К вопросу об устойчивости нелинейных систем по первому, в

УДК 517.925.51
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО ПЕРВОМУ, В
ШИРОКОМ СМЫСЛЕ, ПРИБЛИЖЕНИЮ
Соколов С.В.
К основным проблемам теории управления относятся задачи исследования
устойчивости стационарных режимов сложных динамических систем [1, 2]. Подобные
задачи, связанные также с построением и контролем управления, возникают при
изучении широкого класса электромеханических, биологических, экономических
систем.
А. М. Ляпунов определил условия, при выполнении которых одни линейные
члены определяют устойчивость или неустойчивость нулевого решения [3]. Случаи,
когда рассмотрение линейных членов не дает необходимого результата, называются
критическими. В этих случаях часто приходится рассматривать системы вообще не
содержащие линейных членов. Таким образом, возникает задача об устойчивости по
нелинейному приближению.
Задача об устойчивости по нелинейному приближению была исследована
И.Г. Малкиным, Н.Н. Красовским, В.И. Зубовым в работах [4, 5, 6]. Для решения
проблемы устойчивости невозмущенного движения В.И. Зубовым было предложено в
качестве системы первого приближения использовать не только линейные уравнения
или уравнения с однородными правыми частями, но и более широкие классы
нелинейных систем (задача об устойчивости по первому, в широком смысле,
приближению) [7]. Дальнейшее развитие исследования задачи об устойчивости по
первому, в широком смысле, приближению, было произведено в работах
А.Ю. Александрова и А.В. Платонова. В работе [8] получены условия устойчивости
системы вида
mi
xi  ai fi ( xi )   bij f1
 i(1k )
k 1
 in( k )
( x1 )  f n
( xn ), i  1, , n.
(1)
Здесь fi ( xi ) – функции, определенные и непрерывные при | x | H ( H –
положительная постоянная) и удовлетворяющие условию
i  1,  n. Показатели степеней 
fi ( xi ) xi  0 при xi  0,
– неотрицательные рациональные числа с
(k )
ij
нечетными знаменателями, ai и bik – постоянные коэффициенты, причем ai  0,
bik  0, i  1, , n, k  1, , mi . Предполагалось, что

mi
k 1
 ij( k )  0 для всех i, j  1,  , n.
При выполнении этих условий у рассматриваемой системы существует нулевое
решение. Исследование устойчивости нулевого решения проводилось при помощи
функции Ляпунова
n
V   i  f i  i ( )d ,
i 1
xi
0
где i – положительные рациональные
(2)
числа с нечетными числителями и
знаменателями, i  0 – постоянные.
В работе [8] были получены достаточные условия асимптотической
устойчивости нулевого решения системы (1). К сожалению, в общем случае эти
условия неконструктивны и не дают явного ответа на поставленную задачу. В связи с
этим целесообразно исследовать частные случаи со специальным видом правой части
уравнений (1). В ряде работ рассмотрено несколько классов систем, для которых
удается получить условия устойчивости в явном виде.
Так, в [9, 10, 11, 12] получены условия устойчивости некоторых классов
нелинейных связей в уравнениях вида (1).
Рассмотрим систему с мультипликативной связью центрального типа


 xi  ai f i ( xi )  bi f n i ( xn ), i  1,  , n  1,
(3)

 n 1
1


x

a
f
(
x
)

b
f
(
x
)

f
(
x
).
n n
n
n 1
1
n 1
n 1
 n
Здесь fi ( xi ) –
допустимые функции, обладающие указанными выше
свойствами,  i и i – рациональные числа с нечетными знаменателями,  i  0, i  0,
i  1, , n  1, кроме того,  n  1     n 1  0. Величины a j и b j – постоянные
коэффициенты, причем a j  0, j  1,  , n. При выполнении этих условий у
рассматриваемой системы существует нулевое решение.
Исследование устойчивости нулевого решения системы (3) проведем при
помощи функции Ляпунова (2).
Требуется найти множество значений параметров ai , bi ,  i и  i , для которых
числа i и i можно выбрать так, чтобы производная функции (2) в силу системы (3)
была отрицательно определена.
Определим сначала, каким условиям должны удовлетворять показатели
степеней  i и  i , чтобы нулевое решение рассматриваемого уравнения являлось
bj ,
асимптотически
устойчивым
для
любых
значений
коэффициентов
i  1, , n  1, j  1,  n.
Теорема. [9] При выполнении неравенства
системы (3) асимптотически устойчиво.
В случае, если выполнено равенство


