Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лямбирская средняя общеобразовательная школа№1» Из опыта работы

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Лямбирская средняя общеобразовательная школа№1»
Из опыта работы
учителя математики
Базакиной Анны Васильевны
Лямбирь 2008 г.
Составитель: Базакина А.В. – учитель математики МОУ «Лямбирская
СОШ №1»
Рецензент: Богомолова Г.А. – заслуженный учитель РФ, методист МРИО
Педагогический стаж Анны Васильевны 25 лет. Ведет уроки
математики. Она педагог с хорошей методической подготовкой,
умело применяющей теорию на практике. Ее отличают творческий
подход и интерес к своему делу. На уроках учит выделять в
информации существенное, учит формировать интеллектуальные
умения и навыки. Ценит в работе инициативу, самостоятельность и
активность.
Работая над проблемой «Математическое моделирование»,
эффективно использует активные формы обучения: лекции,
семинары, дидактические игры. Умело активизирует учебнопознавательную деятельность учащихся и учителей.
В своей работе использует элементы передового опыта
учителей-новаторов. Применяет индивидуальный подход к
обучению и воспитанию учащихся на уроках при опросе, сообщении
нового
материала,
организации
самостоятельной
работы.
Добивается высокого качества знаний, умений и навыков в
преподавании математики. Правильное организованное повторение
способствует глубокому осмыслению материала, его прочному
усвоению, систематизации и обобщению знаний, развитию памяти и
логического мышления учащихся. Проводя повторительнообобщающие уроки, прежде всего определяет содержание объем
материала, его связь и отношения с другими темами. Постановкой
вопросов, подбором заданий по форме и характеру побуждает
учащихся к переосмыслению ранее полученных знаний. Чтобы
уроки не были шаблонны и скучны, использует различные игры при
проведении заключительных уроков по теме.
Базакина А.В. в организации учебно-воспитательного процесса
старается оказать реальную, действительную помощь учителям и
воспитателям
в
развитии
их
мастерства
как
сплава
профессиональных знаний, навыков и умений, а также необходимых
современному педагогу свойств и качеств личности.
Ее ученики являются победителями районных олимпиад.
Она ведет общественную работу с родителями и учащимися.
Является членом методического Совета районного отдела
образования.
Желание сделать больше, лучше – это слагаемые характера
Анны Васильевны. За что она и пользуется заслуженным
авторитетом и уважением коллег, учащихся и родителей.
«Воспитание заставляет только повиноваться,
а образование учит будущего человека жить
и распоряжаться своими силами»
(Д. Писарев).
Моя педагогическая философия
В юности я мечтала стать учителем
математики, занималась много с большой охотой.
Моим идеалом была учительница математики –
Докторова Вера Семеновна. Талантливая, Умная,
строгая, справедливая она покорила меня мощью
своих знаний.
После
окончания
Мордовского
государственного
университета
имени
Н.П.Огарева, я начала свою деятельность в родной школе села Кученяево,
Ардатовского района. Минимум педагогической практики, максимум желания –
всё, что было в моей педагогической шкатулке. Я была очарована школой, как
учитель. И моя судьба была решена. Вот уже двадцать пять лет я работаю в
школе.
Размышляя о современной системе школьного образования и школьного
воспитания, естественно, задумывалась над болевыми проблемами и в меру
своих сил пыталась их решать.
Проблемы обучения исследованы лучше, шире, глубже, чем проблемы
воспитания. Считается, что воспитание главным образом осуществляется в
процессе обучения.
Под обучением понимается процесс «вооружения» людей знаниями,
умениями и навыками. Основу его составляет активная познавательная
деятельность обучаемых, именно в ней заключается главный и единственный
смысл организации обучения. Следовательно, познавательная деятельность
обучаемых есть самый существенный признак процесса обучения.
Процесс школьного обучения является отчетливо целенаправленны: имеется
в виду усвоение учащимися за какие-то отрезки времени определённого объёма
знаний и умений из области различных наук, в том числе математики.
В задачу обучения входит формирование научного мировоззрения учащихся,
развитие на этой основе их умственных способностей, воспитание трудовых и
гражданских качеств, то есть задача обучения состоит во всесторонней и
законченной подготовке молодых людей к их практической деятельности во
взрослой жизни. Решается эта задача на протяжении всех лет пребывания
учащихся в школе.
Математика занимает а системе наук особое место. Изучает она, в конечном
счёте, природу, и это даёт основание отнести её к естественным наукам. Но в
отличие от остальных наук о природе она пользуется не методами наблюдения и
эксперимента, а дедуктивным методом, носящим чисто умозрительный характер,
и это сближает её с гуманитарными науками. Специфическая для математики
логическая строгость и стройность умозаключений призвана воспитывать у
учащихся общую культуру мышления.
Предметно-содержательной оснащение математических задач даёт широкий
простор для сообщения цифр и данных, способно значительно расширить
кругозор учащихся, поднять их общий культурный уровень.
Воспитывать человека математически образованного, причём гуманными
методами – вот идеал, к которому стремлюсь я, как учитель математики.
Творческое обучение математики требует индивидуализации, учёта
психологических различий учащихся. У одной части учащихся имеется
устойчивый интерес к математики, у другой – запущенность различного уровня.
Ученики одного и то гоже класса отличаются друг от друга по своим
преимущественным интересам, способностям, темпам мышления, складу
характера, отношению к учителю и т. д. Казалось бы, в этих условиях их
обучении должно быть строго индивидуализированным. Однако, Обучая целый
классный коллектив, приходится основываться не на индивидуальных различиях,
а на том общем, что роднит всех детей данной возрастной группы и данной
ступени обучения. Успешное обучение требует сочетание общей работы с
индивидуальным подходом к каждому ученику.
В учебном процессе объективно возникает противоречие между
коллективными формами обучения и индивидуальным характером усвоение
знаний, умений и навыков. Это противоречие стимулирует меня к поиску
эффективных путей дифференциального подхода к каждому учащемуся, чтобы
сделать обучение отвечающим особенностям личности учащегося.
