3. Решите систему уравнений

Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Тюменский областной государственный институт
развития регионального образования
Районная олимпиада по математике
2006-2007 учебный год
10 класс
1. График функции y  x 2  ax  a задан, как показано на рисунке:
y
О
х
Найдите значение а.
(4 балла)
2. Сколько лет человеку, если в 2004 году его возраст оказался равным
сумме цифр года рождения?
(4 балла)
3. Решите систему уравнений:
x  y x  y  z   72

 y  z x  y  z   120
z  x x  y  z   96

(4 балла)
4. Можно ли квадрат разрезать на: 1) два равных пятиугольника; 2) два
равных шестиугольника? И как?
(3 балла)
5. Имеется 16 различных по весу камней. Как за 22 взвешивания на
чашечных весах без гирь определить самый легкий и самый тяжелый
камни?
(5 баллов)
Решение районной олимпиады, 1-й лист
(2006 –2007 учебный год)
10 класс
1. График функции y  x 2  ax  a задан, как показано на рисунке:
y
О
х
Найдите значение а.
(4 балла)
Решение:
Данный трехчлен имеет один корень, поэтому его дискриминант равен нулю:
a 2  4a  0  a  0 или a  4 ,
причем a  0 решением задачи не является, так как изображенная парабола не является
графиком функции y  x 2 .
Ответ: 4.
2. Сколько лет человеку, если в 2004 году его возраст оказался равным сумме цифр
года рождения?
(4 балла)
Решение:
Существует два возможных варианта.
1) Пусть человек родился в 19mn году, тогда по условию 2004  19mn  1  9  m  n,
значит 104  10m  n  10  m  n, 94  11m  2n .
Так как m и n – числа натуральные и меньше 10, причем m – всегда четное,
возможно лишь m  8, n  3, значит, этот человек родился в 1983 году и ему 21 год.
2) Пусть человек родился в 200n году. Тогда по условию 2004  200n  2  0  0  n,
значит 4  n  2  n, получим n  1 . Значит, человек родился в 2001 году и в 2004 году
ему исполнилось 3 года.
Ответ: 1) 21 год; 2) 3 года.
Решение районной олимпиады, 2-й лист
(2006 –2007 учебный год)
10 класс
Рекомендации к оценке задания 2:
Оценка – 4 балла ставится только за полное решение (когда даны оба варианта
ответа); оценка – 2 балла ставится за любой из двух вариантов ответов с
соответствующим решением и пояснением.
Ответ: 1) 21 год; 2) 3 года.
3. Решите систему уравнений:
x  y x  y  z   72

 y  z x  y  z   120
z  x x  y  z   96

(4 балла)
Решение:
Сложив все три уравнения системы, получим уравнение
x  y  z 2x  2 y  2z   228 , из которого найдем x  y  z  12 или x  y  z  12 .
Подставляя вместо x  y  z  числа 12 и -12, получим в первом случае: x  2, y  4,
z  6, а во втором: x  2, y  4, z  6 .
Ответ: 2;4;6;  2;4;6 .
4. Можно ли квадрат разрезать на: 1) два равных пятиугольника; 2) два равных
шестиугольника? И как?
(3 балла)
Решение:
Да можно. Например, как показано на рисунке:
1
2
Решение районной олимпиады, 3-й лист
(2006 –2007 учебный год)
10 класс.
Рекомендации к оценке задания 4:
Оценка – 1,5 балла может быть выставлена за любой из двух вариантов
( 1) или 2) ) (способ решения может быть другим).
Пояснение к заданию 4:
В задании намеренно не уточняется вид многоугольника (выпуклый или
невыпуклый), так как иначе задача станет намного проще.
5. Имеется 16 различных по весу камней. Как за 22 взвешивания на чашечных весах
без гирь определить самый легкий и самый тяжелый камни?
(5 баллов)
Решение:
Разобьем все камни на пары. За восемь взвешиваний определим более тяжелый и
более легкий камни в каждой паре. Очевидно, что самый тяжелый камень находится в
группе из восьми более тяжелых камней, самый легкий – в группе из восьми более
легких.
За семь взвешиваний можно определить самый тяжелый из 8 камней (более
тяжелых). Например, таким способом. Взвесим два произвольных камня; более
тяжелый из них взвесим с третьим, более тяжелый из трех сравним с четвертым и т. д.
Седьмым взвешиванием сравним наиболее тяжелый из семи камней с восьмым. Более
тяжелый из них – самый тяжелый из всех 16 камней.
При помощи аналогичной процедуры из группы, состоящей из восьми более
легких камней, за 7 взвешиваний выделяется самый легкий из шестнадцати. Всего
использовано 8 + 7 + 7 = 22 взвешивания.
Рекомендации по организации и проведению
районной олимпиады по математике для 10 классов
В текстах районной олимпиады (9-11кл.) для разных классов
повторяющихся заданий нет.
Районная олимпиада по математике для 10 классов (время
выполнения – 3 часа (180 минут)) состоит из 5 заданий различных уровней
трудности из различных разделов школьного курса математики,
оцененных от 3 до 5 баллов.
К тексту олимпиады прилагаются листы с решениями заданий и
ответами. К заданиям №2, №4 имеются рекомендации по выставлению
оценок. К заданию №4 также имеется пояснение.