УДК 535.2 ДВУМЕРНЫЕ СВЕТОВЫЕ ПУЛИ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ С ПОПЕРЕЧНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

УДК 535.2
ДВУМЕРНЫЕ СВЕТОВЫЕ ПУЛИ
В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ С ПОПЕРЕЧНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ С УГЛЕРОДНЫМИ
НАНОТРУБКАМИ
М.Б. Белоненко1,2, И.С. Двужилов1
Волгоградский государственный университет
2
Волгоградский институт бизнеса
e-mail: dvuzhiliv.ilya@gmail.com
1
Рассмотрена задача о динамике предельно-коротких
оптических импульсов (световых пуль) в среде с неоднородной
плотностью углеродных нанотрубок. Электромагнитное поле
импульса описывается классически, на основе уравнений Максвелла,
а углеродные нанотрубки задают закон дисперсии для электронов,
взаимодействующих с полем импульса. Показано, что световые пули
распространяются устойчиво.
Ключевые слова: предельно-короткие оптические
неоднородная среда, углеродные нанотрубки.
импульсы,
1. Введение.
Двумерные предельно короткие оптические импульсы
(световые пули) привлекают наибольшее внимание среди
нелинейных оптических явлений. Также стоит упомянуть о
важности практических приложений изучения их динамики в
системах оптических вычислений [1].
В последнее время, в качестве такой среды особое
внимание уделяется углеродным нанотрубкам (УНТ),
являющимися
уникальным
строительным
блоком
в
современной наноэлектронике, и также средой для
образования световых пуль, в которой нелинейность
дисперсии электронов в нанотрубках обусловлена их
взаимодействием с полем светового импульса. [2-4]. Подобной
теме посвящено много работ [5-7], но проблема состоит в том,
что в однородной среде углеродных нанотрубок скорость
распространения световых пуль определяется исключительно
показателем преломления среды, и она не может быть
изменена в довольно широких пределах. Решением такого
рода проблемы может послужить модуляция показателя
преломления среды, тем самым сформировав так называемую
брэгговскую решетку (среду). В этом случае, удастся
управлять скоростью световой пули в среде такого рода. [810].
2. Основные уравнения.
В рассматриваемой задаче будут использоваться
следующие
основные
приближения.
Во-первых,
не
учитывается дифракционное расплывание лазерного пучка в
направлении вдоль оси УНТ. Во-вторых, не учитывается
электрическое поле подложки. Отметим, что поскольку
типичный размер УНТ и расстояние между ними много
меньше, чем типичный размер пространственной области, в
которой локализован предельно короткий импульс, можно
использовать приближение сплошной среды и считать ток
распределенным по объему. Будем везде далее полагать, что
электрическое поле световой пули имеет вид E(r)=ezEz(x,y).
УНТ рассмотрим, как однослойный графеновый лист
скрученный в цилиндр, ограничиваясь учетом только πэлектронов, предполагая, что их движение может быть
описано в приближении сильной связи. Радиус УНТ считается
много меньшим по сравнению с характерным размером
световой пули, что позволяет пренебречь пространственной
неоднородностью поля в трубках.
В одноэлектронном приближении для матрицы
плотности получаем следующие уравнения:


e
 eE z
 2 Ez Rab
t
 z

F
F
 eE z
 
t
pz
(1)

 e
 eE z
 Ez Rab (2   1)  F
t
pz 
Квантово-механический оператор плотности тока может быть
записан в виде [11]:
ˆj (r )   ie    (r  r ' )   (r  r ' ) 
z

2m0   z '
z '

Разложим
общую
составляющие: jz  j1  j2 ,
отвечает:
(2)
плотность
тока
на
две
где за внутризонные переходы
4e
sc ( p)
 t , p d 2 p
pz
j1 
2 
j2 
2 2  1ZB

