Изучение электростатического поля 3.1 Цель
реклама
3.1 Изучение электростатического поля Цель работы: изучение основных свойств электростатического поля и построение системы эквипотенциальных поверхностей для нескольких простых полей. Электрический заряд Заряд – это физическая величина, характеризующая меру участия тела в электромагнитном взаимодействии. Только тело, обладающее зарядом, само может создавать электромагнитное поле, и только на такое тело электромагнитное поле может действовать. Заряд обладает следующими свойствами: 1. Заряд тела не зависит от скорости его движения, то есть в любой системе отсчета величина заряда данного тела одинакова. Это свойство называют инвариантностью заряда. 2. Полный заряд замкнутой системы тел не изменяется со временем при любых процессах (например, при химических или ядерных реакциях), т.е. сохраняется. Таким образом, существует закон сохранения заряда, подобно тому, как существует закон сохранения энергии или импульса. 3. Существует два вида зарядов, условно называемых положительными и отрицательными, которые различаются по типу взаимодействия между ними: одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются. Отрицательным зарядом обладает электрон, а положительным – протон. 4. Заряд квантуется, то есть заряд любого тела равен целому числу элементарных зарядов – зарядов электрона. Если заряд тела достаточно велик, то это свойство незаметно, но в принципе заряд тела не может быть равным дробному числу зарядов электрона. Закон Кулона 160 В конце XVIII века французский физик Ш. Кулон опытным путем установил закон взаимодействия заряженных тел. Закон Кулона выглядит следующим образом: два неподвижных точечных заряда в вакууме действуют друг на друга с силой, прямо пропорциональной произведению зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, причем силы взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей заряды: F k q1q2 , r2 (1) где k – некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. Чтобы рассчитать силу взаимодействия между двумя протяженными заряженными телами, необходимо разбить их на малые элементарные объемы, каждый из которых можно считать точечным зарядом, и вычислить силу, с которой каждый участок одного тела действует на каждый участок другого, а затем найти результирующую силу как векторную сумму всех таких сил. Напряженность электрического поля Для описания действия заряженных тел друг на друга вводят понятие электрического поля как среды–переносчика взаимодействия. Впервые понятие поля ввел М. Фарадей. Идея заключается в том, что тела не непосредственно действуют друг на друга на расстоянии, а каждое тело создает вокруг себя возмущение окружающего его пространства (т. е. силовое поле), которое и действует на другое тело. Можно отметить, что в случае неподвижных тел понятие поля носит формальный характер, можно вполне обойтись и без него. Однако в случае взаимодействия движущихся тел необходимо вследствие подтвержденных опытом идей теории относительности говорить о физическом поле как о реальном материальном образовании. Таким образом, можно сказать, что одно заряженное тело создает электрическое поле, действующее на другое заряженное тело, и наоборот. 161 В качестве индикатора наличия поля можно взять точечный заряд и судить о величине поля в какой-то точке пространства по величине силы, действующей со стороны поля на этот заряд, помещенный в данную точку (этот заряд называется пробным). Однако эта сила зависит и от самого пробного заряда, согласно закону Кулона она пропорциональна его величине. Поэтому в качестве силовой характеристики поля вводят не саму эту силу, а отношение силы, действующей со стороны поля на пробный заряд, к величине этого заряда (или берут пробный заряд единичной величины). Введенная таким образом силовая характеристика поля называется напряженностью. Напряженность электрического поля есть сила, действующая со стороны поля на помещенный в него единичный положительный точечный пробный заряд, таким образом : E F q. (2) Эта величина является векторной, ее направление совпадает с направлением силы, действующая на положительный пробный заряд. Если электрическое поле создано одним точечным зарядом Q, то согласно закону Кулона величина напряженности этого поля равна: Ek Q . r2 r Введем единичный вектор , где вектор r направлен от заряда r в точку, в которой нужно узнать напряженность поля (точка наблюдения). Тогда эту формулу для напряженности поля точечного заряда можно записать в виде: Ek Qr r3 . Отсюда видно, что если поле создано положительным зарядом, то его напряженность направлена от заряда, а если отрицательным, то к заряду. 