Площади. Принцип Дирихле для площадей.

22. Площади. Принцип Дирихле для площадей.
Площадь треугольника можно вычислить разными способами.
Многоугольники разбиваются на треугольники, причём разбиение
неоднозначно, во многих задачах эта неоднозначность используется. Один из
полезных приёмов  представление площади геометрической фигуры как
разности площади большей фигуры и площади разности фигур. (Вычисление
площади фигуры разными способами с использованием различных разбиений
часто даёт возможность легко, без больших выкладок, решить на первый взгляд
трудную и запутанную задачу).
Отметим следующее свойство площади SABC=SABD тогда и только тогда,
когда АВ||СD (C и D расположены по одну сторону от прямой АВ).
Важные теоретические замечания см. [10,с. 180]
Задача 1. Известно, что в выпуклом шестиугольнике АВСDEK АВ||СК, СD||BE,
EK||AD. Доказать, что SACЕ=SBDК.
Доказательство. Вычтем площади АСЕ и ВDK из площади
ABCDEK и сведём задачу к доказательству равенства сумм
площадей АВС, CDE, AKE и, соотв., BCD, DEK, ABK.
Согласно отмеченному свойству SABC=SABК ,. SCDE=SBCD.,
SAKE=SDEK. Отсюда всё следует.
Задача 2. Средние линии четырёхугольника ABCD  отрезки, соединяющие
середины противоположных сторон четырёхугольника. Доказать, что
АВСD  трапеция тогда и только тогда, когда одна из средних линий
делит ABCD на два четырехугольника равной площади.
Указание
Задача 3. Каждая из диагоналей выпуклого четырехугольника делит его
площадь пополам. Доказать, что АВСD  параллелограмм.
Доказательство:
Задачи также см.[13,с.68], [17], [16,с.51-54], [4,с.35-37,41], [5,с.67-74], [26], [19,с.15-18].
Литература
Принцип Дирихле для площадей. [19], [24,ч.2,с.118].
Принцип Дирихле для длин можно переформулировать для площадей и
использовать эту идею для решения следующих задач.
Задача 4. В квадрате площадью 6 расположено три многоугольника площадью 3
каждый. Доказать, что среди них найдутся два много угольника,
общая площадь которых не меньше 1.
Решение
Задача 5. Дана бесконечная клетчатая бумага и на ней фигура, площадь которой
S меньше площади клетки. Доказать, что эту фигуру можно
расположить на клетчатой бумаге так, чтобы она не покрывала ни
один узел клетки.
Решение
Задача
6. В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно
непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в
большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не
пересекался ни с одним из квадратиков.
Решение
Задача 7. Дана бесконечная клетчатая бумага и фигура, площадь которой
меньше площади клетки. Докажите, что эту фигуру можно положить
на бумагу, не накрыв ни одной вершины клетки.
Решение
Задача 8. На столе лежат 15 журналов, полностью закрывая его. Доказать, что
можно убрать 7 журналов так, чтобы оставшиеся закрывали не менее
8/15 площади стола.
Решение
Содержание