Урок геометрии в 11 классе

Пименова Нина Аркадьевна, учитель математики ГОУ ЦО №1998 «Лукоморье».
Урок геометрии в 11 классе
Тема: «Объёмы многогранников».
Цели и задачи: обобщить знания учащихся о свойствах площадей и объёмов, продолжить
формирование умений решать задачи различного уровня сложности по данной теме,
вырабатывать стратегии их решения с целью применения при подготовке к ЕГЭ.
Ход урока.
Устная работа:
- Какие многогранники вы знаете?
- Какие виды призм, пирамид?
- Какова формула объёма призмы, пирамиды, усечённой пирамиды?
- Перечислить все известные формулы площади треугольника, четырёхугольника.
- Основанием призмы является треугольник со сторонами 5 и 4 и углом 30 градусов между
ними, высота призмы равна 0,2. Найдите объём.
- Основание призмы – квадрат со стороной 3. Найдите объём призмы, если её высота равна
удвоенной диагонали квадрата.
- Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с меньшим катетом
4 и острым углом 30 градусов. Найти объём пирамиды, если её высота равна гипотенузе
основания.
Решение задач
1).Учащимся предлагается 3 варианта задач 1 уровня сложности (по одной в каждом варианте)
для самостоятельного решения. Ученики, выполнившие свой вариант первыми, готовят у доски
решение и свою стратегию, затем рассказывают выполнение данного задания всему классу.
1 вариант. Найти объём прямого параллелепипеда, зная, что его высота равна 3 , диагонали
составляют с основанием углы 45 и 60 , а основанием служит ромб.
2 вариант. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 171. Найти объём другой
правильной четырёхугольной пирамиды, у которой сторона основания в 3 раза меньше, а
высота равна высоте данной пирамиды.
3 вариант. Стороны оснований правильной шестиугольной усечённой пирамиды равны 4 и 2.
Найти объём усечённой пирамиды, если её высота равна 3 .
У доски рассказывали решение задач и свои стратегии учащиеся, умеющие легко решать
простейшие задачи. Их пояснения практически похожи:
1 вариант
- прочитал задачу
- начертил прямой
параллелепипед, провёл его
диагонали и построил углы,
которые они составляют с
основанием
- написал формулу объёма
2 вариант
- прочитала задачу
-записала формулу объёма
пирамиды
-обозначил сторону
меньшего основания за х,
тогда сторона большего
основания – 3х
3 вариант
- прочитал задачу
- написал формулу объёма
усечённой пирамиды
- выяснил, что для решения
необходимо найти площади
правильных шестиугольников
- вспомнил, что правильный
прямоугольного параллелепипеда
-подставил известные данные и
определил, что необходимо
найти площадь основания
-определил, что для этого
необходимо знать формулу
площади ромба
- решил, что подойдёт та,
которая связана с диагоналями,
так как в задаче известны
диагонали призмы
- нашёл диагонали ромба,
используя определение косинуса
острого угла прямоугольного
треугольника
- нашёл площадь основания
призмы
- подставил данныё в формулу и
нашёл объём
- мой ответ совпал с ответом
учителя.
- подставив известные
данные в исходную формулу,
получил линейное уравнение с
одной переменной,
- решив уравнение,
определил сторону
пирамиды, объём которой
необходимо найти
-подставил в формулу
значения и нашёл объём
пирамиды
-сверился с ответами
одноклассников, они совпали
шестиугольник состоит из
шести правильных
треугольников со стороной,
равной стороне шестиугольника
- используя формулу площади
правильного треугольника,
нашёл площади оснований
усечённой пирамиды
- подставил все значения и
нашёл объём
- убедился, что найденное
значение такое же, как и у
учителя
Необходимо отметить, что не все учащиеся смогли справиться с задачей, встретились
ответы следующего содержания: 1.Прочитала задачу.2. Начертила рисунок. 3.Вспомнила
формулу объёма пирамиды. 4. Попыталась принять стороны четырёхугольника за х. 5.
Подумала и решила, что не могу решить и списала с доски.
Обсуждение решения задач различного содержания дало возможность всему классу
ознакомиться также и с несколькими подходами к их решению.