Наличие интереса к математике у учащихся является необходимым условием
процесса обучения. Чем выше интерес, тем активнее идёт обучение и тем лучше
его результаты. Чем ниже интерес, тем формальнее обучение, хуже его
результаты. Отсутствие интереса приводит к низком качеству обучения,
быстрому забыванию и даже полной потере приобретённых знаний, умений и
навыков. Поэтому очень важно увеличить уровень интереса учеников к
математики, следить за его изменением.
На протяжение многих лет работы в школе я убедилась, что не бывает не
способных учеников. А бывают ученики с большой запущенностью, у которых
пропал интерес к математике как науке из-за систематической неуспеваемости. И
самым первым шагом в преодоление этой проблемы является доброе отношение
учителя к ученику. Необходимо, чтобы у ученика возникла положительная
мотивация в обучении математике.
Математическое моделирование.
В концепции модернизации образования поставлена важнейшая задача –
задача повышения качества образования. Решение этой задачи предполагает
совершенствование содержания, форм и методов обучения математике.
Одной из важнейших мер является повышение эффективности урока, т.к. на
нем в первую очередь решаются главные задачи обучения и воспитания
учащихся. Опыт показывает, что значительный резерв повышения качества
знаний учащихся по Математике заключен в оптимальном планировании и
построении системы уроков по каждому разделу курса.
Я работаю по технологии коллективного взаимообучения по методической
проблеме
Математическое моделирование
1. Что такое математическое моделирование?
С середины XX века в самых различных областях человеческой деятельности
стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые
дисциплины как «экономическая экономика», «математическая химия»,
«математическая лингвистика» и т.д., изучающие математические модели
соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих
моделей.
Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса
явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель
моделирования – исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих
наблюдений. Однако моделирование – это еще и метод познания окружающего
мира, дающий возможность управлять им.
Особенно много времени уделяю этой проблеме на уроках геометрии. На
мой взгляд, изучение геометрии в седьмом классе, на ранней стадии, является
важной отправной точкой для дальнейшего успешного изучения предмета.
Потому что именно сейчас у учащихся складывается представление об аксиомах,
теоремах, их доказательстве. Ведь от того, как они усвоят начальный материал, и
зависит успешность усвоения всего курса геометрии. Но, к сожалению, у очень
небольшого числа учащихся раскрывается привязанность к предмету.
Организую обучение таким образом, чтобы оно максимально обеспечивало
умственное развитие ученика, воспитываю активно мыслящую личность,
творчески подходящую к изучаемому материалу.
Глубоко убеждена, что эффективность процесса обучения математике,
привития интереса к предмету определяется многими факторами, но главная
роль принадлежит учителю.
Приемы и методы работы применяю в зависимости от возраста, уровня
подготовленности учащихся, степени сложности изучаемого материала.
В целях формирования познавательного интереса к предмету и дальнейшего
совершенствования урока и достижения поставленной цели я использую
различные формы.
1. Урок как форма обучения, где использую самую распространенную связь с
учениками посредством объяснения, беседы и через наглядные пособия.
При объяснении учебного материала, при введении новых понятий прошу,
чтобы учащиеся называли предметы из окружающей их обстановки,
определяющие данные понятия. Использую очень много устных упражнений для
закрепления понятий. Уделяю большое внимание умению чтения чертежей, что
является немало важным на уроках геометрии.
2. Уроки-лекции чаще всего использую в старших классах, уже начиная с 9го класса.
3. Обобщающий урок. На этих уроках стараюсь применять массовый опрос;
в конце урока предлагаю небольшую самостоятельную работу.
4. Тестирование с применением компьютера. К этому типу урока подхожу
дифференцированно. Выбираю тесты по уровню знаний учащихся. Ученик сам
оценивает свои возможности и выбирает соответственно тест на “3”, “4” или “5”.
Тем самым стараюсь не ущемлять самооценку и самолюбие учащихся.
Формы работы с учащимися:
-коллективная: фронтальная и групповая;
-индивидуальная: а) по особым знаниям для отдельных учащихся; б) по
дифференцированным заданиям для учащихся.
На уроках весь теоретический материал стараюсь излагать ясным и
доступным языком, включаю большое количество разнообразных примеров и
задач помимо данных в учебнике.
В своей работе придерживаюсь следующего принципа: тот, кто хочет прочно
и глубоко усвоить знания, овладеть умениями и навыками, должен работать
систематически. Только при этом условии не возникнут пробелов в знаниях и
умениях. Ведь в математике все взаимосвязано и любое новое понятие основано
на предыдущем, ранее изученном. Чтобы изученный материал не забывался
учеником, чаще использую на уроках повторение. При повторении уделяю
внимание словесной формулировке математических формул, определений и
теорем, их доказательству. Чтобы надолго запомнился учебный материал,
выделяю в нем опорные пункты. Это основные определения и формулировки,
между которыми устанавливается логическая связь.
Одним из путей активизации познавательной деятельности учащихся
является проблемное обучение. Для этого на уроках стремлюсь планомерно
включать строго продуманную систему специально организованных и
последовательно разрешаемых проблемных ситуаций по каждой теме, с учетом
индивидуальных возможностей в каждом классе. Проблему ставлю так, чтобы
она вызвала у детей удивление, острую заинтересованность и желание принять
участие в ее решении. В ходе эвристической беседы я ставлю перед учащимися
ряд вопросов, отвечая на которые они подходят вплотную к проблеме, которую
они же сами и разрешают.
Другим важным средством активизации творческой деятельности учащихся
и логического мышления учащихся считаю умение решать задачи. На всех
уроках учу самостоятельности при решении задач любой сложности, отдавая
предпочтение рациональным способам решения.
Для этого на уроке с учащимися внимательно изучаем условие задачи,
анализируем содержание, определяем исходные данные и требования данной
задачи, выясняем закономерности и правила, лежащие в основе ее решения.