162 Принцип суперпозиции полей Если электрическое поле создано совокупностью точечных зарядов, то напряженность результирующего электрического поля в любой точке равна векторной сумме напряженности полей, созданных в данной точке каждым точечным зарядом по отдельности. Это утверждение называют принципом суперпозиции, оно равносильно утверждению о том, что множество действующих на тело сил можно заменить их равнодействующей. Если поле создано заряженным телом произвольной формы, то для расчета его напряженности по принципу суперпозиции следует мысленно разбить тело на малые области, которые можно считать точечными зарядами. Затем необходимо вычислить напряженность поля, созданного каждым таким зарядом, и полученные величины векторно сложить. Математически вычисление сводится к достаточно сложному интегрированию. Силовые линии Для графического изображения полей М. Фарадей предложил ввести силовые линии или линии напряженности. Эти линии проводятся так, чтобы, во-первых, в каждой точке напряженность поля является касательной к силовой линии, и, во-вторых, силовые линии проводятся тем гуще, чем больше напряженность поля в данном месте. Силовые линии электростатического поля не могут пересекаться, они начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах или уходят на бесконечность. Потенциальный характер электростатического поля 163 Пусть электрическое поле создано неподвижным точечным зарядом Q, расположенным в начале координат (рис. 1). Будем медленно перемещать в этом поле другой точечный заряд q. При этом на него 1 действует со F стороны заряда Q q сила F, направленная r1 вдоль той же линии, r что и радиус-вектор dr r. Вычислим работу, Q совершенную силами поля при r2 2 перемещении заряда (другие силы при Рис. 1 этом, конечно, тоже могут действовать, но работа этих сил нас не интересует). Элементарная работа dA F , dr k Qq dr cos , где – r2 угол между силой и направлением перемещения. Из рисунка видно, что dr cos dr , где dr – приращение модуля радиусавектора. Таким образом, dA k Qqdr . r2 Полная совершенная силами поля при перемещении начальной точки 1 в конечную точку 2, равна: A12 dA k работа, заряда из Qq Qq k , r1 r2 где r1 и r2 – начальное и конечное расстояния между зарядами Q и q. Из этой формулы видно, что работа не зависит от пути, по которому перемещали заряд q, а зависит только от положения начальной и конечной точек. Таким образом, сила электростатического взаимодействия является потенциальной силой, и для частицы в 164 электростатическом поле можно ввести потенциальную энергию по обычному правилу: А12 = U1 – U2 , (3) где U1 и U2 – потенциальная энергия взаимодействия зарядов друг с другом при начальном и конечном взаимном расположении зарядов. Таким образом, потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов Q и q, находящихся на расстоянии r друг от друга, равна: U kQq r . (4) Поле, созданное произвольно распределенным в пространстве неподвижным зарядом тоже, конечно, является потенциальным, так как такое поле является суперпозицией полей, созданных точечными зарядами. Потенциал электрического поля Потенциальная энергия является не очень удобной характеристикой поля, так как она зависит не только от самого поля, но и от величины помещенного в него пробного заряда. Удобнее ввести другую характеристику, равную отношению потенциальной энергии, которой обладает пробный заряд в поле, к величине этого пробного заряда: U q . Эта величина называется потенциалом электростатического поля. Тогда работа по перемещению заряда (формула (3)) перепишется: A12 q1 2 . (5) Из этой формулы ясен физический смысл потенциала. Потенциалом поля в какой-либо точке следует назвать работу, совершенную силами поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из этой точки в ту, которая имеет нулевой потенциал. Потенциал, как и потенциальная энергия, определяется с точностью до сложения с произвольной константой, так как непосредственным физическим смыслом обладает не сама 165 потенциальная энергия, а работа, равная разности потенциальных энергий. Этот произвол обычно выражается в виде произвола в выборе той точки, в которой потенциал полагается равным нулю. Если создающие поле тела имеют конечные размеры и занимают конечную область пространства, то потенциал удобно считать равным нулю на бесконечно большом расстоянии от этих тел. Из формулы (4) следует, что потенциал поля точечного заряда равен kQ r . (6) Потенциал поля, созданного произвольным распределением заряда, равен по принципу суперпозиции алгебраической сумме потенциалов полей, созданных точечными зарядами, на которые можно разбить заряженное тело. Следует отметить, что применение принципа суперпозиции для потенциала обычно проще, чем для напряженности, так как потенциал является скалярной величиной, а напряженность – векторной. Эквипотенциальные поверхности Для графического изображения полей наряду с силовыми линиями применяются поверхности постоянного значения потенциала или эквипотенциальные поверхности. Они представляют собой геометрическое место точек с одинаковым значением потенциала. Например, из формулы (6) видно, что эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда представляют собой сферы, центр которых расположен в точке, в которой находится заряд. Обычно эти поверхности проводят через одинаковое значение потенциала, например, через 1 В. Эквипотенциальные поверхности не пересекаются. Они перпендикулярны силовым линиям. Это следует из того, что согласно (5) работа при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю, в то время как действующая на заряд сила и сонаправленная с ней напряженность поля в общем случае отличны от нуля. Таким образом, вектор напряженности поля перпендикулярен любой 166 линии на эквипотенциальной поверхности, т.