2 1ZB
(3)
а межзонные:
8e
 c ( p) Rcv ( pz , s)(t , p)d 2 p
(4)
Здесь учтено, что ρvv+ρcc=1 и εv=-εc
Запишем электрическое поле в калибровке
E
1 A
c t
,(где с –
скорость света в вакууме) и перейдем к обобщенному
импульсу: p→p-eA/c, окончательно уравнения (1) приобретают
вид, с учетом замены ρ-0.5→ρ:
2

 t   c At Rcv

 Ft  

2
 t   At Rcv  F

c
Уравнения
Максвелла
для
случая
диэлектрических сред приводятся к виду [11]:
 2 A  2 A 4
1 2 A
 2 
n( x, y) j1  j2   2 2  0
2
c
x
y
c t
(5)
немагнитных
(6)
где A - вектор-потенциал, t - время, c - скорость света в
вакууме. В (6) феноменологически введен коэффициент,
который учитывает распределение УНТ в пространстве n(х,у).
В дальнейшем, в численных расчетах это распределение будет
задано в виде nc(x,y)=1+  cos(gx)cos(fy), где  задает глубину
модуляции нелинейности, а g и f период модуляции. Отметим,
что в данной работе рассматривается модуляция во всех
направлениях.
Закон дисперсии УНТ типа zig-zag далее будет выбран в виде:
(7)
 s ( p)   1  4 cos(ap ) cos(s / m)  4 cos 2 (s / m)
где
нанотрубка имеет тип (m,0) ,   2.7 эВ,
a  3b / 2 , b  0.142 нм расстояние между соседними атомами
углерода.
s  1, 2 ... m ,
3. Численный расчет.
Исследуемое уравнение (6) с учетом (5) и (3) решалось
численно. Межзонный ток
полагался равным нулю. Т. е.
считалось, что спектр световой пули лежит выше видимой
части спектра и минимальная частота колебаний в спектре
пули лежит в ближней инфракрасной области.
Начальное
условие
для
вектор-потенциала
электрического поля световой пули выбиралось в гауссовой
форме:
dA( x, y,0) 2Qxv
( x  x0 ) 2
( y  x0 )2