Большой результат в работе над поставленной проблемой дает
использование на уроках информационных технологий, внедрение в практику
работы со старшеклассниками лекционно-семинарской системы при изучении
отдельных тем курса математики, в работе с учащимися младших классов
больше внимания уделять игровым элементам, устным упражнениям,
способствующим сознательному усвоению учащимися изучаемого материала.
Так результативность за 2006-2008 учебные годы представлена в таблицах.
2006-2007 учебный год
Класс
7а
9б
11б
Кол
- во
21
24
25
Средний балл
Нач.
год
3,6
3,4
3,9
кон.
год
4,0
3,8
4,2
% качества
знаний
Нач.
кон.
год
год
48
62
46
54
63
70
% успеваемости
Нач. год
100
100
100
кон. год
100
100
100
2007-2008 учебный год
Класс Кол-во
Средний балл
Нач. год кон. год
5
6а
6б
7б
18
22
21
19
4
3,5
3,5
3,6
4,2
3,5
3,6
3,7
% качества
% успеваемости
знаний
Нач.
кон. год Нач. год кон. год
год
61
66
100
100
45
50
100
100
41
50
100
100
44
47
100
100
Для развития интереса к предмету регулярно провожу внеклассные
мероприятия: “Математические викторины”, “Поле чудес”, “КВН”,
“Путешествия”, “Брейн-ринг” и т.п.
Уделяю значительное внимание развитию математических способностей
учащихся, проявляющих интерес к изучению математики
В каждом выпускном классе есть медалисты. Тесты, выполненные
учащимися на ЕГЭ также получили высокий балл: от 64 до 89.
Несколько учеников являлись победителями и призерами районной
олимпиады по математике (Базакина Люба, Потапкин Юра, а научноисследовательская работа ученицы Громовой Олеси по теме “ Музыка
логарифмов “ была отмечена дипломом II степени на районной научнопрактической конференции.
В обучении математики важнейшей проблемой является развитие
самостоятельности учащихся при решении текстовых задач. А чтобы задачу
решить, необходимо, чтобы каждый ученик понял задачу. А для этого я считаю,
надо применять моделирование ситуации, отраженной в задаче. Модель создает
условия для активной мыслительной деятельности учащихся в поисках разных
способов решения одной и той же задачи и для обобщения теоретических
знаний. Чем раньше научим детей строить модели, тем лучше будут решать
задачи.
Пример:
Построили 3 одинаковых 16-ти этажных дома по 20 квартир на каждом
этаже. Всего в 3-х домах 180 однокомнатных квартир, 270 двухкомнатных
квартир, а остальные трех комнатные. Сколько трех комнатных квартир в трёх
домах?
1.Определим число квартир во всех домах.
1 способ.
1) Р=(20*16)*3 2) Р=20*(16*3) 3) Р=16*(20*3)
Комбинируя 1 и 2, получаем 9 разных способов решения этой задачи.
Отвечаем на основной вопрос задачи тремя способами:
Р-(180+270)
(Р-180)-270
(Р-270)-180
1. 20*16-(180+270)/3
2. 170*3=510
После решения спрашиваю: чтобы ответить на главный вопрос задачи,
обязательно ли определять общее число квартир в трёх домах?
И всегда найдется хотя бы один ученик, который догадается, что существует
другой способ, а именно: сначала узнать сколько трёх комнатных квартир в
одном доме, а затем определить, сколько тр1х комнатных квартир в трех таких
же домах? Рассматривая один их домов на модели, мы получаем еще 4 способа
решения этой задачи. (Попутно обобщение изученного о разных способах
деления, суммы на число и вычитание суммы из числа).
В поисках различных способов решения задачи дети выясняют, какой способ
решения является наиболее рациональным, и в то же время повторяют и
закрепляют изученный теоретический материал.
При закреплении изученного материала по теме: «Квадратичная функция» я
часто использую модели (эскизы) графиков на миллиметровой бумаге, чтобы по
ним установить условие системы уравнений, уравнения или обратно. Модель
помогает установить условие при которых задача имеет или не имеет решения.
А в геометрии все задачи текстовые, по тексту создается модель или
доказываются теоремы.
В классе и в домашних заданиях учащимся предлагается решать не так
много задач, но обязательно найти подход к их решению принципиально
различными методами. Чем больше, тем лучше. На контрольных работах, где
предлагается три или четыре задачи, решение каждой из них, получено
различными методами, приравнивается к решению самостоятельной задачи. То
есть, оценку «пять» можно получить не только за решение трех или четырех
задач, но и за решение одной задачи, полученное тремя или четырьмя
различными способами. То же касается домашнего задания и работы в классе.
Каждое новое решение обсуждается всем классом, в связи с чем разбор задания
растягивается порой на три или четыре урока. Естественно, что каждый
оригинальный подход оценивается высокой оценкой, что стимулирует интерес
учащихся к поиску нетривиальных решений.
Проиллюстрируем вышесказанное примером одного домашнего задания. На
дом было заданно доказать различными способами теорему Стюарта:
Пусть треугольник со сторонами а, б, с разделен на 2 отрезка длины d,
проходящих через вершину С и делящим сторону ВА на отрезки, равны m и n
(рис.1). Доказать, что a2n+b2m-d2 c=mnc
Рис.1.
Рис.2.
При доказательстве были использованы в основном теоремы школьного
курса геометрии.
1)Применение признака подобия (рис.2).
Опустим из вершин А и В перпендикуляры на прямую, содержащую отрезок
СD. Тогда треугольники BND и DAM подобны.
Вычисляя отрезкиND и DM, находим:
ND 
m2  d 2  a 2
;
2d
DM 
b2  n2  d 2
.
2d
Из подобия треугольников BND и DAM получаем выражение:
m2  d 2  a 2 m
 ,
b  n2  d 2
n
Преобразуя которое приходим к требуемому равенству.
2) Использование теоремы о касательной и секущей, исходящих из одной
точки, и о пересечении хорд внутри окружности (рис.3).
Рис.3
Рис.4
Построим окружность с центром в точке С и радиусом, равным d. Пусть она
пересекает сторону АВ, кроме тачки D, в точке К. Обозначив отрезок ВК через х,
будем иметь:
(а-d)(а+d)=xm,
(b-d)(b+d)=(n+m-x)n.
Умножая первое из равенств на n, а второе на m и складывая получим:
a2n-d2m+b2m-d2n=(n+m)nm,
что и доказывает утверждение теоремы. Если окружность пересекает
сторону, а е1 продолжение, то, воспользовавшись теоремой о пересекающихся
хордах, придем к аналогичной системе уравнений.
3) Метод координат (рис.4).
Введя систему координат так, чтобы ось х прошла по стороне АВ, а ось y по
высоте СН, и обозначив координаты А(х1;0); В(х2;0); С(0;у0); D(х;0) проверим
наше равенство:
(х12+у02)(х2-х)+( х22+у02)( х-х1)-( х2-х1)( х2+у02)=( х2-х1)( х2-х)( х-х1).
Раскрывая скобки и приведя подобные члены, убедимся в том, что оно
выполнено.
4) Векторы (рис.5).
Введем
векторы
 

