К РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛБВ. Солнцев В.А., Шабанов Д.С. Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (МИЭМ НИУ ВШЭ) В работе рассмотрены два подхода к решению краевой задачи, при описании процессов взаимодействия в мощной лампе бегущей волны. Был произведен расчет трехсекционной ЛБВ с запредельной секцией, с использованием теории дискретного электронно-волнового взаимодействия и локального импеданса связи. Ключевые слова: лампа бегущей волны, замедляющая система, полоса пропускания, полоса запирания, взаимодействие. Разработка теории взаимодействия электронных потоков с электромагнитными волнами в таких замедляющих системах (ЗС) и основанных на ней методов моделирования и проектирования мощных ламп бегущей волны (ЛБВ) встречает определенные трудности, связанные с запиранием ЗС на границах полос пропускания. При этом поток энергии электромагнитной волны обращается в ноль, а сопротивление связи, характеризующее эффективность взаимодействия волны и электронов, стремится к бесконечности, что в свою очередь приводит к появлению особенностей в уравнениях модели взаимодействия волны и электронов в ЛБВ. Для преодоления возникающих трудностей в литературе предлагаются различные модификации уравнения возбуждения ЗС ВЧ током пучка. Ряд соответствующих работ указан в литературе к статьям [1,2]. Наиболее строгим является использование разностного уравнение возбуждения, полученного в [3] из общей теории возбуждения волноводов, и входящего в это уравнение локального импеданса связи. В отличие от теории Пирса [4], где сопротивление связи характеризует взаимодействие электронов с одной собственной волной ЗС через одну синхронную с пучком пространственную гармонику этой волны, локальный импеданс связи характеризует взаимодействие электронов с полным полем двух – прямой и встречной – волн ЗС в зазорах взаимодействия и не обращается в бесконечность на частотах отсечки [5,6,7]. Это позволяет рассмотреть процессы при переходе из полосы пропускания в полосу запирания, в том числе переход от черенковского механизма взаимодействия в лампе с бегущей волной к клистронному механизму [1]. В данной работе рассмотрены различные подходы к решению краевой задачи, при расчете коэффициента усиления многосекционной ЛБВ с запредельной секцией, с использованием теории дискретного электронно-волнового взаимодействия. Исходные уравнения и алгоритм расчета многосекционной ЛБВ Исходными являются уравнения линейного дискретного электронно-волнового взаимодействия ,приведенные в [1], так же было показано что для уменьшения входящих в эти уравнения параметров удобно безразмерные переменные в соответствии с общепринятыми в теории ЛБВ. Тогда систему уравнений можно записать в виде: 2 L i 1 I q 1 I q cos q iVq sin q Fq 2 2 d 1 (1) sin d 1 exp( i ) i cos d cos q i exp( i ) cos d i sin d sin q , L Vq 1 I q sin q Vq cos q Fq 2 2 d 1 sin d exp( i ) i cos d sin q i exp( i ) cos d i sin d cos q , Fq 1 exp(i e ) 2 Fq cos s Fq 1 exp( i e ) iZ s I q , где: (2) (3) Iq, Vq, Fq – безразмерные амплитуды тока, скоростей электронов и поля в q-ом зазоре ЗС; 2 p 2 4QC – параметр пространственного заряда, где Г – коэффициент депрессии, p - плазменная частота, ε – параметр, который в общем случае может выбираться произвольно, например, как параметр усиления C в ЛБВ или отношение плазменной частоты к рабочей частоте; q Lq q Lq и d представляют соответственно угол пролета q-го d 2 q q Lq 2 e d e q шага и зазора в плазменных длинах волн. Систему уравнений (1)- (3) удобно переписать в матричном виде: I q 1 a11I q a12Vq a13 Fq , Vq 1 a21I q a22Vq a23 Fq , (4) Fq 1 a31I q a32Vq a33 Fq a34 Fq 1 , где коэффициенты aij нетрудно получить из (1-3), как показано в [1]. Решая систему уравнений (4) можно определять значения Iq , Vq , Fq для каждого зазора ЗС и коэффициент усиления ЛБВ. В данной работе производился расчет трех секционной ЛБВ, вторая секция которой является запредельной, схема такой ЛБВ приведена на рис.1. Поглотители так же были учтены в расчете как зона дрейфа электронов, где поле отсутствует. Рис.1. Схема ЛБВ. Задаваясь в качестве исходных, безразмерными параметрами, входящими в систему уравнений (4). рассчитывались соответствующие значения полей, токов и скоростей электронов в каждом зазоре ЗС для одной секции. Затем осуществлялся перенос значений токов и скоростей электронов в следующую секцию или поглотитель, как показано на рис. 2. Введение в схему рис.2 так называемых «мнимых» (показаны белым цветом) и «действительных»(показаны