Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с

О ПОСТРОЕНИИ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ПОТЕНЦИАЛОВ МЕЖАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
1
УДК 539.21
ПОПОВ А.Г., БОРОДАЙ В.Э.
О ПОСТРОЕНИИ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ПОТЕНЦИАЛОВ МЕЖАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Изучение сжимаемости, являющейся фундаментальным свойством веществ, постоянно стимулируется потребностями решения многочисленных прикладных задач связанных с использованием энергии взрыва.
Традиционными являются методы описания ударного сжатия материалов в широком диапазоне изменения величины x = V0/V основанные на использовании данных получаемых в статических и, при давлениях Р более 10 ГПа, динамических экспериментах. Здесь V и V0- удельные объемы в начальном и деформированном состояниях. Анализ этих методов дается в обзорных статьях
[1].
Иной путь получения зависимостей Р(х) базируется на использовании полуэмпирических потенциалов межатомного взаимодействия U. В этом случае появляется возможность прогнозирования сжимаемости, так как параметры потенциалов могут быть определены через характеристики
материалов измеряемые в недеформированном состоянии по известным методикам.
Полуэмпирические потенциалы Леннарда-Джонса и Борна-Майера в исходном виде содержат
по четыре параметра, два из которых определяются из условий
U 
U V V0  U 0 , 
 0,
(1)

 V V V0
где - U0 - энергия атомизации, равная теплоте испарения при абсолютном нуле температуры.
Для потенциала Морзе изначально выполняются условия равенств (1). Удовлетворяющие соотношениям (1) потенциалы содержат по два параметра.
Во всех опубликованных до настоящего времени исследованиях осуществляется переход к
однопараметрическому потенциалу. Достигается это в результате предположения, что один из параметров – показатель степени в члене, описывающем действие сил притяжения, является константой или введением формулы связи с другим параметром.
Условие равенства производной на кривой изоэнтропического сжатия по удельному объему
при Р = 0 модулю объемного изоэнтропического сжатия К0 приводит к соотношению для вычисления единственного параметра через величины К0, U0 и V0. В работе [2] такие зависимости получены с использованием однопараметрических потенциалов Морзе и Леннарда-Джонса. Для вычисления параметра потенциала вместо U0 может использоваться производная изоэнтропического
модуля объемного сжатия по давлению K1 = (K/P)P = 0. В [3] это сделано для потенциалов Борна-Майера и Берча-Мурнагана. Однопараметрические потенциалы дают приемлемую погрешность при описании ударного сжатия до величин x  1,4 [3].
Принципиально оба параметра потенциала могут быть определены, без дополнительных допущений, если в качестве второго условия используется соотношение между К1.и производными
функции давления изоэнтропического сжатия Ps(x) в точке V  V0 . В этом случае параметры изоэнтропы удается выразить через величины К0, К1, U0 и V0 [4].
Дифференциальная величина К1 определяется исходя из модельных представлений о сжимаемости с привлечением экспериментальных данных. Получаемые при использовании разных моделей значения К1 имеют большой разброс а неопределенность методической погрешности дает
возможность только сопоставления полученных величин между собой, как это сделано в исследовании [3].
В настоящей работе показан способ расчета двух параметров потенциала с использованием
комплекса физических характеристик веществ, определяемых в недеформированном состоянии.
Величины давления на изоэнтропах при использовании потенциалов Леннарда-Джонса
PSЛ-Д(V), Морзе PSМ(V), и Борна-Майера PSБ-М(V), удовлетворяющих условиям (1), определяются по
формулам
ПОПОВ А.Г., БОРОДАЙ В.Э.
2
PSЛ  Д (V ) 
PSM 
U0  m  n
 x m1  x n1  ,
(n  m)  V0
(2)
U 0  1   2  x 2 / 3
 exp1  1  x 1/ 3   exp 2  1  x 1/ 3  ,
3  (1   2 )  V0
(3)
U0  p  q
 x 2 / 3  expq  1  x  1 / 3  x p 1  ,
3  p  q 
(4)
PSБ  М 
где m, n, 1, 2, q, p – параметры потенциалов, m  n.
Для определения параметров потенциалов используем зависимости между модулем объемного сжатия K0 и производной от PS(V) [5], а также коэффициентом Грюнайзена 0 и производными
от PS(V) при V = V0
2
2
 2
 