    
  
a , b , m, n , c так, как это показано на рисунке. Тогда m  a  d и b  n  d .
Перемножая скалярно равенства получим:
2
      
mb  mn  ab  an   d .
Рис.5.
Рис.6





Умножая полученное равенство на вектор c  a  b  m  n , будем иметь:
2
  2  2 2  
   2   
 amb  m b  m n  n m  mb a  nb a  a n  ab n   d
Произведя сокращения и замечая, что все оставшиеся в равенстве векторы
сонаправлены, можем записать для их длин следующее выражение:
 2  2  2
  
mb na c d  mnc.
5) Применение теоремы косинусов (рис.6).
Согласно теореме имеем:
a 2  d 2  m 2  2dm cos  ,
b 2  d 2  n 2  2dn cos  .
Исключая из этих равенств cos , убеждаемся в истинности доказываемой
теоремы.
6) Использование формул для площадей треугольника (рис.7).
Рис.7.
Рис.8.
Исходя из формул для площадей треугольника da sin   hm ; db sin   hn ,где hвысота треугольника, опущенная из вершины С на АВ, или ab sin(    )  hm  hn ,
раскрывая sin(    ) и воспользовавшись предыдущими равенствами, а также тем,
что
cos  
получим
a 2  d 2  m2
;
2ad