2). Теперь класс делится учителем на 6 групп по 4-5 человек в каждой разного уровня
обученности, что создаёт возможность обмениваться своим мыслями в процессе решения
задач.
Даётся 2 варианта заданий по три задачи в каждом 1-го, 2-го, и 3-го уровня сложности.
Учащимся предлагается выполнить данное задание, обсуждая при этом процесс их решения и
вырабатывая стратегии.
3). По одному учащемуся от каждой группы рассказать решение одной из предложенных задач,
затем ознакомить со стратегией её решения.
1 уровень сложности:
1 вариант. В прямом параллелепипеде стороны основания, равные 2 и 8, образуют угол 30
.Площадь боковой поверхности равна 10. определить объём параллелепипеда.
2 вариант. Основаниями усечённой пирамиды служат прямоугольные равнобедренные
треугольники, гипотенузы которых равны 7 и 5. Найти объём усечённой пирамиды. Если её
высота равна 12.
2 уровень сложности.
1 вариант. Определить объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если её
диагональ равна 18, а длины сторон оснований равны 14 и 10.
2 вариант. Найти объём правильной треугольной призмы, если сторона её основания равна 2,
а площадь боковой поверхности равна сумме площадей оснований
3 уровень сложности.
1 вариант. В кубе через сторону основания проведено сечение под углом 30 градусов к
плоскости основания. Найти площадь сечения, если ребро куба равно 3.
2 вариант. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, основание которого равно 6, а
высота равна 9. Каждое боковое ребро равно 13. Вычислить объём пирамиды.
Все группы справились с заданиями, однако в каждой были учащиеся, которые самостоятельно
не могли найти верное решение и их товарищи помогали им. У доски было разобрано решение
всех задач, причём отвечали как слабые(1 уровень сложности), так и сильные(3 уровень
сложности). Стратегии ребят различного уровня подготовки отличались своим подходом и
количеством действий.
1 уровень
сложности
2 уровень
сложности
Слабые
1. Представил
параллелепипед.
2.Сравнил задачу с ранее
решённой.
3. Изобразил чертёж и
отметил на нём известные
данные.
4.Записал формулы объёма и
боковой поверхности.
5. Подставил известные
величины в обе формулы и
выяснил, что необходимо
найти для решения.
6. По формуле боковой
поверхности нашёл высоту
параллелепипеда.
7.Выбрал формулу, по
которой можно найти
площадь основания, нашёл
её.
8.Подставил в формулу
объёма все данные,
вычислил.
9. Ответ сравнил с ответом
товарища.
1. Прочитал задачу.
2. Начертил усечённую
пирамиду.
3. Посмотрел, как товарищи
провели диагональ и
обозначили на чертеже
известные данные.
4. Записал формулу объёма.
5. Нашёл площади
оснований пирамиды.
6. Провёл высоту пирамиды
и стал думать, как её найти.
7. Спросил у товарища, как
Средние
1.Начертил
параллелепипед,
обозначил на нём всё,
что известно.
2. Выписал все формулы,
которые упоминаются в
условии.
3.Нашёл площадь
основания.
4. По формуле боковой
поверхности нашёл
высоту.
5. Подставил найденные
значения и вычислил.
6. Сверил ответ с
товарищами.
Сильные
1. Прочитал задачу.
2. Представил
параллелепипед.
3. Записал, что нам
дано и что
необходимо найти.
4. Выписал
необходимые
формулы и выразил
высоту
параллелепипеда из
формулы боковой
поверхности.
5. Подставил все
известные значения в
формулу и получил
ответ, в котором я
уверен.
1. Прочитал задачу.
2. Изобразил чертёж и
обозначил на нём все
известные элементы.
3. Записал формулу для
нахождения объёма
усечённой пирамиды.
4. Подставил известные
данные и выяснил, что
необходимо ещё найти
для решения задачи.
5. Начертил плоский
чертёж.
1. Прочитал задачу.
2. Мысленно
представил чертёж.
3. Начертил
усечённую пирамиду,
проёл в ней
диагональ и высоту.
4. Записал, что нам
известно по условию
и что необходимо
найти.
5. Обозначил на
чертеже известные
3 уровень
сложности
это можно сделать.