3



 ( PS  V 3 ) 
1 V  ( PS  V )
 PS 
(5)
K 0  V0  
/
.
 ,  0    
3 2 
V
V 2
 V 
 


 

Второе соотношение в (5) следует из формулы Дугдала – Мак-Дональда с учетом равенств
между первыми и вторыми производными от изоэнтропической зависимости давления при V = V0
и изотермической, при нуле градусов Кельвина, [5].
Из уравнений (2), (3), (5) для параметров потенциалов Леннарда-Джонса и Морзе получаем
зависимости от характеристик материала в явном виде
K V
K V
1
1
n  ( 0  )  ( 0  )2  0 0 , m   0 0 ,
2
2
U0
U0  n
(6)


K V 
K V 
1  3    0   02  0 0 ,
 2  3    0   02  0 0  .
(7)
U0 
U0 


Здесь знаки перед радикалами выбраны исходя из требований первого равенства (5). Структура формул (6) и (7) такова, что показатели степени n, 2 у членов, описывающих действие сил
притяжения, являются отрицательными величинами.
Параметры потенциала Борна-Майера определяются в результате решения системы нелинейных уравнений не имеющей аналитического решения
K V
q  p  3  p  q  1
 3  0 0 ,
3 p  q
U0
9  p  9  p2  2  q2
 6  0 .
3 p  q 1
(8)
Таким образом, параметры в уравнениях PS(x) вычисляются с использованием комплекса физических характеристик материала U0, К0, V0 , теплоемкости Ср и коэффициента объемного теплового расширения β, т.к. 0 = K0V0/Cp. Из соотношений (5) следуют равенства
К 1
(9)
0  1
 2  а1  1 ,
2
где a1 - коэффициент в аппроксимационной формуле D = a0+ a1u, связывающей волновые D и
массовые u скорости ударных волн.
Рассчитанные по формулам (6) и (8) параметры для металлов, имеющих гладкие ударные
адиабаты в широком диапазоне давлений и не претерпевающих, согласно имеющимся экспериментальным данным, полиморфных превращений, приведены в таблице 1. В качестве исходных
использованы значения U0 из [6] а К0 [7], [8], [9]. Величины γ0 отбирались на основе сопоставления данных [7],[8] а так же контрольных расчетов проводившихся по термодинамической формуле и зависимости (9) с a1 из [3].
Как видно из таблицы 1 величины n для всех элементов лежат в узком диапазоне –0,2…-2.
Этот факт дает основание для рассмотрения однопараметрической модели потенциала с некоторым усредненным значением параметра n. Для многих элементов n  -1. В предположении n = -1
уравнение (2) имеет единственный параметр m*, для него из формул (6) следует
О ПОСТРОЕНИИ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ПОТЕНЦИАЛОВ МЕЖАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
3
K 0  V0 a02

 2   0  K1  1  2  2  a1  1 ,
(10)
U0
U0
а уравнение сжимаемости принимает вид
K 0  V0  m1 
(11)
P
    1 ,
m1  V 

где m1 = m*+1.
Соотношение (11) совпадает по форме с уравнением адиабаты в форме Тэта [5], а формулы (10) указывают правила вычисления коэффициентов в нем. При использовании равенства (10)
в виде m*=К1-1 уравнение (11) известно как формула Мурнагана.
Равенства (10) дают возможность определить а1 и К1, используя однопараметрическую
модель потенциал, через величины, характеризующие физические свойства материала
K V
1  K V

