Андреев В.В. ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова» г. Чебоксары

Андреев В.В.
ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»
г. Чебоксары
Математические модели для поддержки принятия оптимальных управленческих решений
в социально- экономических системах
1. Введение
В социально- экономической сфере большое значение имеет построение математических моделей, с помощью которых можно адекватно описать многообразие процессов,
протекающих в них. Модель отражает гипотезу об основных факторах развития социальной системы, выраженных, в частности, в показателях удовлетворенности социальными
потребностями. Важность таких моделей заключается в возможности прогнозирования на
их основе конечных результатов эволюции тех или иных социально- экономических явлений. Модель позволяет учесть в процессе разработки и реализации реформы наиболее
проблемные с точки зрения развития социальной сферы направления, которые могут быть
как непосредственными целями государственной реформы, так и источниками рисков.
Следует отметить, что прогнозирование является ключевым элементом при принятии тех
или иных решений. Возможность предсказать до принятия решения нежелательные и
неуправляемые аспекты событий позволяет сделать наиболее оптимальный выбор.
Из-за сложности, многофакторности и противоречивости развития социально- экономической системы, а также взаимозависимости экономических, демографических и
геополитических процессов часто появляются мысли, что всё это невозможно описать
простыми универсальными законами. Однако это не так. Эволюция человечества как
глобальной системы, как и эволюция любой открытой неравновесной системы, подчиняется законам нелинейной динамики и синергетики [1, 2]. Применяя методы и теоретические представления синергетики, определяя параметры порядка социального развития,
соответствующие тому или иному иерархическому уровню организации, и главные действующие силы, можно создавать достаточно простые модели, способные адекватно описывать и предсказывать сценарии развития того или иного процесса в этой глобальной
системе [3].
Один из известных приемов построения модели, описывающей сложную социальную ситуацию, заключается в построении диаграммы факторов, оказывающих наиболее
сильное влияние на целостность социальной системы, возможности ее развития, качество
жизни граждан. Количественные оценки параметров модели могут быть получены как
методом экспертных оценок, так и методом социологического опроса.
2. О важности математических методов в теории социально- экономических систем
В условиях инновационного развития современного общества и нарастания неопределенности социальных изменений возникает потребность в эффективных методах
диагностики социально- инновационной среды, прогнозирования будущего и оценки
рисков, основанных на адекватных научных моделях. Эти проблемы рассмотрены в работе [4].
Сегодня наблюдается серьезный разрыв в коммуникации между управленцами, обладающими знаниями и практическим опытом в сфере государственного и муниципального управления и специалистами, владеющими методами математического и компьютерного моделирования. Один из путей решения этой проблемы видится в более широком
понимании процесса моделирования как динамического процесса формирования в созна1
нии субъекта- исследователя целостного образа, отражающего сущностные характеристики моделируемой реальности. При этом исследователи предполагают, что данный образ
может быть построен посредством различных языков и инструментов. А это означает, что
мир строгих математических моделей может быть системно сопряжен с комплексом гибких средств описания (интуитивно- понятных, качественных, когнитивных), выполняющих роль коммуникативного посредника между специалистами разных дисциплин и сфер
деятельности. Качественные модели, обсуждаемые в работе [4], позволяют ухватить основные характеристики социальной реальности, упрощая, тем самым, сложность (как в
понимании объекта, так и средствах выражения) и формируя целостный образ, необходимый для адекватной оценки ситуации лицом при принятии управленческого решения, а
также постановки задач на более строгие, количественные исследования. Таким образом,
речь идет о необходимости формирования у управленцев навыков «модельного мышления» через освоение методов качественного моделирования социальных процессов.
3. Подходы к моделированию социально- экономических систем
В последнее время значительное внимание уделяется анализу социально- экономических процессов с помощью математических методов. Так в работе [5] исследованы
демографические процессы, протекающие в мире, в предположении, что мировое сообщество– это сложная неравновесная саморазвивающаяся и самоорганизующаяся система.
Благодаря применению синергетики в настоящее время значительные успехи достигнуты в области глобальной демографии. Здесь имеется ряд математических моделей,
теоретически объясняющих наблюдаемый в ХХ веке взрывной рост народонаселения
Земли в режиме с обострением – демографический взрыв и происходящий в настоящее
время глобальный демографический переход [6- 9].
