Дифференциальные уравнения - 1. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся 2.

1.
Дифференциальные уравнения - уравнения, содержащие
искомые функции, их производные различных порядков и независимые
переменные.
2.
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся
аргументом - уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию
и её производные, взятые при различных значениях этого аргумента.
3.
Интеграл - конечная, измеримая величина, в отношении к
бесконечно малой части ее, к дифференциалу.
4.
Интегральное вычисление - искусство отыскивать интеграл по
дифференциалу.
5.
Интегрировать - вычислять, находить интеграл.
6.
Кратный интеграл - интеграл от функции, заданной в какой-
либо области на плоскости, в трёхмерном или n-мерном пространстве.
7.
Интегральная кривая - кривая, изображающая геометрически
решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных
уравнений.
8.
Фазовый портрет - совокупность фазовых траекторий,
характеризующая состояния и движения динамич. системы.
9.
Приближённое решение дифференциальных уравнений -
получение аналитических выражений (формул) или численных значений,
приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение
дифференциальных уравнений.
10.
Метод неопределённых коэффициентов - метод, применяемый
в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых
заранее известен.
11.
Краевые задачи - задачи, в которых из некоторого класса
функций, определённых в данной области, требуется найти ту, которая
удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям.
Обыкновенные дифференциальные уравнения - уравнения 1-
12.
го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение между
независимым переменным х, искомой функцией у и её производной.
f ( x)  f (a)
,то его называют производной f в точке а.
xa
Если  lim
13.
Обозначение. f (a) 
f ( x)  f (a)
xa
Правила вычисления производных старших порядков.
14.
1)(f + g)(n)= f(n)+g(n)
2)(c * f)(n) = c * f (n)
n
3) ( ck * f k )
k 1
15.
( n)
n
  ck * f k
( n)
k 1
Правила вычисления дифференциалов старших порядков.
1) dn (f + g) = (f + g)(n) * dxn = f(n)+g(n)dxn = f(n)dxn + g(n)dxn = dnf + dng
Дифференциал суммы любого порядка равен сумме дифференциалов.
2) dn (c * f) = (c * f)(n) dxn =c * f(n) * dxn= c * dn * f
16.
Пусть f определена на множестве X. x  X называется точкой
глобального максимума (минимума) функции f на множестве X, если для
любой точки x  X, f ( x)  f ( x)  ( f ( x)  f ( x)).
17.
Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума)
функции f на множестве X, если
O( x0 ) : x  O( x0 )  X , f ( x)  f ( x0 )  max, f ( x0 )  f ( x)  min
18.
Для любого многочлена P n  a0 * x n  a1 x n1  a 2 x n2  a n справедливо
представление Pn ( x)  Pn (a) 
19.

Pn (a)
P n (a)
P (a)
( x  a)  n
( x  a) 2  ...  n
( x  a) n .
1!
2!
n!
Функция F называется первообразной функции f на X, если 1. F
дифференцируема на X
2. F   f .
20.
Множество всех первообразных f на X F  c : c  Rназывается
неопределенным интегралом функции f на X.
21.
Свойства неопределенных интегралов.
1) (  f ( x)dx)  f ( x)
2)  f ( x)dx  f ( x)  c
3)Если f1 и f2 имеют первообразные на X, то их сумма и разность также
имеют первообразные на X и
f
1
 f 2   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx
4)  Afdx A fdx
22.
Если существует конечный предел интегрируемых сумм, то этот
предел называется двойным интегралом функции f по множеству  , а
функция f – интегрируемой на множестве  .
23.
Свойства двойных интегралов.
1)Если f1и f2 интегрируемы на  , то их сумма f1+f2 интегрируема на 
и справедливо равенство
 f ( x, y)  f
1
2

( x, y)ds   f1 ( x, y)ds   f 2 ( x, y)ds


2)Если f интегрируема на  , то A*f , где A R также интегрируемо на
 ,при этом справедливо равенство
 A * f ( x, y)ds  A f

3)Если 1)f интегрируема на 1 ,  2  R 2
2) 10   02  (общие только границы)
  1  2 ,то f интегрируема на  ,при этом
 f ( x, y)ds   f ( x, y)ds   f ( x, y)ds
1
2
4)Если 1)f интегрируема на  из R2
2) f  0, на ,то
 f ( x, y)ds  0