(12)
a1    0 0  2 , K1  0 0  1 .
4  U0
U0

Из формул (5), (12) следует, что соотношения
1
(13)
a02  K 0  V0 , a1   0  1, K1  2   0  1  4  a1  1
2
инвариантны относительно двухпараметрических потенциалов и однопараметрического потенциала Леннарда-Джонса.
Расчетные величины сжимаемости для 20 металлов сравнивались с данными, полученными в
динамических испытаниях и обобщенными в [10], [11], таблица 2. Дополнительно использовались
результаты статических экспериментов, а также динамических, полученные при использовании
энергии ядерного взрыва. Ссылки на соответствующие работы приведены в таблице после названия элемента. В качестве меры отклонения расчетных хр относительно экспериментальных величин хэ принималась I = iэ - ip/(iэ - i0) = xiэ - xip/(xiэ – 1), являющаяся относительной погрешностью расчетных значений приращения плотности при сжатии давлением Рi относительно
экспериментальных. В последней колонке таблицы приведены величины хmax, соответствующие
экспериментально достигнутым максимальным значениям Рi.
m* 
Таблица 1. Рассчитанные величины параметров потенциалов
Элемент
Ag
Al
Au
Be
Cd
Co
Cu
In
Ir
K
La
Li
Mg
Mn
Mo
Nb
Nd
Ni
Pb
Pd
U0,,
кДж/г
2.64
12.1
1.87
35.5
1.00
7.25
5.30
2.08
3.48
2.28
3.10
22.7
6.01
5.16
6.83
7.75
2.27
7.27
0.946
3.49
К0,
ГПа
103
76
173
125.57
52.9
190
137
42
359
3.3
26
12.1
35.4
92.6
263
171
32.5
183
44.7
193
γ0
m
n
1
2
q
p
2.4
2.19
2.95
1.11
2.28
2.22
2.02
2.43
2.39
1.29
0.31
0.92
1.57
2.1
1.59
1.58
0.45
1.93
2.74
2.18
4.61
3.97
5.73
2.12
4.83
4.15
3.80
4.48
4.74
2.31
0.994
1.50
3.20
3.83
3.32
3.01
1.38
3.64
5.27
4.40
-0.808
-0.586
-0.834
-0.903
-1.271
-0.710
-0.761
-0.617
-0.961
-0.728
-1.374
-0.663
-1.059
-0.630
-1.136
-0.854
-1.482
-0.777
-0.791
-1.044
16.4
14.6
19.9
8.7
16.9
15.1
14.0
16.1
16.8
9.4
4.6
6.8
12.0
14.1
12.3
11.5
5.9
13.5
18.5
15.7
-2.0
-1.4
-2.2
-2.0
-3.3
-1.8
-1.9
-1.5
-2.4
-1.6
-2.7
-1.3
-2.5
-1.5
-2.8
-2.0
-3.2
-1.9
-2.0
-2.6
15.6
13.7
19.0
7.9
16.1
14.2
13.2
15.3
16.0
8.6
4.0
6.1
11.2
13.3
11.5
10.7
5.3
12.7
17.6
14.9
-0.758
-0.544
-0.793
-0.804
-1.198
-0.661
-0.705
-0.577
-0.905
-0.648
-1.178
-0.563
-0.976
-0.583
-1.051
-0.781
-1.309
-0.719
-0.747
-0.981
4
ПОПОВ А.Г., БОРОДАЙ В.Э.
U0,,
К0,
γ0
m
n
1
кДж/г
ГПа
Pt
2.90
283
2.69
5.25
-0.868
18.4
Re
4.16
365
1.81*
3.74
-1.116
16.1
Rh
5.40
287
2.49
4.86
-0.881
17.2
Ta
4.34
193
1.74
3.29
-0.813
12.4