Одной из наиболее глубоко разработанной в этой области является математическая
модель, созданная С.П. Капицей [6]. Он впервые предложил рассматривать население
мира как единую самоорганизующуюся систему, развитие которой подчиняется в большей
степени собственным внутренним законам, чем внешним факторам. Он показал, что общая численность населения Земли N есть ведущая медленная переменная (главный параметр порядка), к которой подстраиваются все остальные переменные. При анализе глобального демографического процесса все остальные параметры и процессы, влияющие на
рост народонаселения, такие, как распределение людей в пространстве, возрастные, расовые и имущественные различия, в модели усредняются и тем учитываются в общем взаимодействии. Из этого следует, что именно демография, рост народонаселения Земли,
обусловливает характер социальных, экономических и геополитических процессов, происходящих в глобальной системе человечества. В результате С.П. Капице удалось описать, всесторонне проанализировать и объяснить гиперболический рост народонаселения,
имевший место на протяжении почти всей истории человечества. Также была обоснована
закономерность наблюдаемого в настоящее время глобального демографического перехода.
C помощью модели, учитывающей пространственное распределение народонаселения и естественные флуктуации его численности, можно описать устойчивость закона
роста общего числа людей в режиме с обострением и усиление неустойчивости развития
мирового сообщества в целом. Такая модель также учитывает две противоположные тенденции, наблюдаемые в истории человечества:
1) стремление к объединению;
2) распад существовавших империй и стремление к национальному и этническому самоопределению.
2
Идея построения такой модели, в основе которой лежит квазилинейное уравнение
теплопроводности с источником, была впервые выдвинута С.П. Курдюмовым, и реализована коллективом авторов в работах [10- 12]. Модель является развитием глобальной
демографической модели С.П. Капицы, учитывающей пространственное распределение
народонаселения. На основе этой модели:
1) дан характер пространственного распределения людей по Земному шару и возникновение неоднородностей (урбанистических кластеров и их эволюция);
2) указаны причины появления характерной периодичности в истории человечества в
форме 11 главных исторических эпох, на которые указывает и которые изучает в своих
работах С.П. Капица;
3) изучены различное влияние локальных и глобальных флуктуаций в разные исторические периоды развития мирового сообщества (на разных стадиях процесса гиперболического роста);
4) показана неединственность пути исторического развития, существование нескольких
аттракторов на отдаленную историческую перспективу (30-50-100 лет);
5) изучены процессы миграции и влияние локальных и глобальных флуктуаций и их влияние на рост в разные исторические периоды развития мирового сообщества (на разных
стадиях процесса гиперболического роста).
Для описания явления столь глобального масштаба, как рост народонаселения Земли на протяжении миллионов лет, С.П. Капица использовал системный подход, опирающийся на идеях синергетики. Человечество рассматривается им как единая система. Многие факты указывают на то, что такой подход правомерен и плодотворен. Это, например,
устойчивость общего закона гиперболического роста или относительная синхронность
смен исторических эпох в разных регионах Земного шара, свидетельствующая о сильных
информационных взаимодействиях в мировой системе даже в те далекие времена. В основе модели С.П. Капицы лежит одно обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее изменение во времени полного числа людей N 
единственной аддитивной переменной:
dN N 2
.


dT K 2
Здесь время T выражено в годах от начала нашей эры, а  и K - две важнейшие системные константы, подобранные эмпирическим путем. Другие переменные исключаются,
поскольку процесс роста рассматривается на большом числе поколений, достаточном для
устранения отклонений, вызванных случайными факторами. Время  - это некоторая
средняя временная характеристика системы, описывающая репродуктивную способность
и эффективное время жизни одного поколения. Разные авторы используют несколько
отличающиеся значения  , у С.П. Капицы   45 лет [9].
В работе [13] кратко описываются результаты работы по моделированию современной российской экономики. В связи с этим также обсуждаются принципы и методы
моделирования экономики, возникающие при этом принципиальные трудности.
Таким образом, широко применяется математическое моделирование для решения
социально- экономических проблем. Строятся классические стохастические и динамические модели экономических явлений. Среди них демографическая динамика, различные
модели конкуренции, базовые модели замкнутой экономики и упрощенные модели экономики современной России занимают важное место [13].
3
4. Модели исследования
Важное место при принятии управленческих решений занимает умение предвидеть
возможные пути развития различных процессов, протекающих в социально- экономической системе. Некоторые модели, относящиеся к классу так называемых моделей «хищник- жертва», применительно к социально- экономическим системам были исследованы в
работах [14- 18].
В предыдущих работах [19- 24] на основе математического моделирования была
проанализирована ситуация в России в 90-е годы 20 века и в начале 21 века. В этих работах в результате проведённых исследований моделей был сделан вывод о том, что очередной кризис социально- экономической системы в России может наступить в 2009/2010
годах. Сейчас, когда контуры мирового финансового кризиса довольно чётко обозначились, можно утверждать, что разработанные математические модели достаточно корректны. Кроме того, предложенные модели были использованы также для исследования прошедших уже этапов эволюции России (СССР). В частности, они правильно позволили
смоделировать распад СССР в 1991 году [20] и дефолт в России 1998 года [19, 21, 23, 24].
