ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ СФЕРИЧЕСКИХ МЕМБРАН Н. К. Галимов, С. Н. Якупов Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань, Россия Введение. Работы, посвященные построению кривых деформирования для оболочечных пленок и мембран, встречаются редко. Еще реже можно найти публикации по экспериментальным работам, касающимся исследования прочности оболочечных пленок и мембран. Работы по изучению механических характеристик оболочечных пленок и мембран с различными дефектами практически отсутствуют. Следует отметить невозможность исследования механических характеристик оболочечных пленок и мембран сложной структуры стандартным способом одноосного растяжения. Для исследования сложных структур не всегда применимы физические методы, в частности метод с применением индентора, предложенный Оливером-Фарром [1], или модификации метода [2]. Эффективным подходом определения механических характеристик оболочечных образцов является определение интегральных (приведенных) механических характеристик оболочечных пленок и мембран. Для получения достоверных результатов требуется применение синтеза экспериментальных исследований с теоретическими, как это сделано, например, для плоских пленок и мембран [3, 4]. Cоотношения для нелинейно упругих и пластических сферических оболочек. Рассматривается фрагмент круглой в плане сферической мембраны радиусом R, толщиной h0, половиной угла раствора , радиусом опорного круга а, закрепленный по контуру и нагруженный внутренним давлением р. Геометрия сегмента сферической оболочки представлена на рис. 1, где Н – высота подъема сегмента оболочки до нагружения, w0 – прогиб центра оболочки, r – радиальная координата, – текущая координата, отмеряемая от вертикальной оси. Уравнения равновесия сферической h w0 мембраны, находящейся под действием внутреннего давления р имеют вид 5, 6: H p r R d T1 A2 dr T2 dA2 , T1 K1 T2 K 2 p, dr (1) где Т1 и Т2 – радиальные и кольцевые усилия, К*1, К*2 – кривизны деформированного купола в радиальном и окружном направлениях, p – a внутреннее давление, 0 r a; А*2 – параметр Ляме деформированной мембраны. Рис. 1 Соотношения для компонент деформаций в радиальном окружном направлениях 1 и 2 имеют вид 1 1 du w u w dw u 1 e1 (e12 2 ) , 2 e2 e22 , e1 , e2 , 2 2 dr R r R dr R где u – радиальное перемещение; w – прогиб. При этом A2* r (1 e2 ) . Кривизны купола в случае больших перемещений и деформаций в радиальном и окружном направлениях записываются, согласно работе [6], следующим образом: d (1 e1 ) 1 d K1* (1 e1 ) (1 21 ) (1 21 ) 1.5 , dr dr R 1 1 K 2* (1 e1 ) (1 21 )0.5 (1 e2 ) . r R Физические соотношения для резиноподобных материалов берутся в предложенном Каппусом [7] виде, учитывающем нелинейную зависимость между радиальными и кольцевыми усилиями и компонентами деформаций: 1 21 1 2 2 Eh 0 (1 1 2 ) T1 B (1 2 ), T2 B ( 2 1 ), B , 1 2 1 2 2 1 21 где E и – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала мембраны, h0 – первоначальная толщина мембраны. Физические соотношения для пластических материалов берутся, как и в работе [1], в предложенном А. А. Ильюшиным [8] виде, учитывающем нелинейную зависимость между усилиями и компонентами деформаций i Aeik , где i и ei интенсивности напряжений и деформаций соответственно, А и k – некоторые постоянные, характерные для рассматриваемого материала (0 k 1). Задача по аналогии, как и для плоской мембраны [3], решается в перемещениях методом Бубнова–Галеркина, при этом перемещения задаются в виде u ca( 3 ) , w аf (1 2 ) , f w0 / a , r / a , a / R , где c – искомая величина, характеризующая радиальные перемещения в процессе деформации мембраны, w0 – определяемый из эксперимента прогиб в центре сферической мембраны. Умножая первое уравнение (1) на величину искомого перемещения u, выполняя процедуру интегрирования по частям для первого члена, интегрируя по всей рассматриваемой области и подставляя в уравнение переменные u и du/d, получим первое уравнение равновесия мембраны T 1 c f 1 (1 3 1 2 1 0 2 ) T2 1 (с f ) 1 3 2 (1 2 ) d 0 . (2) Второе уравнение равновесия (1) умножается на величину искомого перемещения w и интегрируется по всей рассматриваемой области. С учетом осевой симметрии задачи второе уравнение равновесия с учетом (2) записывается в виде 1 1 0 0 2 2 T1. K1 T2 K 2 (1 ) d p (1 ) d . (3) Из уравнения (2) при заданном w0 определяется постоянная с, а из уравнения (3) – модуль упругости Е для линейно и нелинейно упругих материалов или, для пластических материалов, условный модуль упругости Еусл.= didei , который предполагаем постоянным по поверхности мембраны. Пример. Далее приведен пример определения условного модуля упругости для пластичного материала. Рассмотрена сферическая мембрана из мягкой пластичной пластмассы со следующими параметрами: Н = 25,6 мм, а = 36 мм, h = 1,373 мм, . На рис. 2 и 3 приведены зависимости «давление Р(МПа) – прогиб w0 (мм)» и «условный модуль упругости E (МПа ) – деформация », соответственно. Из рис. 3 видно, что уже при относительно малых деформациях наблюдается существенное падение условного модуля упругости, а при деформациях более 0,01 падение не столь значительно. w0 250 3.5 3.0 E 200 2.5 150 2.0 1.5 100 1.0 50 0.5 0.0 0.0 P 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 Рис. 2 Рис. 3 ЛИТЕРАТУРА 1. Oliver W., Pharr G. J. Mater. Res. Soc. Symp. Proc. – 1997. – 473. – 57. 2. Шугуров А.Р., Панин А.В., Оскомов К.В. Особенности определения механических характеристик тонких пленок методом наноиндентирования // Физика твердого тела. – 2008. – Т. 50. – Вып. 6. – С.1007–1012. 3. Якупов Н.М., Галимов Н.К., Леонтьев А.А. Экспериментально-теоретический метод исследования прочности полимерных пленок // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2000. – Т. 6. – № 2. – С. 238–243. 4. Якупов Н.М., Якупов С.Н. Методы расчета пленочных элементов конструкций: Учебное пособие. – Казань: КГАСУ, 2007. –117 с. 5. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. – Казань: Таткнигоиздат, 1957. – 431 с. 6. Галимов К.З. К общей теории пластин и оболочек при конечных перемещениях // ПММ. – Т. XV. – Вып. 6. – 1951. – С. 723–742. 7. Отто Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. Конструирование и расчет сооружений из тросов, сеток и мембран. – М.: Изд-во литературы по строительству. 1967. – 320 с. 8. Ильюшин А.А. Пластичность. – М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.