е. нормален и самой поверхности. Связь напряженности поля и потенциала Рассмотрим две эквипотенциальные поверхности: = const и +d = const и + d будем перемещать E заряд q с одной поверхности на другую. При этом d силы поля совершают работу Рис. 2 dA q d qd . С другой стороны, эта работа равна dA = q( E , d ) = q( Ex dx + Ey dy + Ez dz). Поскольку потенциал поля является функцией координат x, y, z, то его приращение (дифференциал) равно d dx dy dz . x y z Сравнивая два выражения для работы и имея в виду, что дифференциалы координат являются независимыми приращениями, получим связь между напряженностью поля и потенциалом: Ex , x Ey , y Ez . z Вектор, проекции которого равны частным производным от некоторой функции координат по ее аргументам, называется градиентом этой функции. Таким образом, напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Символически это запишется E = – grad . 167 Вектор напряженности поля перпендикулярен поверхности постоянного значения потенциала и направлен в сторону его наибыстрейшего убывания. Другая связь этих величин следует из выражения для работы (5). Если записать работу, как интеграл от силы по перемещению, а силу представить как произведение заряда на напряженность поля, то эта связь выглядит следующим образом: 1 2 E, d , где этот интеграл (криволинейный) вычисляется вдоль линии движения заряда от начальной точки до конечной. Отметим, что если начальная и конечная точки совпадают, то есть заряд перемещается по замкнутой траектории, то этот интеграл (в этом случае он называется циркуляцией напряженности электрического поля) равен нулю. Это является следствием потенциального характера электростатического поля. Ход работы Кадр из работы приведен на рис. 3. Кружочки, изображающие заряженные тела, расставляются на предназначенном для этого поле произвольным образом, им приписываются какая-либо величина и знак заряда. После этого при помощи щупа находят точки, имеющие заданное значение потенциала, для чего используется виртуальный гальванометр (в левой части экрана). Рекомендуется следующий порядок работы 1. Расставить заряды и присвоить им значения. Нажмите на объекте, изображающем заряд, левую кнопку мыши и, не отпуская ее, установите этот объект в нужную 168 Рис. 3 169 позицию. Величина и знак заряда задается введением числа в предназначенное для этого окно. После того как все тела размещены и все заряды присвоены, нажмите кнопку "Условия заданы". 2. Исследовать электростатическое поле данных зарядов. Перемещая курсор мыши по экрану, следите за показаниями гальванометра. Исследуйте, как распределяется потенциал, каковы его значения. Подумайте, какие значения потенциала выгодно взять для построения эквипотенциальных поверхностей. 3. Построить 4–6 поверхностей равного потенциала. Ввести в специальное окно гальванометра значение потенциала P0, относительно которого строится эквипотенциальная поверхность (точнее, линия), затем выбрать цвет, которым эта поверхность будет изображена. Следя за стрелкой гальванометра, отмечать точки равного потенциала на экране, нажимая левую кнопку мыши. При нажатии правой кнопки мыши, появляется "ластик", которым можно удалить ошибочно поставленные точки. После этого нажать кнопку "Сохранить в файл", и сохранить полученный в ходе опыта рисунок в формате bitmap (bmp). 4. Произвести опыт при другой расстановке и других значениях зарядов. Нажать кнопку "Изменить условия", расставить заряды, присвоить им значения. Построить для этого расположения зарядов также 4–6 поверхностей равного потенциала. Снова сохранить полученный в ходе опыта рисунок. 5. Оценить напряженность электростатического поля в нескольких точках. Используя полученное в ходе опыта изображение, оцените напряженность электрического поля в двух (или большем числе) точках по приближенной формуле: E x , где –разность потенциалов между двумя ближайшими к данной точке эквипотенциальными линиями, а x – кратчайшее расстояние между этими линиями вблизи данной точки. 170 Контрольные вопросы Как величина заряда частицы изменяется при увеличении скорости ее движения? В замкнутой системе происходит термоядерный взрыв. Как изменяется при этом полный заряд системы? 3. Чем создается магнитное поле? магнитным зарядом? электрическим зарядом? 4. Когда применим закон Кулона? 5. Пробный заряд переместили в электростатическом поле по замкнутому пути. Какой знак имеет работа сил, действующих на заряд со стороны поля? 6. Пробный заряд перемещают по эквипотенциальной поверхности, первый раз по замкнутой траектории, а второй раз - по незамкнутой. В каком случае работа электростатических сил больше? 7. В каком месте напряженность поля больше: там, где эквипотенциальные поверхности расположены чаще, или там, где они реже? 8. Каким должен быть заряд шара, чтобы потенциал поля этого заряда на бесконечном расстоянии от него был равен +5 В? 9. Эквипотенциальные поверхности представляют собой систему концентрических сфер, причем потенциал поля уменьшается при удалении от центра этих сфер. Куда направлен вектор напряженности поля? 10. Эквипотенциальные поверхности представляют собой систему коаксиальных цилиндров, причем потенциал поля уменьшается при удалении от оси этих цилиндров. Куда направлен вектор напряженности поля и каков знак заряда цилиндра? 11. В какой точке больше напряженность поля, если в одной из них потенциал равен +5 В, а в другой +1 В? 1. 2. 171 172