8. Изобразил плоский чертёж
и попробовал найти высоту.
9. У меня не получилось,
послушал порядок действий,
которые необходимо
выполнить и произвёл
вычисления.
10. Подставил найденные
значения в формулу и
полученный ответ сверил с
товарищами по группе.
6. Обсудил с ребятами
как можно вычислить
высоту.
7. Произвёл решение,
применив теорему
Пифагора.
8. Подставил все
значения в формулу,
получил приятный ответ.
9. Сверился с
товарищами и убедился в
верном решении.
1. Прочитал задачу.
2. Нарисовал чертёж.
3.Все известные данные
обозначил на чертеже.
4.Записал, что нам известно
и что необходимо найти.
5. Выписал формулу объёма
и понял, что пока никакие
данные подставить в неё не
могу.
6. Изобразил плоский чертёж
для нахождения площади
основания.
7.Проконсультировался с
ребятами и нашёл площадь
основания пирамиды.
8. Попытался найти высоту,
но у меня ничего не
получалось.
9. Послушал обсуждение
решения одноклассниками и
переписал его себе в тетрадь.
10. Подставил найденное
значение в формулу,
вычислил ответ.
11.Сверил найденное
значение с ответом
товарищей, оно оказалось
верным.
12. Ещё раз просмотрел
решение задачи.
1. Прочитал задачу.
2. Начертил пирамиду и
известные величины
отметил на чертеже.
3. Записал формулу для
нахождения
окончательного ответа.
4. Изобразил плоский
чертёж основания и
нашёл его площадь.
5. Понял, что высоту
можно найти, используя
теорему Пифагора,
однако, для этого
необходимо найти ещё
один элемент.
6. Обратился за
помощью к ребятам по
группе, которые
напомнили мне свойства
пирамиды, у которой
равны высоты.
7. Нашёл радиус
описанной около
основания окружности, а
затем и высоту.
8. Подставил все
значения в формулу и
пришёл к ответу.
9. Сверил ответ с
товарищами.
данные.
6. Продумал план
решения задачи.
7. Для удобства
сделал плоский
чертёж, нашёл высоту
пирамиды. Используя
теорему Пифагора.
8. Подставил в
формулу все
необходимые
значения и нашёл
ответ.
9. Сверил свой ответ
с ответом учителя.
1. Прочитал задачу.
2. Изобразил чертёж.
3. Обозначил на нём
все известные
величины.
4. Стал думать.
5. Мысленно
выстроил план
решения задачи.
6. Вспомнил все
свойства пирамиды.
7. Выписал
необходимые
формулы, сделал
дополнительный
чертёж.
8. Произвёл
вычисления, нашёл
площадь основания и
высоту пирамиды.
9. Подставил
найденные значения в
формулу, получил
ответ.
10. Сверил ответ у
преподавателя.
Итог урока: обсуждение стратегий решения задач, выделение основных этапов, формирование
группы учащихся по написанию памятки решения задач по данной теме.
Группа учащихся, которая занималась написанием памятки, на следующем уроке представила
свою работу классу, она была немного подкорректирована и принята на вооружение.
Памятка для решения задач по теме «Объёмы многогранников»
Для успешного решения задач по теме необходимо:
- уметь изображать все основные многогранники;
- знать их свойства;
- знать формулы объёма многогранников, а также и их поверхностей.
Решая задачу:
1.Внимательно прочитай задачу.
2. Изобрази чертёж.
3. Определи, что дано и что необходимо найти.
4. Отметь все известные данные на чертеже.
5. Выпиши необходимую формулу.
6. Обдумай план решения.
7. Если необходимо найти дополнительные элементы, сделай плоский чертёж.
8. При возникновении затруднений обратись к справочнику.
9. Аккуратно выполни вычисления, подставив все необходимые данные в формулу.
10. Сверь с ответом, если это возможно.
Кроме того, что учащиеся написали памятку, они также предложили и справочный материал,
в котором отобразили все основные формулы и чертежи. Необходимо отметить, что в
дальнейшем, отвечая у доки, учащиеся вслух непроизвольно проговаривали выработанные
стратегии решения задач.