exp( 
) exp( 
)
dt
x
x
y
A( x, y,0)  Q exp( 
( x  x0 ) 2
x
)(
( y  y0 ) 2
y
)
Здесь Q – амплитуда импульса;  x ,  y - ширины импульса в
направлении x и y соответственно, v - начальная скорость
импульса.
Как показали результаты численных расчетов,
распространение световой пули является устойчивым и
получившиеся эволюция представлена на рис. 1.
Рис.1. Распространение световой пули в брэгговской среде с
поперечной модуляцией (период решетки χ=2.5 мкм.) с углеродными
нанотрубками в фиксированный момент времени A)10×10 -12, B)8×1012
, C) 6×10-12, D)5×10-12. По осям отложены относительные единицы
координат и электрического поля.
Подобный характер распространения двумерного
предельно короткого оптического импульса позволяет сделать
вывод об устойчивом характере его динамике в среде с
периодически меняющейся концентрацией УНТ. Также, на
основании приведенного рисунка 1 можно сказать, что среда с
периодически меняющейся концентрацией УНТ замедляет
распространение световой пули, как и предсказано теорией.
Это связано (как и в случае брэгговских сред) с процессами
отражения импульса от областей с разной концентрацией УНТ
(а значит и разной диэлектрической проницаемостью) и
дальнейшей интерференцией отраженных и прошедших
импульсов.
Как видно из приведенных зависимостей решение для
двумерной световой пули в рассматриваемой среде остается
локализованным, но меняет, вследствие поперечной
дисперсии, свою пространственную структуру. Совместное
действие эффектов расплывания импульса вследствие
дисперсии и нелинейности приводят к образованию
поперечной структуры, которая тем не менее остается
локализованной в ограниченной пространственной области.
Важным результатом, полученном при исследовании
зависимости динамики световой пули от модуляции плотности
УНТ в поперечном направлении распространения, является тот
факт, что световая пуля втягивается в область с большей
концентрацией УНТ, что и представлено на рис. 2.
Рис. 2. Распространение световой пули в брэгговской среде с
поперечной модуляцией (период решетки χ=5 мкм.) с углеродными
нанотрубками в фиксированный момент времени A) 0,05, B) 0,04, C)
0,03, D) 0,02. По осям отложены относительные единицы координат
и электрического поля.
Это имеет достаточно простое объяснение. В области с
большей концентрацией УНТ больше и величина эффективной
нелинейности, а потому и выше интенсивность световой пули.
Вместе с тем это позволяет корректировать траекторию
световой пули путем создания волноводов из областей с
большей концентрацией УНТ.
4. Выводы.
Из проведенного исследования можно сделать следующие
выводы:
1) Распространение предельно короткого оптического
импульса устойчиво в неоднородной среде с углеродными
нанотрубками. Как и следовало ожидать, неоднородность
среды в значительной степени влияет на форму импульса,
сглаживая его.
2) Установлено, что период неоднородности среды влияет на
скорость распространения предельно короткого импульса.
Увеличение периода, приводит к тому, что импульс реже
«отражается» от «границ» неоднородности, вследствие чего
увеличивается его скорость. Таким образом, меняя период
неоднородности
можно
контролировать
скорость
распространения импульса, что важно для решения
прикладных задач оптики.
3) Замедление импульса, а также изменение его формы
происходит
при
увеличении
глубины
модуляции
неоднородности, по причине сильной интерференции.
Особенно сильные изменения формы наблюдаются на спаде
предельно короткого оптического импульса.
5. Литература.
1. Peter M. Goorjian, US Patent No. 5,651,079 (22 July 1997).
2. Schafer T. Wyane C.E. Propagation of ultra-short optical
pulses in cubic-nonlinear media. Physica D., 2004, V. 196, p. 90-105.
DOI: 10.1016/j.physd.2004.04.007
3. Saito R., Dresselhaus M.S., Dresselhaus G. Physical properties of carbon nanotubes. London: Imperial College Press, 1999, p.
251. DOI: 10.1142/9781860943799
4. Reich S., Thomsen C., Maultzsch J. Carbon nanotubes.
Basic concepts and physical properties. Berlin: Wiley-VCH Verlag,
2003, p. 218. DOI: 10.1002/9783527618040
5. Harris P. J. F. Carbon nanotubes and related structures: New
materials for the 21st century. Cambridge:Cambridge University
Press, 2009, p. 299. DOI: 10.1017/CBO9780511605819
6. Maksimenko S. A., YaG..Slepyan, Nanoelectromagnetics of
low-dimensional structures. The Handbook of Nanotechnology: Nanometer Structure Theory, Modeling, and Simulation, SPIE Press Ed.
by A. Lakhtakia, 2004, 145—206 pp. DOI: 10.1117/3.537698
7. Leblond H., Mihalache D. Spatiotemporal optical solitons in
carbon nanotube arrays. Phys. Rev. A, 2012, Vol. 86, no. 4, p.
043832. DOI: 10.1103/PhysRevA.86.043832
8. Zhukov A. V., Bouffanais R., E. Fedorov G., Belonenko M.
B. Three-dimensional electromagnetic breathers in carbon nanotubes
with the field inhomogeneity along their axes. J. Appl. Phys., 2013,
Vol. 114, 143106. DOI: 10.1063/1.4824370
9. Belonenko M.B., Nevzorova Yu.V., Extremely short electromagnetic pulses in a Bragg medium with carbon nanotubes (in
Russia). Izvestiya RAN. Seriyafizicheskaya, 2014, Vol. 78, no. 12,
pp. 1619-1621. DOI: 10.7868/S0367676514120035
10. Belonenko M.B., Nevzorova Yu.V., Galkina E.N. Discrete
solitons in Bragg environment with carbon nanotubes. Modern Phys.
Let.
B.
2015,
V.
29,
no.
11,
1550041.
DOI:
10.1142/S0217984915500414
11. Yanyushkina N.N., Belonenko M.B. The influence of
selfnonlinearity on the propagation of ultrashort optical pulses in carbon nanotubes in dispersive nonmagnetic dielecrtric media. Zh.
Techn. Fiz.2013, 83 (4), P. 155–158.
TWO-DIMENSIONAL LIGHT BULLETS IN THE
INHOMOGENEOUS ENVIRONMENT WITH
TRANSVERSE MODULATION OF THE REFRACTIVE
INDEX WITH CARBON NANOTUBES.
Mikhail Borisovich Belonenko1,2, Ilya Sergeevich Dvuzhilov 1
1
Volgograd State University, 400062 Volgograd, Russia
Laboratory of Nanotechnology, Volgograd Institute of Business, 400048 Volgograd, Russia
2
Abstract. We consider the task about few-circle optical pulses dynamics (light bullets) in the inhomogeneous environment of carbon
nanotubes. Electromagnetic field of pulse describes classically, on basis of Maxwell equation, and carbon nanotubes give dispersion law
for electrons, which interacting with pulse. We show that light bullets
propagate stably.
Keywords: few-circle optical pulses, inhomogeneous environment,
carbon nanotubes.