cos  
b2  d 2  n2
2bd


 hm b2  d 2  n 2 hn  a 2  d 2  n2
ab

da 2bd
db2ad

2
2
2
a n  b m  d (m  n)  mn(m  n) .
  hm  hn ,


откуда
Такой подход к изучению математики заставляет школьников не помнить
решение той или иной задачи а думать и находить наиболее рациональное из
них.
Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный
эксперимент не заменим в тех случаях когда натуральный эксперимент не
возможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя
поставить натуральный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы,
если бы… ». Невозможно проверить правильность той или иной
космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить
эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или
осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это
вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические
модели изучаемых явлений.
2. Основные этапы математического моделирования.
1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «математический»
объект
–
явление
природы,
конструкция,
экономический
план,
производственный процесс и т.д. При этом, как правило, четкое описание
ситуации затрудненно. Сначала выявляться основные особенности явления и
связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные
зависимости формулируются на языке математики, то есть строиться
математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.
2)Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом
этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов
решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с
необходимой точностью и за допустимое время.
3)Интерпретация полученных следствий из математической модели.
Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на
языке, принятом в данной области.
4)Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуется
ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах
определенной точности.
5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение
модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение
ради достижения практически приемлемого решения.
3. Классификация моделей.
Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по
характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные
и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или
объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как
независимые переменные, а другие – как функции от этих величин.
Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного
типа (дифференциальных, алгебраических и т.д.), устанавливающих
количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором
случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из
отдельных частей, между которыми существуют определённые связи. Как
правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения
таких моделей удобна использовать теорию графов. Граф – это математический
объект, представляющий собой некоторое множество тачек ( вершин) на
плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями
(ребрами ).
По характеру исходных данных и результатов предсказание модели могут
быть разделены на детерминистические и вероятностно- статистические. Модели
первого типа дают определенные однозначные предсказания. Модели второго
типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их
помощью, имеют вероятностный характер.
4. Примеры математических моделей.
1)Задачи о движении заряда.
Рассмотрим следующие задачи механики.
Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью V0=30 м/c под углом   450 к
её поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояния S между
начальной и конечной точкой этой траектории.
Пренебрегая размерами снаряда будем считать его материальной точкой.
Введем систему координат xOy, совместив ее начало О с исходной точкой, из
которой пущен снаряд, ось х направим горизонтально, а ось у – вертикально
(рис.1).
Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда
описывается формулами:
x  tv0 cos  ,
gt 2
y  tv0 sin  
,
2
Где t-время, g-= 10м/с2- ускорение свободного падения. Эти формулы и дают
математическую модель поставленной задачи. Выражая t через х из первого
уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения
снаряда:
y  xtg 
x2 g
.
2
2v0 cos 2 
Эта кривая (парабола) пересекает ось х в двух точках: х1=0 (начало
траектории) и
2
x2  S 
v0
sin 2
g
(место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные
значения V0 и а , получим
ответ:у=х-90х2, S=90 м.
Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений:
например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют
на движение снаряда.
3) задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
Требуется найти высоту h0 и радиус r0 жестяного бака объема V=30м3,
имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его
поверхностиS минимальна 9в этом случае на его изготовление пойдет
наименьшее количество жести).
Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра
высотой
Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра
высотой h и радиуса r:
V  r 2 h ,
S  2r (r  h)
Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное
выражение во вторую, получим:
S (r )  2r 2 
2V
.
r
Таким образом, с математической точки зрения, задача сводиться к
определению такого значения r, при котором достигает своего минимума
функция S(r). Найдём те значения r0, при которых производная
S (r )  4r 
2V
r2
1
Обращается в ноль:
r0  (
V 3
)
2
Можно проверить, что вторая
производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента
r через точку r0 . Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум.
Соответствующее значение h0=2r0 . Подставляя в выражение для r0 и h0 заданное
1
значение
h0  2 * (4,78)
V, получим искомый радиус
r0  (4,78) 3
и высоту
1
3
В заключении отметим, что приведенные примеры математических моделей
(среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и
вероятные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего
разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и
гуманитарных науках.
Всемерно развивать интеллектуальные, математические способности
учащихся, их логико-пространственное мышление, умение решать задачи – в
этом вижу свою задачу как учителя математики в дальнейшем.
Предлагаю урок алгебры и начала анализа в 10 классе.
Тема урока «Логарифмические уравнения»
(второй урок по теме).
Умение решать задачи - практическое искусство, подобное плаванию, или
катанию на лыжах, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь
подражая избранным образцам и постоянно тренируясь…
Д.Пойа
Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое
стремятся сделать истинным, не будучи уверенным, что этого можно достичь.
А. Фуше.
Цель урока.
1. Формирование умения решать различные логарифмические уравнения и
их системы с использованием свойств логарифмов и общих методов решения
уравнений.
Задачи урока.
Образовательная. Создать условия для отработки общих подходов к
решению логарифмических уравнений:
а) действия с членами и частями уравнения
б) замена обозначения
в) разложение на множители части уравнения
г) метод подстановки при решении
Повторение: а) понятие уравнения – следствия
б) определение логарифма и его свойства
в) теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями.
Развивающая. Способствовать развитию математического языка, наглядно –
образного мышления, коммуникативных умений учащихся
Воспитательная. Воспитание интереса к предмету посредством
использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.
Помочь учащимся осознать ценность коллективной деятельности.
Оборудование: ПК, тесты, карточки
Структура урока
I этап – Мотивационно – ориентировочный. Организационный момент
(приветствие, психологический настрой на работу, постановка целей и задач
урока).
II этап -Актуализация знаний. Устная работа.
III этап – основной. Работа над углублением материала темы
«Логарифмические уравния».
IV этап - Самостоятельная работа. Тестирование (компьютерный вариант).
Дополнительный материал.
V этап - Подведение итога урока. Домашнее задание.
Ход урока
I этап. Организационный момент.
-Здравствуйте, ребята!
Ребята, сегодняшний урок пройдет немного в необычной обстановке. На
уроке присутствуют гости, мои коллеги, учителя других школ республики.
Давайте поприветствуем н начнем урок.
-На предыдущем уроке мы с вами приступили к решению логарифмических
уравнений. Рассмотрели решение ряда простейших логарифмических
уравнений.
Тема нашего урока очень актуальна, мы с ней будем идти параллельно до
итоговой аттестации в 11-м классе. Поэтому сегодня мы научимся решать
различные логарифмические уравнения и их системы
-Откройте тетради, запишите число . . . . . . . . . и тему урока:” Решение
логарифмических уравнений”.
II этап. Анализ затруднений при выполнении домашнего задания.
(Слайды)
Устная работа.
1. Дайте определение логарифма.
Логарифмом положительного числа в по основанию a  0, a  1 называется
показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить
подлогарифмическое число в.
2. Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение:
0,75х; log0.5x; log7x2; log|x|5.
3. Вычислить:
2 log5 2
log 4 x
; 2log2 7 1 ; lg 4  lg 25; log 3 21  log 3 7.
; 5
4
4.
Какие свойства логарифмов были использованы вами при выполнение
д/з. Сформулируйте основные свойства логарифмов
loga1 = 0,
logaa = 1,
loga( x. y ) = logax + logay; x > 0; y > 0,
loga х  log a x  log a y ; x>0; y>0.
y
logaxr = r logax; x > 0 ;
Основное логарифмическое тождество
alogax = x
Формулы перехода от одного основания логарифма к другому
logax = logbx / logba
В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
у=logax , a>0 a≠1
5. Какими же свойствами обладает логарифмическая функция?
А) Какова область определения логарифмической функции у=logax , a>0
a≠1?
X = R+
Б) Множество значений логарифмической функции?
Y =R
В) Как зависит изменение логарифмической функции от основания a?
1. Если a > 1, то у=logax , a>0 a≠1 является возрастающей на промежутке
х>0
2. Если 0 < a < 1, то является - убывающей на промежутке х>0.
Итак, что же можно сказать об основании логарифмической функции
у=logax, a>0 a≠1?
Еще раз вспомним определение возрастающей и убывающей функции.
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если
большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее
значение функции.
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему
значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение
функции.
У доски (Проверка домашнего задания):
№ 340(2) Решить уравнение:
log1/2(3x-1)=log1/2(6x+8) .
Решение
log1/2(3x-1)=log1/2(6x+8).
3х  1  0; 3 х  1;

6 х  8  0; 6 х  8;.
О.Д.З. 
1

 х  3 ;

 x  1 1 ;
3

1
x .
5
Используя теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями,
получаем:
3х-1=6х+6,
-3х=7,
7
1
x   ; x  2 - посторонний корень.
3
3
Ответ: нет корней.
№ 342(2) Решить систему уравнений:
log 3 x  log 3 y  2;
 2y
 x  2 y  9  0.
Решение:
log 3 x  log 3 y  2;
О.Д.З.:
 2y
x

