УДК 519

УДК 519.652
П.А.Ким
ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАСШТАБИРУЕМОЙ МОДЕЛИ РЕЛЬЕФА
Исходно масштабируемая модель рельефа, задается конструктивно как
интегральная гладкая аппроксимация ступенчатой модели рельефа,
определяемой дискретным множеством опорных точек, в которых задается
усредненная высота ступенек, проекции которых определяют разбиениепокрытие опорной горизонтальной области задания рельефа. Поскольку
поверхность модели выбирается из условия минимальности ее площади, то ее
уравнение должно удовлетворять уравнению Пуассона с константной правой
частью для каждого площадного элемента. Работа частично поддержана
грантом РФФИ 10-07-00131.
P.A.Kim
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS
6, prospect Akademika Lavrentjeva, Novosibirsk, 630090, Russian Federation.
DIFFERENTIAL REPRESENTATION OF SCALED MODEL OF THE RELIEF
Initially the scaled model of the relief as integrated smooth approximation of step model of the relief defined by discrete
set of reference points in which the average height of the steps which projections define splitting-covering of basic
horizontal domain specifying the relief is structurally designed. As far as the model surface gets out from the condition
of a minimality of its area then the function should satisfy to the Poisson equation with a constant right part for each
splitting element.
Подавляющая часть жизнедеятельности человечества проистекает на земной
поверхности. Даже космические технологии неразрывно связаны с
определением местоположения тех или иных объектов на Земле. В этой связи,
понятно, что многообразие, порой противоречивых требований к формальной
модели земной поверхности, создает непреодолимую преграду на пути
создания единственной универсальной модели. Измерение объемов выбранного
грунта в открытых карьерах, имеющих протяженность более 40 километров, и
вызванные тем самым изменения рельефа, осушение акваторий, прокладка
дорог, определение зон радиовидимости, оценка освещенности, как фактора
развития биоценоза – все эти задачи используют свои формализации рельефа. В
настоящей работе представленная модель рельефа также не претендует на
глобальное решение задачи описания поверхности, но должна рассматриваться
как очередной технологический этап в процессе обеспечения отдельных
функциональных потребностей жизнеобеспечения. Таким образом, требования
к формальной строгости модели земной поверхности не являются
критическими с точки зрения ее применимости и не препятствуют разработке
алгоритмов практической направленности [1-4].
Масштабируемая модель f ( x, y ) строится на основе ступенчатой модели
рельефа, задаваемой высотами ступенек над участками разбиения. Когда
поверхность задана уравнением z  f ( x, y ) , то площадь поверхности
вычисляется по формуле
S   ( f x' ) 2  ( f y' ) 2  1dxdy . здесь G - проекция
G
поверхности S на плоскость xOy. Искомой поверхностью выберем решение,
имеющее минимальную площадь всей поверхности, и удовлетворяющее
граничным условиям по границе области. При этом на каждом участке
разбиения должно сохраняться равенство объема над участком разбиения
«объему соответствующей ступеньки». То есть, для каждого участка
выполнено (i ) f ( x, y )dxdy  SG  hG где, S G -площадь соответствующего
i
i
i
Gi
участка, а hG - усредненное значение высоты для данного участка. Также и
интеграл по всей территории, должен равняться сумме объемов конечного
числа разбиений. при минимальности площади обтягивающей поверхности.
i
 f ( x, y )dxdy   S
G
Gi
 hGi
i
Искомая функция выбирается по минимальной площади поверхности из
класса/семейства непрерывных функций, у которых объем (или интеграл по
элементу разбиения равен объему соответствующей ступеньки.
Известно, что минимальная поверхность отвечает уравнению Пуассона
f ( x, y )  k для напряженной мембраны-пленки, где  
2
2
- оператор

x 2 y 2
Лапласа или лапласиан, k – константа, а мембрана - очень тонкое твердое тело,
натянутое равномерно по всем направлениям. Пусть в спокойном состоянии
она расположена в плоскости хОу. Будем предполагать, что эта пленка столь
тонка, что не сопротивляется изгибу. В изогнутом состоянии уравнение ее
будет f= f(х,у). Какой бы участок S этой мембраны мы ни выделили, будем
считать, что со стороны остальной части мембраны на этот участок действует
направленное по нормали к контуру равномерно распределенное натяжение T,
лежащее в касательной плоскости к мембране [5].
f
В этом случае поверхность масштабируемой модели рельефа задается гладкосопряженными решениями уравнений Пуассона с правыми частями ki, в свою
очередь, задающими другую ступенчатую функцию. Будем называть такие
поверхности пуассоновскими. Таким образом, ступенчатой функции через
переход к пуассоновской поверхности соответствует также ступенчатая
функция заданная на той же области определения, с тем же разбиением
покрытия. Следовательно, к этой ступенчатой поверхности возможно вновь
применить описанное преобразование. Предполагается, что этот процесс
сходится к поверхности задаваемой уравнением Лапласа, т.е. к поверхности
гармонической функции.
С другой стороны, если мы будем уменьшать размеры площадей участков
разбиения, то мы придем к уравнению Пуассона для произвольной правой
части. Таким образом, всякая поверхность приближается последовательностью
пуассоновских поверхностей. Поскольку решение дифференциального
уравнения может привести к аналитически непредставимым функциям, то
представляет несомненный интерес исследование прямого и обратного
преобразования Пуассона, устанавливающих соответствия между функциями и
их лапласианами.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
[1]Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.Наука, 1966, 443с
[2]Ким П.А. ГЕНЕРАЦИЯ ПРОФИЛЕЙ МАСШТАБИРУЕМОЙ МОДЕЛИ РЕЛЬЕФА. // Труды VI
Международного научного конгресса «ГЕО-Сибирь-2010», 19-29 апреля 2010, Новосибирск, Россия, т.4, ч.1.
«Дистанционные методы зондирования Земли и фотограмметрия, мониторинг окружающей среды,
геоэкология», с. 107-110.
[3]Ким П.А. МИНИМИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА // Международный
симпозиум "Образование, наука и производство:… " ( Комсомольск - на- Амуре, 26-28 октября 2010 года): В 5
т. Т.4, ГОУ ВПО "КнАГТУ",2010. стр.261-264
[4]Ким П.А. ПОЛИДУГА КАК ЭЛЕМЕНТ КОНСТРУИРОВАНИЯ ПРОФИЛЕЙ МАСШТАБИРУЕМОЙ
МОДЕЛИ РЕЛЬЕФА. // Труды Международного научного конгресса «ГЕО-Сибирь-2007», 25-27 апреля 2007,
Новосибирск, Россия, т.3 «Дистанционные методы зондирования Земли и фотограмметрия, мониторинг
окружающей среды, геоэкология», с.188-192.
[5] Ким П.А Порождение геометрических объектов итерационным способом. Труды 15 Международной
конференции по компьютерной графике и ее приложениям ГрафиКон"2005. 20-24 июня 2005 года Россия
Новосибирск Академгородок, ИВМиМГ СО РАН стр.216-223
 П.А.Ким. 2010