V
10.0
157
1.4
2.74
-0.935
10.6
W
4.66
310
1.67
3.36
-1.025
12.5
Zn
1.99
68.3
2.03
4.20
-1.144
15.1
* - рассчитанные нами величины по данным: Cр из [6], β из .[9].
Элемент
2
q
p
-2.2
-2.3
-2.2
-1.9
-2.2
-2.5
-2.9
17.5
12.8
16.3
11.6
9.8
11.7
14.3
-0.82
-1.040
-0.83
-0.748
-0.854
-0.947
-1.073
Таблица 2. Относительные погрешности расчета сжимаемости.
ЭлеРi,
iЛ-Д,
мент
ГПа
%
Ag
(1,0; 2,0; 3,5; 4,5;)* 3,4; 7; 6; 6; 7; 27; 9; 8; 0;
[12],[13] 5,7; 13,1; 23; 30; 46;
7; 0; 3; 4; 5; 1; 4.
112; 151; 209; 396; 441.
Al
1,0; 2,0; 4,5; 15,2; 24; 2; 1; 0; 4; 4; 5; 9; 10;
[13]
27; 44; 66; 86; 88; 104; 12; 9; 12; 9; 10; 10;
211; 239; 277; 302; 408.
6; 17.
Au
(4,5;)* 4,42; 6,1; 9,5;
6; 14; 30; 23; 2; 4;
[14],[13] 12,5; 18,8; 20,3; 28; 32; 10; 1; 9; 12; 13; 4;
36; 49; 59; 60; 70; 191;
15; 16. 14. 14.
512.
Be
14, 1; 20; 22; 31; 43; 57; 3; 9; 5; 6; 3; 5; 4; 4.
78; 88.
Cd
1,0; 2,0; 4,5; 17,3; 20; 11; 11; 7; 4; 1; 2; 2;
[13]
28; 30; 36; 40; 44; 46; 3; 0; 0; 1; 3; 1; 9; 1;
96; 131; 195; 255; 263;
2; 3; 0.
344; 391.
Co [13] 1,0; 2,0; 4,5; 24; 34; 51; 11; 7; 1; 0; 1; 3; 13;
104; 217; 399.
9; 5.
Cu
1,0; 2,0; 4,5; 6,5; 13,7; 10; 9; 9; 1; 2; 2; 3; 3;
[13],[15] 17,4; 25; 33; 39; 66; 102; 1; 1; 0; 4; 4; 4; 5; 4;
195; 374; 380; 419; 907;
12; 2; 0; 7.
956; 1585; 3897; 20367.
In [13] 1,0; 2,0; 4,5; 14,3; 38;
7; 8; 8; 9; 0; 0; 1.
94; 347.
Ir
22; 59; 141; 617.
6; 3; 7; 7.
Li
3,3; 4,7; 6,4; 6,6; 8,0; 2; 1; 6; 7; 0; 3; 2; 0;
9,6; 9,8; 9,9; 10,0; 10,1;
3; 1; 2.
22,0.
Mg [13] 1; 2; 4,5; 11,7; 15,4; 22; 2; 3; 1; 1; 3; 5; 7; 9;
48; 65; 77; 133.
4; 8
Mo [13], 1; 2; 4,5; 25; 36; 50; 118; 3; 1; 6; 2; 3; 0; 0; 1;
[15] 216; 406; 448; 911; 1011;
3; 7; 4; 5; 4; 4.
1391; 2050.
Nb 1,0;2,0; 4,5; 17,0; 23; 32; 11; 9; 3; 1; 1; 6; 6;
[13]
45; 94; 107; 217; 397.
12; 7; 5; 0.
Ni
1,0;2,0; 4,5; 48; 111;
1; 6; 18; 1; 7; 6; 10;
[13] 134; 203; 383; 432; 918;
7; 11; 6; 5.
972.
iМ,
iБ-М,
%
%
7; 7; 6; 7; 27; 9; 8; 0; 7; 7; 6; 7; 27; 9;
7; 0; 4; 6; 7; 5; 0.
8; 1; 6; 1; 6; 8;
10; 8; 3.
2; 1; 1; 0; 4; 4; 4; 9; 2; 1; 1; 0; 3; 4; 4;
9; 11; 8; 11; 6; 7; 7; 8; 8; 10; 6; 9; 3;
2.
4; 4; 1.
6; 14; 30; 23; 2; 4; 6; 14; 30; 23; 2;
10; 1; 9; 12; 13; 4; 4; 9; 1; 9; 12; 12;
15; 16; 13; 12.
3; 14; 15; 11; 10.
xmax
3; 8; 2; 6; 1; 3; 2; 2. 2; 8; 2; 6; 1; 2; 1;
0.
11; 11; 7; 4; 1; 2; 1; 11; 11; 7; 3; 0; 3;
2; 1; 1; 2; 5; 4; 5; 3; 0; 1; 2; 3; 3; 8; 6;
2; 3; 6.