2
y

9

0
.

x>0, y>0.
Из первого уравнения выразим y через х
Log3xy=log39.
9
х
xy=9; y= ; и подставим во II уравнение, получим следующую систему
уравнений:
 ху  9,
 2
 х у  2 у  9  0;
x2+x-2=0,
х1=1; х2=-2 – посторонний корень.
Ответ: х=1.
III этап - Основной. Работа над углублением материала темы
«Логарифмические уравния».
№341 Решить уравнение
Log1/3x log1/3 (3x-2)= log1/3 (3x-2)
Решение.
Log1/3x log1/3 (3x-2)= log1/3 (3x-2)
x
x  0
x  0
x  0
О. Д. З.: 
; 
;  2 ;
3x  2  0
3 x  2
 x  3
2
3
Log1/3x log1/3 (3x-2) - log1/3 (3x-2)=0
Log1/3 (3x-2) ( log1/3 х-1)=0
Log1/3 (3x-2) =0
или
log1/3 х-1=0
3х-2=1
log1/3x=1
3x=3
x=
1
- посторонний корень
3
х=1
Ответ: х=1.
№347. Решить уравнение
1
1

lg 2 x  lg 2  4;
2
y

 xy  2.

Решение.
1
1

lg 2 x  lg 2  4;
2
y

 xy  2.

О.Д.З. x>0, y>0.
log 2
x
 log 2 16;
y
x
 16,
y
x  16 y ,
16 y y  2,
1
y3  ,
8
1
y3 
,
64
1
1
y3
 ;
64 4
x  16
1
;
4
x  8.
1
4
Ответ: (8; ).
№ 352(1) Решить уравнение
log x 25  3 
1
;
log 5 x
Решение.
log x 25  3 
1
log 5 x
Т.к. левая часть уравнения неотрицательна, то log 5 x  0,  x  1. При х>1
уравнение равносильно уравнению 2 log x 5  3  log x 5; Пусть t=logx5
2t+3=t2,
t2-2t-3=0
t1=3, t2=-1
Если t=3, то logx5=3, х3=5, х= 3 5.
1
5
Если t=-1, то logx5=-1, x= , но
1
1
<1 => x= - не является корнем исходного
5
5
уравнения.
Ответ: х= 3 5.
Решить уравние. (Задание из ЕГЭ)
1) Найдите все значения параметра, при которых уравнение log 2 (4 x  a)  x
имеет ровно два решения.
-Какое это уравнение? (Логарифмическое).
Решение.
log 2 (4 x  a)  х  4 x  a  2 x  22 x  2 x  a  0 .
-Какое уравнение мы получили после преобразований? (Показательное,
решение которого сводится к квадратному).
Пусть 2 x  t , где t  0
-Почему на переменную t наложено такое условие? ( Показательная
функция принимает только положительные значения).
Тогда t 2  t  a  0 .
Условие, при котором квадратное уравнение имеет два различных
корня: D  0 .
1
D  1  4a,1  4a  0, a   .
4
Найдем корни уравнения : t1 
Видно, что при a  
1  1  4a
1  1  4a
; t2 
.
2
2
1
t  0.
4 2
Выясним условие, при котором t1  0 .
1  1  4a
 0  1  4a  1  1  4a  1  a  0 .
2
Следовательно, исходное уравнение будет иметь два решение если
1
a  ( ;0)
4
1
4
Ответ. При a  ( ;0) .
IV этап - Самостоятельная работа. Тестирование (компьютерный вариант
ЕГЭ №7 и №8).
№7
1
1. Вычислите: 29  16 4  15
3 4
5
4
2. Упростите выражение 8а  2а
1о1, 5 6
1,5
3. Найдите значение выражения
3
2 х  2, 3
 125
4. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 5
5. Какому промежутку принадлежит корень уравнения log2(5x)log23=log213
№8
5 х
0
(
х

2
)(
х

9
)
1. Решите неравенство
8 х 5
2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 9  81
3. Какому промежутку принадлежит корень уравнения log2X+log23=log221
4. Вычислите: 7  10  16
1
4
1ор0 , 8 4
6  0,8
5. Найдите значение выражения
Дополнительный материал (по карточкам) во время тестирования.
Решить уравнения:
1. Log3(x3-x)-log3x=log33;
Решение.
Log3(x3-x)-log3x=log33
 х3  х  0,  x( x 2  1)  0;  1  x  0, x  1
х>1.


x

0
;
x

0
;
x

0
;



О.Д.З. 
x3  x
3
x
x 3 x  3 x;
x 3  4 x  0;
x ( x 2  4)  0;
x1  0,
x 2.3   2 .
Итак, х=0 и х=-2 – посторонние корни.
Ответ: х=2.
2. Log2(3x+1) log3x=2 log2(3x+1)
Решение:
Log2(3x+1) log3x=2 log2(3x+1),
1

;
3 х  1  0; x  
О.Д.З. 
3 x  0.