Разработанные модели позволяют не только заглянуть в будущее конкретной социально- экономической системы. Их можно применять при выработке оптимальных управленческих решений для предвидения и исключения возможных нежелательных тенденций
эволюции социально- экономической системы.
5. Исследование модельных систем социально- экономической динамики
В работе сделана попытка анализа социально- экономической динамики России на основе математического модеX1
лирования с привлечением данных государственной статистики с 1991 по 2006 годы. Выбор основных факторов и
X2
соответствующих им переменных при анализе системы обусловлен моделью социально- экономических взаимодействий
типа «хищник-жертва» [3, 4]. В качестве основной «жертвы»
был взят один из главных показателей, лежащий в основе
X3
развития производственной сферы и общественной инфраструктуры, – производство электроэнергии ( X 4 ) [28]. В роли
X4
главного «хищника» выступает контролирующий орган государства – правительство ( X 1 ). Роли промежуточных «хищниРис. 1. Взаимодействия
ков» принадлежат показателям уровня жизни населения ( X 3 )
элементов модели
«хищник- жертва».
и уровня развития производства ( X 2 ). Здесь X 1 может униСтрелка исходит от
чтожать элементы X 2 и X 3 , т.е. выступает в роли хищника по
«хищника» и
заканчивается на
отношению к X 2 и X 3 . В свою очередь, X 2 является хищни«жертве».
ком по отношению к X 3 . Элемент X 3 в данной системе может
уничтожать X 4 , который выступает только в роли жертвы. Численность популяции элементов X i обозначим через xi . Тогда динамика такой системы описывается следующей
системой дифференциальных уравнений:
dx1
dx2
 1x1  1x1x2   1x1x3 ,
  2 x2   2 x1x2   2 x2 x3 ,
dt
dt
dx3
dx4
  3 x4 x3  3 x1x3   3 x2 x3 ,
  4 x4   4 x3 x4 .
dt
dt
4
Здесь все коэффициенты  i ,  i и  i являются в общем случае зависящими от времени t .
В работе исследованы также модели, в которых в качестве основных взаимодействующих элементов социально- экономической системы рассмотрены другие факторы.
Анализ моделей показал, что они адекватно описывают динамику социально экономических систем. Модели можно использовать для создания научно-обоснованных прогнозов
для определения наиболее благоприятных вариантов развития социально-экономической
системы страны в будущем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Князева Е.Н. Основания синергетики. Режимы с обострением, самоорганизация,
темпомиры. / Е.Н. Князева, С.П. Курдюмов. – СПб.: Алетейя, 2002. – 416 с.
2. Хакен Г. Самоорганизующееся общество [Электронный ресурс]//сайт.–URL:
http://spkurdyumov.narod.ru/Haken51.htm (дата обращения: 01.09.2008).
3. Малков С.Ю. Математическое моделирование исторических процессов // Новое в
синергетике. Взгляд в третье тысячелетие / [под ред. Г. Г. Малинецкого и С.П. Курдюмова]. – М.: Наука, 2002. – С. 291–323.
4. Москалев И. Е. Методы качественного моделирования инновационных социальных
процессов [Электронный ресурс] // сайт. – URL: http://spkurdyumov.narod.ru/ (дата обращения: 01.09.2008).
5. Белавин В.А. Математическое моделирование глобальной динамики мирового сообщества [Электронный ресурс] / В.А. Белавин, Е.Н. Князева, Е.С. Куркин // сайт. – URL:
http://spkurdyumov.narod.ru/ (дата обращения: 01.09.2008).
6. Капица С.П. Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. Опыт теории человечества
[Электронный
ресурс]
//
сайт.
–
URL:
http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000784/index.shtml
(дата
обращения:
01.09.2008).
7. Подлазов А.В. Теоретическая демография. Модели роста народонаселения и глобального демографического перехода // Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. – М.: Наука, 2002. – С.324–345.
8. Малков А.С. Математическая модель роста населения Земли, экономики, технологии
и образования / А.С. Малков, А.В. Коротаев, Д.А. Халтурина // Новое в синергетике: Новая реальность, новые проблемы, новое поколение. / Рос. акад. наук; [отв. ред. Г. Г. Малинецкий]. – М.: Наука, 2007. – С .148-186.
9. Капица С.П. Демографическая революция, глобальная безопасность и будущее человечества // Будущее России в зеркале синергетики. – М.: КомКнига, 2006. – С. 238-254.