2; 7; 6; 7; 10; 4;
1.
11; 7; 1; 0; 1; 3; 12; 11; 7; 1; 0; 1; 3;
8; 3.
11; 6; 0.
10; 9; 9; 1; 2; 1; 3; 2; 10; 9; 9; 1; 2; 1;
1; 0; 1; 6; 8; 7; 9; 10; 2; 2; 0; 1; 2; 8;
19; 11; 14; 37.
11; 10; 12; 14;
23; 16; 21; 50.
8; 8; 8; 9; 1; 3; 5. 8; 8; 8; 10; 3; 5;
9.
6; 3; 7; 5.
6; 2; 4; 1.
3; 2; 1; 5; 8; 1; 4; 3; 3; 2; 2; 5; 9; 2; 5;
1; 2; 2.
4; 2; 1; 3.
1,5
1,8
2,1
1,7
1,9
1,6
3,7
2,0
1,5
1,9
2; 3; 1; 1; 2; 4; 6; 6; 2; 3; 1; 2; 1; 3; 4; 2,0
1; 3.
4; 2; 1.
3; 1; 6; 0; 4; 1; 1; 0; 3; 1; 6; 1; 4; 1; 2; 2,3
1; 5; 1; 0; 3; 4.
2; 2; 3; 4; 4; 7; 9.
11; 9; 3; 1; 1; 5; 6; 11; 9; 3; 1; 1; 5;
11; 7; 3; 3.
5; 10; 6; 1; 6.
2; 6; 18; 1; 7; 6; 11; 2; 6; 18; 2; 8; 7;
8; 13; 8; 7.
13; 11; 16; 12;
11.
1,8
2,0
О ПОСТРОЕНИИ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
5
ПОТЕНЦИАЛОВ МЕЖАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЭлеРi,
xmax
iЛ-Д,
iМ,
iБ-М,
мент
ГПа
%
%
%
Re
21; 57; 70; 111; 137;
4; 8; 3; 1; 4; 12; 10; 4; 8; 3; 0; 4; 11; 9; 4. 4; 8; 2; 0; 3; 10; 1,6
201; 285; 586.
6.
8; 1.
Rh
19,3; 28; 52; 55; 124; 12; 2; 12; 8; 10; 10. 12; 1; 12; 8; 10; 8. 12; 1; 12; 7; 9; 7. 1,6
497,
Ta
1,0; 2,0; 4,5; 26; 37; 56; 10; 10; 10; 2; 4; 6; 8; 4; 4; 4; 2; 4; 6; 8; 8; 4; 4; 4; 2; 3; 5; 7; 2,4
[13],[15] 110; 162; 190; 222; 247; 9; 9; 13; 3; 5; 4; 2; 6. 8; 12; 1; 2; 2; 10; 17. 7; 7; 10; 1; 1; 6;
528; 1074; 1660; 2470.
15; 23.
V [13] 1,0; 2,0; 4,5; 16,4; 42; 7; 2; 8; 8; 1; 4; 7; 4. 6; 3; 8; 8; 1; 4; 5; 7. 6; 3; 8; 8; 1; 2; 3; 1,8
97; 183; 339.
11.
W [13] 1; 2; 4,5; 38; 78; 121; 3; 2; 3; 4; 2; 5; 4; 11; 6; 2; 4; 4; 2; 4; 3; 10; 6; 2; 4; 4; 1; 4; 2; 1,7
160; 202; 266; 510.
5; 8.
4; 6.
9; 2; 3.
Zn 1,0; 2,0; 4,5; 35; 95; 118; 11; 11; 11; 1; 1; 3; 8; 11; 11; 11; 1; 1; 6; 11; 11; 11; 2; 4; 2,2
[13] 170; 190; 239; 321; 360;
2; 4; 3; 4; 0.
12; 5; 8; 8; 10; 9. 8; 15; 8; 11; 12;
788.
14; 14.
( )* - экспериментальные данные [13].
До величин сжатия х  2 изоэнтропы (2)…(4) дают близкие результаты. Погрешность i для
всех элементов из таблицы 2 не превышает 15% вплоть до значений xmax  2, или верхней границы
экспериментально исследованного диапазона, находящейся в интервале 1,5  xmax 1,8, Величины
I = 18% при Рi=4,5 ГПа для Ni, I = 27% для Ag по данным [13] при Рi = 3,35 ГПа и I = 30% при
Рi = 6,1; 9,5 ГПа для Au внутри диапазона не носят систематический характер и оцениваются как
выбросы.