 x  0;

 x  0;
Log2(3x+1)log3x-2log2(3x+1)=0;
Log2(3x+1)(log3x -2)=0;
Log2(3x+1)=0 или log3x=2
3x+1=1;
x=32;
3x=0
x2=9
x1=0- посторонний корень.
Ответ: х=9.
Кроссворд
«Галерея великих математиков»
К
«
Г
а
л
е
р
е
я
в
е
р
л
о
и
с
к
с
и
в
х
о
р
м
д
а
1.
т
ч
и
а
д
о
с
о
т
в
л
о
и
к
о
в
»
я
Д
р
е
в
н
е
е
р
т
С
т
е
к
в
Ф
в
м
а
д
р
о
и
н
ц
г
л
и
й
о
з
с
о
г
о
з
а
а
и
с
ч
т
л
и
е
с
л
о
л
а
ь
а
х
с
т
т
о
ч
п
е
п
б
о
е
о
н
ы
с
н
и
п
о
в
в
о
л
а
к
у
ч
н
о
и
т
и
т
о
ь
и
к
и
л
р
н
а
и
й
с
а
м
м
н
ь
н
а
т
е
и
м
о
с
т
р
л
ы
н
к
а
а
т
т
о
е
е
м
м
м
а
а
в
т
т
и
и
к
р
у
к
о
т
к
к
д
г
в
а
л
ы
м
п
у
и
к
р
л
у
о
м
е
а
т
а
и
н
к
с
т
в
о
п
о
о
р
в
ы
е
й
р
в
х
н
в
е
о
с
л
т
и
и
с
к
й
и
и
м
й
а
р
м
я
а
а
д
т
о
т
е
м
с
о
з
е
м
в
а
д
а
в
з
т
а
т
а
и
к
л
и
и
д
м
е
к
м
о
а
т
л
о
а
в
т
д
е
й
н
д
о
а
к
р
с
т
з
о
р
в
в
о
а
и
а
р
б
н
и
д
о
е
и
т
н
а
т
о
и
п
с
в
я
з
а
т
е
м
о
к
и
й
м
и
ц
у
л
з
и
а
о
н
а
т
т
г
а
о
е
а
н
т
с
к
о
о
в
с
п
в
о
е
н
и
е
м
р
о
б
о
в
а
л
п
е
А
с
в
с
о
р
к
о
и
з
д
т
и
с
к
и
и
л
ы
р
м
р
о
и
а
и
т
ф
и
м
к
о
д
а
г
о
г
а
л
в
V этап - Подведение итога урока. Домашнее задание.
№ 346 (2), № 349 (2), №353
Написать реферат по выбору из серии «Галерея великих математиков»
И позволю себе процитировать пожелание
«Пусть каждый день и каждый час
Вам новое добудет
Пусть добрым будет ум у вас,
А сердце умным будет.»
С. Я. Маршака
Спасибо всем за урок.
ю
р
в
м
м
к
н
о
я
з
с
а
с
т
м
и
с
о
к
ч
с
м
п
с
е
и
л
н
о
ы
у
ь
г
с
т
л
Е
о
ы
а
и
б
п
г
т
у
в
о
й
е
а
щ
у
н
т
ь
и
е
и
г
Р
т
н
х
к
с
ч
к
н
к
л
е
е
л
а
у
у
о
е
е
с
а
т
р
т
м
К
е
ж
г
п
н
в
р
р
а
з
м
е
р
м
А
е
ы
о
т
х
а
о
и
п
о
в
е
ж
а
,
р
к
9.
л
0
е
п
7.
8.
о
П
и
6.
п
.
а
а
ч
5.
.
,
н
т
4.
м
. . .положительного числа х по основанию
а, а> 0, а≠1 – показатель степени, в которую
надо возвести число а, чтобы получить
число х.
Первая женщина – математик.
Древнегреческий математик, дал миру
теорему о вписанном в круг выпуклом
четырехугольнике
Советский математик, который ввел
термины: пространство, поверхности,
квадраты.
Французский математик, дал название
импульса силы, создал метод координат
Английский математик, автор работ о
полете снарядов, взаимодействии
магнитов.
Его имя связанно с освоением Арктики.
Кто из математиков пробовал свои силы
как композитор.
Русский математик – педагог, создал
таблицу логарифмов
.
а
2.
3.
е
у
ю
Анализ урока
Уважаемые коллеги Вашему вниманию был представлен урок на тему
«Решение логарифмических уравнений» (второй урок по теме) из раздела
«Логарифмы».
Считаю, что урок способствовал достижению основной поставленной цели:
- Формирование умения решать различные логарифмические уравнения и их
системы с использованием свойств логарифмов и общих методов решения
уравнений.
А также урок способствовал реализации поставленных мной задач, которые
сформулированы с учетом задач предыдущих и последующих уроков:
Образовательная. Создать условия для отработки общих подходов к
решению логарифмических уравнений:
а) действия членами и частями уравнения
б) замена обозначения
в) разложение на множители части уравнения
г) метод подстановки при решении
Повторение: а) понятие уравнения – следствия
б) определение логарифма и его свойства
в) теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями.
Развивающая. Способствовать развитию математического языка, наглядно –
образного мышления, коммуникативных умений учащихся

формирование коммуникативных навыков в учебном диалоге

развитие логического мышления учащихся;