n1
i 1
 i  i  1 нулевое решение
n1
i 1
 i  i  1 то для асимптотической
устойчивости нулевого решения системы (5) достаточно выполнения неравенства
1
 n 1
 b 
 b 
bn   1     n 1   an  0.
 a1 
 an 1 
В работе [11] была рассмотрена система с мультипликативной связью
циклического типа
 x1  a1 f1 ( x1 )  bi f n1 ( xn ),


(4)
 xi  ai f i ( xi )  bi f i1i ( xi1 ), i  2,, n  1,

 n 1
1
 xn  an f n ( xn )  bn f1 ( x1 ) f n1 ( xn1 ).
Известно [10], что если показатели степеней удовлетворяют неравенствам
1 i i  1, i  1,, n  1, то нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво,
а в пограничном случае, то есть в случае, когда указанное неравенство обращается в
равенство, для асимптотической устойчивости нулевого решения достаточно
выполнения условия
1
 n1
b 
b 
bn  1   n 1   an  0.
 a1 
 an 1 
В работах [9, 12] была рассмотрена система с аддитивной связью центрального
типа
 xi  ai f i ( xi )  bi f ni ( xn ), i  1,, n  1,

n 1
(5)

j
x

a
f
(
x
)

b
f
(
x
)
.


n
n
n
n
nj
j
j

j 1

Здесь все параметры удовлетворяют указанным выше условиям, кроме того,
i  0, i  1,  , n.
Для системы (5) доказано, что если показатели степеней удовлетворяют
неравенствам  i  i  1, i  1,, n, то нулевое решение системы (5) асимптотически
устойчиво. В пограничном случае, когда некоторые из этих неравенств обращаются в
равенства, т.е. справедливо  i i  1, i  i1 ,  , i p , для асимптотической устойчивости
достаточно выполнения неравенства
i
b 
bni  i   an  0.

i  i1 ,, i p
 ai 
В работе [10] была также рассмотрена система с аддитивной связью
циклического типа при аналогичных ограничениях на коэффициенты.
Указанный подход к построению функций Ляпунова можно распространить и на
другие типы связей между подсистемами.
Литература.
1. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.
2. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и
телемеханика. 1969. №12. С. 5-11.
3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ОНТИ, 1935.
386 с.
4. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 432 с.
5. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.:
Физматгиз, 1959. 212 с.
6. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического
регулитрования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.
7. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле,
приближению // Докл. РАН. 1996. Т.346, №3. С. 295-296.
8. Александров А. Ю., Платонов А. В. Об устойчивости и диссипативности
некоторых классов сложных систем // Автоматика и телемеханика. 2009. №8. С. 3-18.
9. Александров А. Ю. О существовании функций Ляпунова для одного класса
нелинейных систем // Труды 13-ой межвуз. конф. "Математическое моделирование и
краевые задачи". Самара, 2003. Часть 3. С. 7-9.
10. Александров А. Ю. Об устойчивости решений одной нелинейной системы
дифференциальных уравнений // Вестник СПбУ. Серия 1. 2004. Вып. 3. С. 3-10.
11. Александров А. Ю., Соколов С. В. О построении функций Ляпунова для
некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолжского математического
общества. 2004. Т. 6, № 1. С. 69-74.
12. Александров А. Ю., Соколов С. В. Устойчивость и оценки решений
некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолжского математического
общества. 2005. Т. 7, № 1. С. 113-123.