10.Белавин В.А. Математическая модель демографических процессов с учетом пространственного распределения / В.А. Белавин, С.П. Капица, С.П. Курдюмов // Журнал
вычислительной математики и математической физики. – 1998. – Т.38, №6. – С. 885-902.
11.Белавин В.А. Режимы с обострением в демографической системе. Сценарий усиления нелинейности / В.А. Белавин, С.П. Курдюмов // Журнал вычислительной математики
и математической физики. – 2000. – Т.40, №2. – С. 238-251.
12.Белавин В.А. Синергетика и развитие человечества // Сб. Глобализация. Синергетический подход. – М.: Изд-во РАГС, 2002. – С. 60-69.
13.Романовский М.Ю. Введение в эконофизику. Статистические и динамические модели. / М.Ю. Романовский, Ю.М. Романовский. – М.- Ижевск: Институт компьютерных
исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. – 280 с.
14.Андреев В.В. Исследование модельных систем социально- экономической динамики/
5
В.В. Андреев, Е.Б. Васильева // Вестник Чувашского университета. Гуманитарные науки. –
2005. №1. С. 229- 238.
15.Андреев В.В. Математические модели и исследование социально- экономических систем / В.В. Андреев, Е.Б. Васильева, А.М. Суконкина // Математические методы в технике
и технологиях- ММТТ-19. [Текст]: сб. трудов XIX Международ. науч. конф. В 10-и т. Т.7.
Секция 7 / под общ. ред. В.С. Балакирева.- Воронеж, Воронеж. гос. технол. акад., 2006.
246 с. С. 141- 143.
16.Андреев В.В. Попытка построения математических моделей для прогнозирования
динамики социально- экономических систем / В.В. Андреев, Е.Б. Васильева, А.М. Суконкина // Вестник Чувашского университета. – 2006. №6. С.333- 339.
17.Карпова О.В. Исследование социальной динамики с помощью математических методов / О.В. Карпова, В.В. Андреев // Математические методы в технике и технологиях –
ММТТ-21: сб. трудов XXI Международ. науч. конф.: в 10 т. Т.8. Секция 8 / под общ. ред.
В.С. Балакирева. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2008. 284 с. С. 196- 198.
18.Андреев В.В. Математическое моделирование как важный инструмент в организации
инновационной деятельности / В.В. Андреев, О.В. Карпова, О.О. Ярмулина // Инновация
как объективный фактор развития национальной экономики: материалы всерос. науч.практ. конф. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2008. – 484 с. С. 273- 277.
19.Андреев В.В. Математическое моделирование социально- экономических процессов
в России конца XX и начала XXI веков / В.В. Андреев, О.В. Карпова // Нелинейный мир. –
2007. – Т.5, №12. – С. 773- 777.
20.Карпова О.В. Моделирование динамики одной социально- экономической системы
на основе модели типа «хищник- жертва» / О.В. Карпова, В.В. Андреев // Математика.
Компьютер. Образование: Сб. научных трудов. Том 1 / Под ред. Г.Ю.Ризниченко. – М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2007. – С. 194-202.
21.Карпова О.В. Исследование социально-экономической динамики России на основе
модели типа «хищник–жертва» / О.В. Карпова, В.В. Андреев // Математика. Компьютер.
Образование: Cб. трудов XV международной конференции. Том 1 / Под общей редакцией
Г.Ю. Ризниченко. – Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». 2008. – С. 231-236.
22.Андреев В.В. Попытка построения математической модели социально- экономической системы: исследование на примере Чувашской Республики / В.В. Андреев, О.В. Карпова // Вестник Чувашского университета. Гуманитарные науки. – 2008. №1. С.385- 390.
23.Андреев В.В. Математическое моделирование и исследование динамики социальноэкономической системы России / В.В. Андреев, Е.А. Васильева // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. – 2009. № 14. С. 25-38.
24.Андреев В.В. Математическое моделирование динамики социально-экономической
системы (на примере России) / В.В. Андреев, О.О. Ярмулина // Нелинейный мир. – 2009.
Т.7. №6. С. 464- 474.
25.Федеральная служба государственной статистики www.gks.ru (дата обращения:
01.09.2008).
26.Бюджетная система Российской Федерации http://www.budgetrf.ru (дата обращения:
01.09.2008).
27.Российский статистический ежегодник 2005: cтат. сб. М.: Росстат, 2006. 819 c.
28.Кузьмин В.И., Галуша А.Н. Тенденции выработки электроэнергии в России // Электроснабжение. 2005. N 5. С.78- 81.
6