развитие познавательного интереса, речи и внимание школьников;
Воспитательная.
Воспитание интереса к предмету посредством
использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.
Помочь учащимся осознать ценность коллективной деятельности.
- активизация познавательных способностей учащихся
Цель и задачи урока определили тип урока комбинорованный и его
структуру:
I этап – Мотивационно – ориентировочный. Организационный момент
(приветствие, психологический настрой на работу, постановка целей и задач
урока).
II этап -Актуализация знаний. Устная работа.
III этап – основной. Работа над углублением материала темы
«Логарифмические уравния».
IV этап - Самостоятельная работа. Тестирование (компьютерный вариант).
Дополнительный материал.
V этап - Подведение итога урока. Домашнее задание.
Основные положения заявленной мной проблемы «Математическое
моделирование при решении логарифмических уравнений» реализовались на
каждом этапе через комплекс применяемых мной методов, средств и форм
обучения.
На уроке был применены наглядные средства: презентация, содержащая
основные понятия, задания и др. моменты урока, дополнительные материалы с
опорным конспектом, схемой, и заданиями виде тестов.
Применялись следующие методы:
а) методы организации и осуществления учебной деятельности
 словесные - беседа (ответы на вопросы), рассказ (объяснение учителя);
 наглядные (презентация с необходимыми схемами, опорными
определениями)
 практические (задачи).
б) методы стимулирования и мотивации учения –
метод стимулирования и мотивации интереса к учению: занимательные
задания : виде кроссворда. Для чего было выбрано это задание? Оно оживило
учебный процесс на уроке, позволило повысить интерес ребят к изучаемой теме;
в) метод контроля и самоконтроля (выполнение теста на компьютере, здесь
же самоконтроль – учащиеся видят результат)
Использование тестов является рациональным дополнением к методам
проверки знаний, умений и навыков учащихся.
Тестирование - одно из средств индивидуализации в учебном процессе, т.к.
учитывает психологические особенности учащихся, мешающие их успешной
деятельности. Тестовый контроль знаний позволяет проверить значительный
объем изученного материала.
На уроке использовалась такие формы учебной деятельности: В своей работе
я руководствуюсь трехмерной моделью систематики форм организации
обучения Андреева В.И.:
внутренние формы организации обучения (занятие по углублению и
совершенствованию ЗУНов, (комбинированная форма организации обучения.)
общие формы организации обучения (взаимодействия в системе «учительученик», «ученик-ученик») – фронтальная, групповая, парная.
В процессе обучения реализованы следующие дидактические принципы:
доступности, систематичности и последовательности, связи с жизнью,
активности, наглядности.
Я считаю, что на уроке были реализованы цели и задачи, поставленные
мною. А именно: совершенствованы знания учащихся об общих подходах к
решению уравнений, выработаны умения решать различные логарифмические
уравнения.
Домашнее задание я дала учитывая объем пройденного материала на уроке и
для развития творческих способностей учащихся: составить кроссворд. Данное
задание позволяет не только повысить интерес к предмету, но и пополнить
методическую копилку учителю.
Наиболее удачные моменты:
- реализован принцип учета индивидуальных особенностей уч-ся;
 ребята справились с тестом.
Наряду с отмеченными с удачными моментами, необходимо указать и на
недостатки:
 недостаточное внимание уделялось мной исправлению речевых ошибок
во время ответов учащихся и требованию полных ответов, что обусловлено
дефицитом времени;
В целом я довольна уроком. Думаю, что и учеников заинтересовал
сегодняшний урок, и они ушли с урока не только с полученными ЗУНами, но и с
хорошим настроением, желанием использовать полученные ЗУНы на практике.
А это самое главное для любого учителя!
Внеклассное мероприятие Урок - КВН
Тема: Степень с рациональным показателем
Цель урока: повторить и закрепить изученный материал по теме урока в
процессе решения упражнений.
Оборудование:
1. Песочные часы (для разминки).
2. Кодоскоп и кодопозитивы с заданиями, экран.
3. Доски, мел.
4. Табло.
Ход урока
I. Вступительное слово учителя.
II. Разминка (5 мин).
Учащиеся выполняют работу на листках. Задание спроецировано с помощью
кодоскопа на экран.
Вариант 1
Вариант 2
Выполните действия:
Выполните действия:
а) 7–1 – 5•23;
а) 4,20 – 53•5-2;
б) 3-7•312;
б) 2-10•28;
в) (y-8)-2;
в) (b7)-4;
г) x-5 : x-9;
г) a -12 : a -10;
д) (b-5)4•b11;
д) (5 -4)2•57;
е) (p-7•p2):p-10 .
е) (x -3•x):x-4 .
Результаты конкурса подводят консультанты во время следующего этапа
игры. Каждое верно выполненное задание оценивается в 1 балл. Консультант
суммирует баллы, набранные каждым игроком и всей командой.
III. Блиц-турнир.
На экране одно за другим проецируются три задания. Отвечает команда,
вызвавшаяся первой. Верный ответ оценивается в 5 баллов. Если ответ неверный
или неполный, то слово передается другой команде.
Задание 1. Найдите ошибку:
Задание 2. Почему так получилось? Докажем, что
5 = 1. От обеих частей этого равенства отнимем по 3 и результаты возведем в
квадрат: (5 – 3)2 = (1 – 3)2. Получили: 4 = 4. Это равенство верное. Значит, и
исходное также верное, т. е. 5 = 1.
Задание 3. Что бы это значило?
IV. Домашнее задание.
Все тетради заранее собираются и проверяются консультантами. На уроке
консультанты докладывают о результатах, называют ошибки, допущенные в
работах.
Каждое полностью и правильно выполненное задание оценивается в 1 балл.
Результат определяется суммой баллов, полученных за все работы.
V. Конкурс капитанов.
Задания у капитанов одинаковые. Они работают у доски, отгородившись
друг от друга ее крыльями, чтобы не видеть работу соседа.
Пока капитаны работают на доске, класс выполняет это задание в тетрадях.
Задание. Упростите выражение
значение при p = 4, q = 49.
и найдите его
VI. Конкурс консультантов.
После жеребьевки консультанты выступают в установленном порядке.
Каждый из них, выйдя к доске, вытаскивает билет с заданием. Без
предварительной подготовки он выполняет это задание на доске и одновременно
объясняет свои действия.
Учащиеся из команд соперников «разыгрывают» непонимание и задают
вопросы.
Максимальная оценка за правильный ответ – 5 баллов.
Задания
1. Решите уравнение
.
2. Решите уравнение
3. Сравните числа
4. Сравните числа
.
и
.
и
.
5. Упростите выражение (x – 2 + x–1)0,5.
6. Упростите выражение
.
VII. Подведение итогов КВНа.
После урока еще раз просматриваю самостоятельные и домашние работы
учащихся, определяю качество работы консультантов, всем учащимся выставляю
оценки за работу с учетом участия каждого в проведенных конкурсах.
«Образование не даёт ростков в душе,
если он не проникает до значительной глубины»,
- говорил древнегреческий философ
Протагор из Абдеры
(481-411 г. до н. э.).