УДК 517.927 ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ Шаталова Н.А., Покорная И.Ю. Рассмотрим сингулярно возмущенную задачу. dx a (t ) x f (t ) dt x (0) b k где (1) ( 2) >0 – малый положительный параметр, t [0,1] , t . В этой точке коэффициенты уравнения могут быть разрывными функциями. При t уравнение dx a (t ) x f (t ) стандартно, то dt есть мы имеем фактически два уравнения: одно слева от точки , другое справа от точки . Под решением уравнения (1) в целом на отрезке [0,1] мы будем понимать функцию x (t ) , удовлетворяющую уравнению (1), как слева, так и справа от точки , и непрерывную в точке t . При такой постановке вопрос о существовании производной функции x (t ) в точке t снимается. Сначала решение задачи (1), (2) будем строить на отрезке [0, ], а затем продолжим его по непрерывности на весь отрезок. Решение будем искать в виде асимптотического ряда x (t ) x(t , ) ( , ) при t [0, ] , t (3) x(t , ) x0 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t ) ... ( , ) 0 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) ... Подставим выражение (3) в уравнение (1) для того, чтобы найти члены разложения ряда (3). d [ x0 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t ) ... 0 ( ) 1 ( ) dt 2 2 ( ) ...] a(t )[ x0 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t ) ... 0 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) ...] f (t ). Функция П(τ,ε) существенно отличается от нуля лишь в малой окрестности точки t=0 и называется погран-слойной функцией, поэтому следует рассматривать разложение функции a(t) по степеням ε·τ в окрестности этой точки в ряд Тейлора: a(t ) a(0) at' (0) a '' (0) ( ) t ( ) 2 ..., 1! 2! t . Приравнивая затем коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях отдельно по и t из левой и правой частей получим соответствующие условия для нахождения членов разложения формального асимтотического ряда. учитывая при этом, что Явление, заключающееся в том, что при наличии сингулярного возмущения могут возникать зоны, в которых решение исходной (возмущенной) системы значительно отличается от решения вырожденной системы при сколь угодно малых , получило название явление пограничного слоя. Сами эти зоны называются пограничным слоем. Поведение решения сингулярно возмущенной системы в пограничном слое описывается экспоненциально затухающими функциями для весьма широкого класса случаев. Оказывается, что особенностями асимптотического представления решения исходной сингулярно возмущенной краевой задачи с разрывными коэффициентами является наличие двух пограничных слоев. Один из них находится в окрестности точки t 0 , второй в окрестности точки разрыва - в точке t . Шаталова Наталия Андреевна, магистрант 2 курса отделения МО. Покорная Илана Юльевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики.