Контрольная работа по дисциплине «Элементарная математика» Раздел «Планиметрия»

Контрольная работа по дисциплине «Элементарная математика»
Раздел «Планиметрия»
(заочная форма обучения, 5 курс, 1группа, 9 семестр)
1.1. В квадрате со стороной a середины двух смежных сторон
соединены между собой и с противоположной вершиной квадрата.
Определить площадь внутреннего треугольника.
1.2. В прямоугольнике проведены биссектрисы двух углов,
прилежащих к большей стороне. Определить, на какие части делится
площадь
прямоугольника
этими
биссектрисами,
если
стороны
прямоугольника равны 2 и 4 см.
1.3. Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны равны 26
и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через
точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить
площадь полученной при этом трапеции.
1.4. Большее основание трапеции имеет длину 24 см. Найти длину ее
меньшего основания, если известно, что расстояние между серединами
диагоналей трапеции равно 4 см.
1.5. Периметр ромба равен 2p; длины диагоналей относятся как m:n.
Вычислить площадь ромба.
1.6. Определить сторону ромба, зная, что площадь его равна S а длины
диагоналей относятся как m:n.
1.7. Найти площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со
стороной a.
1.8. В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на
сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата
углы в 60˚. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь
вписанного?
1.9. Найти площадь правильного треугольника, вписанного в квадрат
со стороной a, при условии, что одна из вершин треугольника совпадает с
вершиной квадрата.
1.10.Найти расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного
треугольника до его гипотенузы, равной 25, если один из его катетов равен
20.
2.1. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его
сторону на отрезки длиной m и n. Определить диагонали ромба.
2.2. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол содержит
60˚. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении
1:3. Найти стороны параллелограмма.
2.3. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции,
пересекаются под прямым углом. Найти длины сторон трапеции, если её
площадь равна 12 см 2 , а длина высоты равна 2 см.
2.4. Периметр прямоугольного треугольника ABC (  C=90˚) равен 72
см, а разность между длинами медианы CK и высоты CM равна 7 см. Найти
длину гипотенузы.
2.5 Перпендикуляр, проведённый из вершин параллелограмма к его
диагонали, делит эту диагональ на отрезки 6 и 15 см. Разность длин сторон
параллелограмма равна 7 см. Найти длины сторон параллелограмма и его
диагоналей.
2.6. В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а
противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 2:3.
Диагонали ромба равны m и n. Найти стороны треугольника, содержащие
стороны ромба.
2.7. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с
катетами 24 и 18 см.
2.8. Площадь прямоугольника равна 9 см 2 , а величина одного из углов,
образованного диагоналями, равна 120˚. Найти стороны прямоугольника.
2.9. Сумма длин диагоналей ромба равна m, а его площадь равна S.
Найти сторону ромба.
2.10. Площадь прямоугольного треугольника равна 2 3 см 2 .
Определить его высоту, проведённую к гипотенузе, если она делит прямой
угол в отношении 1:2.
3.1 Каждая сторона правильного треугольника разделена на три
равные части, и соответственные точки деления, считая в одном
направлении, соединены между собой. В полученный правильный
треугольник вписана окружность радиуса r=6 см. Определить стороны
треугольника.
3.2. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18 см. Проведена
окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на
большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит
большую сторону треугольника.
3.3. Дан правильный треугольник ABC. Точка K делит сторону AC в
отношении 2:1, а точка М-сторону АВ в отношении 1:2 (считая в обоих
случаях от вершины А). Показать, что длина отрезка КМ равна радиусу
окружности, описанной около треугольника ABC.
3.4. В окружности проведены две хорды АВ=а и АС=b. Длина дуги АС
вдвое больше дуги АВ. Найти радиус окружности.
3.5. В окружности радиуса r проведена хорда, равная
r
. Через один
2
конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой - секущая,
параллельная касательной. Найти расстояние между касательной и секущей.
3.6. Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60˚ и 120˚. Найти
отношение площадей этих кругов.
3.7. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как 5:12, а
длина её высоты равна 17 см. Вычислить радиус окружности, описанной
около трапеции, если известно, что её средняя линия равна высоте.
3.8. Радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2.
Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен а.
3.9. В сегмент, дуга которого равна 60˚, вписан квадрат. Вычислить
площадь квадрата, если радиус круга равен 2 3 + 17 .
3.10. В треугольнике длины сторон относятся как 2:3:4. В него вписан
полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти отношение
площади полукруга к площади треугольника.
4.1. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника,
равна Н и вдвое больше своей проекции на боковую сторону. Найти площадь
треугольника.
4.2. Найти длины сторон равнобедренного треугольника АВС с
основанием АС, если известно, что длины его высот АN и BM равны
соответственно n и m.
4.3. В ромб с острым углом 30˚ вписан круг, а в круг – квадрат. Найти
отношение площади ромба к площади квадрата.
4.4. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник,
если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 см.
4.5. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной
площади, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Найти
площадь треугольника, если известно, что центры масс треугольника и
квадрата совпадают (центр масс треугольника лежит на пересечении его
медиан).
4.6. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в
отношении 3:1, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с
вершинами в этих трех точках меньше площади исходного треугольника?
4.7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а
проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус
окружности, вписанной в треугольник.
4.8. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой
окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найти
сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r.
4.9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см,
основание 12 см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены
касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от данного
треугольника два прямоугольных треугольника. Найти длины сторон этих
треугольников.
4.10. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 3 см. Найти
длину третьей стороны, если полусумма высот, проведенных к данным
сторонам, равна третьей высоте.
5.1. В равнобедренной трапеции даны основания а=21 см, b=9 см и
высота h=8 см. Найти радиус описанного круга.
5.2. Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды проведена
касательная к окружности, а через другой секущая, параллельная
касательной. Определить радиус окружности, если внутренний отрезок
секущей равен 12 см.
5.3. Через концы дуги окружности, содержащей 120˚, проведены
касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой,
вписана окружность. Доказать, что её длина равна длине исходной дуги.
5.4. Дана точка P, удалённая на 7 см от центра окружности радиуса 11
см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Каковы длины отрезков,
на которые делится хорда точкой P.
5.5. Радиусы вписанной и описанной окружности прямоугольного
треугольника равны соответственно 2 и 5 см. Найти катеты треугольника.
5.6. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, площадь его
равна 24 см 2 . Найти площадь описанного круга.
5.7. Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 120˚, если
радиус вписанного круга равен 4 12 см.
5.8. В точках пересечения двух окружностей радиусами 4 и 8 см
касательные к ним взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь фигуры О
1 АВО 2 , где АВ - общая касательная к окружности, а О 1 и О 2 - их центры.
5.9. В ромб с острым углом 30˚ вписан круг, площадь которого равна Q.
Найти площадь ромба.
5.10. В круговой сектор, дуга которого содержит 60˚, вписан круг.
Найти отношение площади этого круга к площади сектора.
6.1. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, О –
1
3
произвольная точка пространства. Доказать равенство ОМ = ( ОА + ОВ + ОС )
6.2. Точка М, лежащая на отрезке АВ, делит его в отношении m:n, т.е.
АМ:МВ= m:n; О – произвольная точка пространства. Выразить вектор ОМ
через векторы ОА и ОВ .
6.3. Точка О является центром тяжести (точка пересечения медиан)
треугольника АВС. Доказать, что ОА + ОВ + ОС =0.
6.4. Даны четыре точки А, В, С, D. Точки M и N – середины отрезков
1
2
АС и ВD. Доказать, что MN = ( AD + CB ) .
6.5. ABCDEF – правильный шестиугольник, AB = p , BC = q . Выразить
через p и q векторы CD , DE , EF , FA , AC , AD , AE .
6.6. В четырёхугольнике ABCD точка E – середина AB, K – середина
CD. Докажите, что середины отрезков AK, CЕ, BK и DF являются вершинами
параллелограмма.
6.7. В треугольнике АВС проведены медианы АА 1 , ВВ 1 , СС 1 .
Докажите, что АА1 + ВВ1 + СС1 =0.
6.8. Дан тетраэдр ОАВС. Выразить через векторы ОА , ОВ , ОС вектор
EF c началом в середине Е ребра ОА и концом в точке F пересечения медиан
треугольника АВС.
6.9. В трапеции ABCD основания AD и BC таковы, что
AD
BC
=λ.
Полагая AC =a, BD =b, выразить через a и b векторы AD , BC , CD и DA .
6.10. В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузу AB опущен
перпендикуляр СH . Выразить вектор СH через векторы CA , CB и длины
катетов BC =a, СА =b.
7.1. Расстояние от боковой стороны равнобедренного треугольника,
равной 16, до центра описанной около него окружности равно 6. Найти
радиус этой окружности.
7.2. Периметр прямоугольника ABCD равен 24 см. Точка О
принадлежит этому прямоугольнику. Найти сумму расстояний от этой точки
до всех сторон прямоугольника.
7.3 Найти боковую сторону равнобокой трапеции, описанной около
круга, если острый угол при основании трапеции равен

6
, а площадь
трапеции 288.
7.4. Через концы хорды, длина которой 30 см, проведены две
касательные до пересечения в точке А. Найти расстояние от точки А до
хорды, если радиус окружности равен 17 см.
7.5. В окружности радиуса R= 3 см из одного конца диаметра
проведена касательная, а из другого хорда, стягивающая дугу в 120˚. Хорда
продолжена до пересечения с касательной. Найти внешний отрезок секущей.
7.6. Расстояние от центра окружности до хорды равно
5 3
и вдвое
2
меньше радиуса. Найти длину хорды.
7.7. В круговой сектор вписана окружность, радиус которой в 3 раза
меньше радиуса сектора. Найти величину центрального угла.(в градусах)
7.8. Около окружности описана трапеция, площадь которой 20 см 2 , а
синусы углов при основании равны 0,8. Найти длину средней линии
трапеции.
7.9. Диагональ в прямоугольной трапеции, равная
2 2 1
, делит
8
трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найти
периметр трапеции.
7.10. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого
отношение длинны описанной окружности к стороне многоугольника равно
2 ?
8.1. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая
сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и
расстояние между их центрами.
8.2. Основание равнобедренного треугольника равно 4 2 см, а медиана
боковой стороны 5 см. Найти длины боковых сторон.
8.3. Общая хорда двух окружностей служит для одной из них стороной
вписанного квадрата, а для другой – стороной правильного вписанного
шестиугольника. Найти расстояние между центрами окружностей, если
радиус меньшей из них равен r (рассмотреть два возможных случая
расположения окружностей).
8.4. Каждая из трёх равных окружностей радиуса r касается двух
других. Найти площадь треугольника, образованного общими внешними
касательными к этим окружностям.
8.5. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол содержит
60˚. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении
1:3. Найти стороны параллелограмма.
8.6. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
центров под углами 90 и 60˚. Найти радиусы окружностей, если расстояние
между их центрами равно 3 +1.
8.7. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с
катетами 24 и 18 см.
8.8. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15 и 60˚.
Найти площадь треугольника.
8.9. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, площадь его
равна 24 см 2 . Найти площадь описанного круга.
8.10. Основания трапеции равны a и b, углы при большем основании
равны

6
и

4
. Найти площадь трапеции.
9.1. В треугольнике АВС : АВ=4 7 , АС=5 7 , ВС=6 7 . Найти
расстояние от вершины В до точки пересечения высот треугольника АВС.
9.2. Площадь треугольника АВС равна 16 см 2 . Найти длину высоты
АВ, если АС=5 см, ВС=8 см и угол С тупой.
9.3. Биссектриса АD равнобедренного треугольника АВС делит его на
треугольники АВD и ACD площадью 4 см 2 и 2 см 2 соответсвенно. Найти
стороны треугольника, если АВ его основание.
9.4. Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота,
опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону,
равна 12.
9.5. Медианы прямоугольного треугольника, проведённые к катетам,
относятся как 2 :1. Найти углы треугольника.
9.6. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник,
если проекции катетов на гипотенузу равны 9 см и 16 см.
9.7. В прямоугольном треугольнике АВС длины катетов АС и ВС
соответственно равны 12 и 8. Точка К – середина медианы ВD. Найти длину
отрезка СК.
9.8. В прямоугольном треугольнике отношение r:R равно
2
. Найти
5
острые углы треугольника.
9.9. Найти сумму длин катетов прямоугольного треугольника, если
длина гипотенузы 20 см, а радиус вписанной окружности 4 см.
9.10. Биссектриса AD равнобедренного треугольника АВС составляет с
основанием АС угол тангенс которого равен 0,5. Найти косинус угла АВС.
10.1. В ромб вписан круг, а в круг вписан квадрат. Чему равен угол
ромба, если площадь квадрата в 4 раза меньше площади ромба?
10.2. Стороны прямоугольника равны a и b. На стороне а, как на
диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит
диагональ прямоугольника?
10.3.
В
параллелограмме
ABCD
длина
диагонали
BD,
перпендикулярной стороне AB, равна 6. Длина диагонали AC равна 2 22 .
Найти длину стороны AD.
10.4. Две окружности радиусов r и 3r касаются внешним образом.
Найти площадь фигуры, займоченной между окружностями и их общей
касательной.
10.5. Точка лежит вне круга на расстоянии диаметра от центра круга.
Найти угол между касательными, проведёнными из данной точки к данному
кругу.
10.6. Три круга касаются внешним образом. Расстояние между
центрами кругов равны 7 см, 8 см и 9 см. Найти радиусы кругов.
10.7. В окружности пересекающиеся хорды АВ и СD перпендикулярны,
AD=m, ВС=n. Найти диаметр окружности.
10.8. Сторона правильного треугольника равна а. Из его центра
радиусом
а
описана окружность. Определить площадь части треугольника,
3
лежащей вне этой окружности.
10.9. В сектор с центральным углом 60˚ вписан круг. При каком
радиусе площадь круга равна π?
10.10. Периметр параллелограмма 90 см, а острый угол 60˚. Диагональ
параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти
стороны параллелограмма.
Варианты контрольной работы (1 группа)
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
№ задания
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
3 4 10 9 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 4 10 9 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 3 4 10 9 8 7 1 2 3 4 5 6 7
4 2 1 3 4 10 9 8 7 1 2 3 4 5 6
5 4 2 1 3 4 10 9 8 7 1 2 3 4 5
6 5 4 2 1 3 4 10 9 8 7 1 2 3 4
7 6 5 4 2 1 3 4 10 9 8 7 1 2 3
8 7 6 5 4 2 1 3 4 10 9 8 7 1 2
9 8 7 6 5 4 2 1 3 4 10 9 8 7 1
10 9 8 7 6 5 4 2 1 3 4 10 9 8 7
1 10 9 8 7 6 5 4 2 1 3 4 10 9 8
2 1 10 9 8 7 6 5 4 2 1 3 4 10 9
3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 2 1 3 4 10
4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 2 1 3 4
5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 2 1 3
6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 2 1
7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 2
8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4