5)Если 1) f, g интегрируемы на   R 2
2) f  g на  , то
 f ( x, y)ds   g ( x, y)dx



( x, y)ds
6) Если f интегрируема на  , то f интегрируем на  , при этом
справедливо равенство
 f ( x, y)ds  

f ( x, y) ds

24.
Формальная сумма a1, a2, a3, an….называется числовым рядом.
25.
Суммой ряда

a
n 1
n
называется конечный или бесконечный предел
частичных сумм при n   .
26.
Числа
s1  a1 , s 2  a1  a2 , s3  a1  a2  a3 , sn  a1  a2  a3  ...  an ... частичные суммы ряда
из

a
n 1
n
.
27.
M n ( x)n1  последовательность функций :
n  1 Un определена на

А  R . Формальная сумма u1 ( x)  u 2 ( x)  u 3 ( x)  ...   u n ( x) называется
n 1
функциональным рядом.
28.
Множество B  A называется областью сходимости
функционального ряда

u
n 1

n
( x ) , если x0  B  u n ( x 0 ) сходится, тогда
n 1

получается, что на множестве В определена новая функция f x  B   u n ( x) =
n 1
S(x), S(x) – сумма функционального ряда.
29.
Говорят, что функциональный ряд

u
n 1
n
( x ) сходится равномерно
на множестве В функции S(x), если   0N ( ) : n  Nx  B S n ( x)  S ( x)  
30.
Понятие придела последовательности действительных чисел.
Число а из множества действительных чисел называется пределом
последовательности {xn} или последовательность {xn} сходится к числу а,
если выполняется следующее условие: E>0  N=N(E): a>N
точки а отдалены не больше, чем на E).
|xn-a|<E (все
31.
Понятие предела функции одной переменной по Гейне.
Число А называется пределом функции в точке а, если {xn} из выколотой
окрестности точки а (xna) => (f(xn)A).
32.
Понятие предела функции одной переменной по Коши.
Число А называется пределом f в точке а, если E  =(E): x из выколотой
окрестности  в точке а
33.
|f(x)-A|<E.
Понятие предела функции нескольких переменных по Гейне.
Пусть f определена в выколотой окрестности точки а, а=(а 1, а2, …, аm). Число
А называется пределом функции f в точке а (а1, а2,…, аm), если {Mn} из
выколотой окрестности точки а (Mna)=>(f(Mn)A) при n.
34.
Понятие предела функции нескольких переменных по Коши
Пусть f определена в выколотой окрестности точки а, а (а1, а2, …, аm). Число
А называется пределом функции в точке а, если Е>0 =(E): x из
выколотой окрестности точки а
35.
|f(x)-A|<E.
Понятие непрерывной функции в точке
Пусть f определена в окрестности точки а. f непрерывна в точке а, если
 lim f(x)=f(a) при xa.
36.
Понятие непрерывной функции в точке по Коши
Пусть f определена в окрестности точки а. f непрерывна в точке а, если E>0
=(E): x из окрестности точки а |f(x)-f(a)|<E.
37.
Понятие непрерывной функции в точке по Гейне
Пусть f определена в окрестности точки а. f непрерывна в точке а, если {xn}
из окрестности точки а (xna)=>(f(xn)f(a)).
38.
Основные
понятия
теории
множества:
декартово
произведение
Декартово произведение множеств А и В – множество С, состоящее из
упорядоченных пар, у которых первый элемент принадлежит А, а второй – В.
С={(x;y): xA, yB}.
39.
Понятие определенного интеграла
Если существует предел интегральных сумм, равный I при ()0, то
функцию называют интегрируемой на а; в, а число I называют
определенным интегралом от функции f по отрезку а; в.
40.
Комплексные числа - числа вида х + iy, где х и у –
действительны числа, а i - так называемая мнимая единица (число, квадрат
которого равен -1); х называют действительной частью, а у - мнимой частью
комплексного числа z = х +iy.
41.
Целые комплексные числа – числа вида а + bi, где а и b – целые
числа, а i - так называемая мнимая единица
(число, квадрат которого равен
-1).
42.
Степенной ряд – ряд вида a0 + a1z + a2z2 +... + anzn +...,
где коэффициенты a0, a1, a2,..., an,... - комплексные числа, не зависящие от
комплексного переменного z.
43.
Областью сходимости степенного ряда - является открытый
круг D = {z: |z| < R} с центром в точке z = 0.
44.
Аналитические функции – функции, которые могут быть
представлены степенными рядами.
45.
Ряд Лорана – ряд вида
,
то есть ряд, расположенный как по положительным, так и по отрицательным
степеням разности z - а (где z, а и коэффициенты ряда - комплексные числа).
46.
Ряд Фурье – тригонометрический ряд, служащий для разложения
периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x)
имеет период 2T, то её ряд Фурье имеет вид
,
где a0, an, bn (n ³ 1) – коэффициенты Фурье.
47.
Производная - функция, определяемая для каждого х как предел
отношения:
48.
, если он существует.
Дифференцируемая функция - функцию, имеющую
производную.
49.
Необходимые условия - правильности утверждения называются
такие условия, без соблюдения которых утверждение заведомо не может
быть верным.
50.
Достаточные условия - правильности утверждения называются
условия, при выполнении которых утверждение заведомо верно