′ ( x 0 , y 0 ),
C = f yy′′ ( x 0 , y 0 ) .
Тогда с учетом того факта, что Δy ≠ 0 , имеем
( Δy )
⎛ ⎛ Δx ⎞ 2
⎞ ( Δy ) 2
⎛ Δx ⎞
⎜
Δz ≈
A⎜ ⎟ + 2 B⎜ ⎟ + C⎟⎟ =
( At 2 + 2 Bt + C) .
2 ⎜⎝ ⎝ Δy ⎠
2
⎝ Δy ⎠
⎠
Из последнего равенства видно, что знак Δz определяется знаком трехчлена
Δx
At 2 + 2 Bt + C , где t =
. Так как дискриминант B 2 − AC < 0 , то квадратный трехчлен
Δy
действительных корней не имеет, следовательно Δz сохраняет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента А. В данном случае точка P0 ( x 0 , y 0 ) является точ2
кой локального экстремума. Укажем вид этого экстремума:
если B 2 − AC < 0 ⇔ H ( P0 ) = AC − B 2 > 0 , то ∀A > 0 ⇒ Δz > 0 ⇒ P0 ( x 0 , y 0 ) - точка ло-
кального минимума, а ∀A < 0 ⇒ Δz < 0 ⇒ P0 ( x 0 , y 0 ) - точка локального максимума.
Если B 2 − AC > 0 , то трехчлен имеет два действительных корня, и в промежутке
изменения t Δz меняет знак. Поэтому при B 2 − AC > 0 ⇔ H ( P0 ) = AC − B 2 < 0 точка
P0 ( x 0 , y 0 ) не является точкой локального экстремума.
Если B 2 − AC = 0 , то стационарная точка P0 ( x 0 , y 0 ) будет точкой локального
минимума при A>0 и локального максимума при A<0.
1
2
Если B 2 − AC = 0 и A = 0 , то Δz ≈ C( Δy ) . Следовательно знак Δz определяется
2
знаком коэффициента С. Поэтому стационарная точка P0 ( x 0 , y 0 ) будет точкой локального минимума при С>0 и локального максимума при С<0. <
x
2
Пример Исследовать на экстремум функцию z = e ( x + y 2 ) .
Вычисляем частные производные первого порядка:
z x′ =
1 x2
e ( x + y 2 + 2),
2
x
z ′y = 2 ye 2 .
Найдем стационарные точки
⎧z x′ = 0, ⎧x + y 2 + 2 = 0, ⎧x 0 = −2,
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩ y 0 = 0.
⎩z ′y = 0, ⎩ y = 0,
Таким образом, существует только одна стационарная точка P0 ( − 2;0) . Вычислим значения вторых частных производных в точке P0 (− 2;0) :
x
1 2x
1
2
2
A = z xx′′ ( P0 ) = e ( x + y + 4) =
, B = z xy′′ ( P0 ) = ye
P0
4
2e
C = z ′′yy ( P0 ) = 2e
x
2
=
P0
Находим дискриминант
2
.
e
= 0,
P0
259
1
= 2e
H ( P0 ) =
B C
0
A B
0
2
e
=
1
> 0.
e2
Так как еще A>0, то точка P0 (− 2;0) является точкой локального минимума:
1
z min = z( − 2,0) = − ;
e
Пример. Исследовать на экстремум функцию z = e − x ( x + y 2 ).
Вычислим частные производные первого порядка:
z x′ = e − x (1 − x − y 2 ) , z ′y = 2 ye − x .
Для определения точек возможного экстремума решим систему уравнений:
⎧z x′ = 0, ⎧1 − x − y 2 = 0, ⎧x 0 = 1,
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩ y 0 = 0.
⎩z ′y = 0, ⎩ y = 0,
Имеем стационарную точку P0 (1;0) . Вычислим частные производные второго порядка
1
A = z xx′′ ( P0 ) = e − x ( x + y 2 − 2) x =1, = − ;
y=0
e
2
B = z xy′′ ( P0 ) = −2 ye − x P = 0; C = z xy
′′ ( P0 ) = 2e − x P = ;
0
0
e
Так как
H ( P0 ) =
то в точке P0 (1;0) экстремума нет.
A B
B C
=
−
1
e
0
0
2
e
=−
2
<0,
e2
Пример. Исследовать на экстремум функцию z = x 4 + y 4 .
Вычислим частные производные первого порядка:
z x′ = 4 x 3 , z ′y = 4 y 3 .
Решая систему уравнений
⎧ z x′ = 0, ⎧⎪ x 3 = 0, ⎧ x 0 = 0,
⇒⎨ 3
⇒⎨
⎨
⎩ z ′y = 0, ⎪⎩ y = 0, ⎩ y 0 = 0,
находим стационарную точку P0 ( 0;0) . Вычисляем частные производные второго порядка:
A = z xx′′ ( P0 ) = 0, B = z ′′yx ( P0 ) = 0, C = z ′′yy ( P0 ) = 0 .