Олимпиада по высшей математике

Олимпиада по высшей математике
на физическом факультете КемГУ
2011/2012 уч. год
Задания для 2 курса

1. Пусть a  1 . Сколько различных векторов содержит последовательность:

    
 
x0  x , x1  a  x0 , x2  a  x1 , ... ?
Решение: Рассмотрим несколько первых членов последовательности. Имеем:
     
 
 
 


x2  a  x1  a  (a  x0 )  a (ax0 )  x0 (a ) 2  a (ax0 )  x0 , т.к. (a ) 2  1 .
  
  

 
 
 
 

Далее x3  a  x2  a  (a (ax0 )  x0 )  a  x0   x1 ; x4  a  x3  a  x1   x2 ;

 
 
  

x5  a  x4  a  x2   x3  x1 ; x6  x2 … .
  


Итак, различных векторов в последовательности будет 5: x0 , x1 , x2 ,  x1 ,  x2 .


 


Если x0  a , то 4: x0 , x1 ,  x0 ,  x1 .
2. Известны уравнения двух сторон ромба 3x  4 y  7  0, 4 y  3x  10  0 и
уравнение одной из его диагоналей x  y  2  0 . Составить уравнение
вписанной в ромб окружности.
Решение: Центр окружности совпадает с центром симметрии ромба, а ее
диаметр – с высотой ромба. ( x  0,5) 2  ( y  2,5) 2  0,09 .
3. Вычислить интеграл:
1
 arcsin
0
x
dx .
1 x
Решение: Использовать метод интегрирования по частям.
1
1
1
x
x
1
arcsin
dx

x
arcsin

( x /(1  x))dx   / 4  1/ 2 I1 . Заменяя в
0
1 x
1  x 0 2 0
t2 11
1
dt  2(t  arctg t ) 0  2(1   / 4) . Поэтому
2
1 t
0
1
I1
1
x  t , получаем I1  2
 arcsin
0
x
dx   / 2  1.
1 x
4. Решить уравнение:
y  3x 2 /( x 3  y  1),
y(0)  1.
Решение: Положить
z  x 3  y  1 . Тогда
y  1  ln x 3  y  2 . Другой
способ: относительно x это уравнение Бернулли.
5. Найти y (x) из уравнения y 2  4 y  x 2  0 в виде ряда Маклорена и
определить интервал сходимости этого ряда, если y(0)  0 .
Решение: Решить сначала уравнение как квадратное относительно y (x) с

 x2
1  3  5  ...  (2n  1) 2 n 
x  , сходится
учетом y(0)  0 . y  2  4  x  2  
n
8
8

n
!
n
1


при x  2 .
2