Асимптотические свойства изоэнтроп характеризуют данные таблицы 2 для Сu, Ni, Zn, Ta,
Cd, Mo экспериментально исследованных при больших степенях сжатия. Для пяти металлов, за
исключением Cd, лучшие асимптотические свойства обнаруживает изоэнтропа, построенная по
потенциалу Леннада-Джонса и несколько хуже по потенциалу Морзе.
Проведенное исследование показало, что применение двухпараметрических потенциалов с
отысканием параметров по изложенному выше способу дает возможность адекватно описать процесс объемного деформирования металлов в диапазоне величин до x  2 не привлекая данные динамического эксперимента. Этот диапазон изменения х перекрывает потребности всех практически важных приложений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ударные волны и экстремальные состояния вещества / Под ред. В . Е . Ф о р т о в а – М.: Наука, 2000. –
426 с.
2. П о л я к о в В . В . . Щ е г о л е в Е . А . // ПМТФ,- 1982, - № 2. с. 94-98.
3. А л ь т ш у л е р Л . В . Б р у с н и к и н С . Е . . К у з ь м е н к о в Е . А .// ПМТФ.- 1987. - № 1. с. 134 146.
4. П о п о в А . Г . . Б о р о д а й В . Э . // Машиностроитель. – 2001. - № 12. с. 7-9.
5. З е л ь д о в и ч Я . Б . . Р а й з е р Ю . П . Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. – М.: Физматгиз. 1963. – 632С.
6. Термические константы веществ. Справочник. /Под ред. В . П . Г л у ш к о . – М.: Наука. 1991. – Т 1-10.
7. G u i n a n M . W . . S t e i n b e r g D . J . // J. Phys. Chem. Sol.. 1974. vol. 35. № 11. p.p. 1501 – 1512.
8. G s c h n e i d n e r K . J . // Solid State Physics. 1964. v. 16. P. 275 - 426.
9. Физические величины: Справочник. /Под ред. И . С . Г р и г о р ь е в а . – М.: Энергоатомиздат. 1991. –
1232 с.
10. Экспериментальные данные по ударной сжимаемости и адиабатическому расширению конденсированных веществ при высоких плотностях энергии./ Под ред. В . Е . Ф о р т о в а . Черноголовка. 1996. –385 с.
11. LASL Shock Hugoniot Data/Ed. S . P . M a r s h . B e r k e l e y etc.: Univ. California press. 1980.
12. L i n - g u n L i u . B a s s e t A . // J. Appl. Phys.. 1973. v44. № 4. р.р. 1475 – 1479.
13. V a i d y a S . N . K e n n e d y G . C . // J. Phys. Chem. Sol.. 1970. v.31. № 10. pp. 2329-2345.
14. H e i n z D . L . . J e a n l o z R . // J. Appl. Phys.. 1984. v55. № 4. р.р. 885 – 893.
15. Т р у н и н Р . Ф . // УФН.- 1994. Т.164 - № 11. с. 1215-1237.