серым цветом) зазоров, обусловлен тем, что уравнение возбуждения связывает поле в текущем зазоре с полями в двух соседних зазорах [1]. Далее при расчетах значения в «мнимых» зазорах ЗC отбрасываются. Рис.2. Схема переносов скоростей и токов электронов, при расчете многосекционной ЛБВ. Рабочая полоса данного прибора находится за пределами полосы пропускания второй секции, как показано на дисперсионной характеристике (рис. 3). Рис. 3. Дисперсионная характеристика для запредельной секции, - граничная частота запредельной секции. Решение краевой задачи В данной работе рассматривались два подхода к решению краевой задачи. В первом случае (1) (1) использовался алгоритм описанный в [1]. Задается две пары линейно независимых значений ( F1 , F2 ) , (2) (2) (1) (1) ( 2) ( 2) ( F1 , F2 ) и вычисляются по (4) две пары значений ( FQ 1 , FQ ) и ( FQ 1 , FQ ) . Ввиду линейности уравнений связь входных и выходных значений линейная (1,2) FQ(1,2) B12 F2(1,2) , 1 B11 F1 FQ(1,2) B21F1(1,2) B22 F2(1,2) (6) Получаем матрицу B и обратную матрицу A=B-1 F1 A11 FQ 1 A12 FQ , F2 A21 FQ 1 A22 FQ (7) Был произведен расчет коэффициента усиления с использованием локального импеданса связи [1] и сопротивления связи Пирса [2]. Из рис.4. видно, что в силу того, сопротивление связи стремится к бесконечности на границе полосы пропускания, это приводит к сложностям при расчете вблизи частот отсечки. В свою очередь при использовании локального импеданса связи, значения коэффициента усиления вблизи частот отсечки близки к экспериментальным (кривая (3), рис.4). Рис.4. Расчетный (1),(2) и экспериментальный (3) коэффициент усиления в рабочей полосе, λπ – граничная частота для запредельной секции. Рис.5. Расчетный (1, при использовании локального импеданса связи),(2, при использовании сопротивления связи Пирса) и экспериментальный (3) коэффициент усиления в рабочей полосе, λπ – граничная частота для запредельной секции. Во втором случае рассматривалось характеристическое уравнение третьей степени: Решая данное уравнение получаем значения постоянных распространения для трех электронных волн системы, далее используем выражение полученное в [8], для начальной амплитуды нарастающей волны: При таком решении краевой задачи были получены следующие значения для коэффициента усиления (рис.5). При рассмотрении трех электронных волн распространяющихся в ЗСможно сделать аналогичный первому случаю вывод, что с использованием локального импеданса связи возможно более точное описание взаимодействия вблизи границы полосы пропускания. Заключение 1. На основе разностной теории дискретного электронно-волнового взаимодействия произведено моделирование ЛБВ с запредельной секции. Показана возможность применение данной теории для расчета многосекционных ЛБВ и описания взаимодействия электронных потоков с электромагнитными волнами на границе полосы пропускания таких приборов. 2. Рассмотрены два подхода к решению краевой задачи. Было показано, что использование локального импеданса связи в расчете по коэффициенту усиления, дает результат близкий к экспериментальному, вблизи границы полосы пропускания, в отличии от сопротивления связи. При рассмотрении трех электронных волн ЗС использование локального импеданса связи, так же дало более близкие к экспериментальным, значения коэффициента усиления. Список используемой литературы. 1. Солнцев В.А., Колтунов Р.П., «Обобщенная линейная теория дискретного электронно-волнового взаимодействия в замедляющих системах» Радиотехника и электроника, 2010г. Т. 55. №11. С.13621375. 2. Солнцев В.А., «Теория возбуждения волноводов» // Изв.вузов «ПНД». 2009г. Т.17, №3, ,С.55-89. 3. Солнцев В.А., Мухин С.В. // Радиотехника и электроника. 1991г. Т. 36. № 11.С.2161-2166. 4. Пирс Дж. Р. Лампа с бегущей волной. Пер. с англ. п/р Овчарова В. Т., Москва, “Советское радио”, 1952. 5. Солнцев В.А., Колтунов Р.П., «Анализ уравнений дискретного электронно-волнового взаимодействия и группировки электронных потоков в периодических и псевдопериодических замедляющих системах». 2008г. Радиотехника и электроника. 2008г.Т. 53. №6. С.738-751. 6. Солнцев В.А. Три лекции по теории лампы с бегущей волной // Лекции по СВЧ электронике и радиофизике. 10-я зимняя школа- семинар, кн. 1(I). 1996. Гос. УНЦ «Колледж», Саратов, с. 76-95. 7. Мухин С.В., Никонов Д.Ю., Солнцев В.А. // Радиотехника и электроника. 2008г. Т.53.№10.С.13241332. 8. Клеен В., Пешль К., «Введение в электронику сверхвысоких частот. Часть II: Лампы с длительным взаимодействием». Изд. «Сов. Радио», 1963г.