1 ЛЕКЦИЯ 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 7.1 Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла Функция F x называется п е р в о о б р а з н о й для функции f x на промежутке Х, если F x f x x X . Например, для функции f x x 2 первообразной является x3 x3 функция F x , т.к. F x x 2 f x . 3 3 Теорема. Если F x – первообразная для функции f x на промежутке Х, то любая другая первообразная для f x на этом промежутке имеет вид F x С , где С – произвольная постоянная. Множество всех первообразных функций F x С на промежутке Х, где С – произвольная постоянная, называется н е о п р е д е л е н н ы м интегралом от функции на этом промежутке и f x обозначается символом f x dx F x C . Здесь f x называется п о д ы н т е г р а л ь н о й ф у н к ц и е й , f x dx – п о д ы н т е г р а л ь н ы м в ы р а ж е н и е м , х – переменной интегрирования, – знаком неопределенного интеграла Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется и н т е г р и р о в а н и е м этой функции. Теорема. Если функция f x непрерывна на отрезке a, b , то она интегрируема на нем. 7.2 Основные свойства неопределенного интеграла 1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции f x dx f x . 2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d f x dx f x dx . 3) Неопределенный интеграл от производной функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной f x dx f x c . 4) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции 2 равен сумме этой функции и произвольной постоянной dF x F x c . 5) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла k f x dx k f x dx, k 0 - постоянная. 6) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций f x g x dx f x dx g x dx . 7.3 Таблица основных неопределенных интегралов Приведем таблицу основных интегралов. 1) dx x c x 1 2) x dx c , 1 1 3) dx x ln x c , x 0 ax 4) a dx c , a 0, а 1 ln a 5) e x dx e x c x 6) 7) 8) 9) 10) sin xdx cos x c cos xdx sin x c tgxdx ln cos x c ctgxdx ln sin x c dx cos2 x tgx c , x n, n Z 2 dx 11) sin 2 x ctgx c , x n, n Z 12) sin x ln tg 2 13) cos x ln tg 2 4 c 14) 1 x2 15) a2 x2 dx x dx x dx dx c arctgx c 1 x arctg c, a 0 a a 3 dx 1 xa ln c, 2a x a 16) x2 a2 17) 18) 19) 21) chx dx shx c 22) сh 2 x thx c 23) dx sh 2 x cthx c dx 1 x dx 2 a x dx 2 arcsin x c, 2 arcsin a 0 x 1 x c, a xa ln x x 2 a 2 c x2 a2 20) shx dx chx c dx Вычисление интегралов с помощью основных их свойств и таблицы основных интегралов называется н е п о с р е д с т в е н н ы м и н т е г р и рованием. Пример 7.1. Найти интеграл 8 х 3 5 х 2 3х 4 dx . Решение. 3 2 3 2 8х 5х 3х 4 dx 8 х dx 5 x dx 3 xdx 4 dx 8 x4 x3 x2 5 3 5 3 4x c 2x 4 x 3 x 2 4x c . 4 3 2 3 2 2 33 х2 5 х dx . Пример 7.2. Найти интеграл x3 Решение. 2 33 х2 5 х 2 x3 x 1 2 1 2 3 1 x6 1 6 dx 2 x 3 2 dx 3 x 5 ln x c 4 x 5 6 dx 5 dx x 18 6 x 5 ln x c . 7.4 Метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) Часто удается с помощью замены переменной интегрирования упростить данный интеграл. Пусть требуется найти интеграл f x dx . 4 Выполним подстановку x t , где t - функция, имеющая непрерывную производную. Учитывая, что dx t dt , получим формулу и н т е г р и р о в а н и я заменой переменной (подстановкой) f x dx f t t dt . Иногда используют подстановку вида t x , тогда f x xdx f t dt . Замечание. После нахождения интеграла надо перейти от новой переменной t к переменной x . Пример 7.3. Найти интеграл cos 5x dx . Решение. 5x t, t 1 1 1 cos 5 x dx x 5 , 5 cos t dt 5 sin t c 5 sin 5 x c 1 dx dt 5 x dx Пример 7.4. Найти интеграл . х5 Решение. x dx x5 2 3 x 5 t, x 5 t2, x t2 5 dx t 2 5 dt 2t dt x 53 t 2 t3 5 2t dt 2 2 t 5 dt 2 5t c t 3 10 x 5 c . 7.5 Метод интегрирования по частям Пусть U U x и V V x – функции, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула интегрирования по частям U dV UV VdU . Доказательство. Интегрируя равенство d UV U dV V dU , получим d UV U dV V dU или U dV UV V dU . 5 Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые можно найти с помощью метода интегрирования по частям. 1) Интегралы вида kx Pn x sin kx dx, Pn x e dx, Pn x cos kx dx , где Pn x – многочлен n -ой степени, k – число. В интегралах этих типов полагают U Pn (x) , а dV - все остальные сомножители. 2) Интегралы вида Pn ( x) ln kx dx , Pn ( x) arcsin kx dx , Pn ( x) arccoskx dx , Pn ( x)arctgkx dx , Pn ( x)arcctgkx dx , где Pn (x ) - многочлен n -ой степени, k - число. В этом случае за U принимают функцию, являющуюся множителем при многочлене Pn (x ) . 3) Интегралы вида e ax sin bx dx , e ax cosbx dx . Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по частям. Пример 7.5. Найти (3x 2)e5 x dx . Решение. U 3x 2 dU (3 x 2) dх 3dx 1 1 5x (3 x 2) e 5 x e 5 x 3dx (3x 2)e dx dV e 5 x dx 5 5 1 V e 5 x dx e 5 x 5 5x 1 3 e 7 3x 2 e 5 x e 5 x c 3x с . 5 25 5 5 Пример 7.6. Найти x 2 cos3x dx . Решение. U x2 dU 2 xdx 1 1 2 x 2 sin 3 x sin 3 x 2 x dx x cos3x dx dV cos3xdx 3 3 1 V cos3 xdx sin 3 x 3 6 Ux dU dx 1 2 2 x sin 3x x sin 3x dx dV sin 3xdx 3 3 1 V sin 3xdx cos3x 3 2 2 x 2 1 1 2 1 x sin 3x x cos 3x cos 3xdx sin 3x x cos 3x sin 3x с 3 3 3 3 9 3 3 1 2 2 x 2 sin 3x x cos 3x с . 3 9 9 Пример 7.7. Найти Решение. U ln x 1 dU dx x 5 x ln xdx dV x 5 dx x 5 ln x dx . ln x x6 1 6 1 x6 1 x dx ln x x 5 dx 6 6 x 6 6 x6 V x dx 6 6 6 6 x 1 x x 1 ln x с ln x с . 6 6 6 6 6 5 Пример 7.8. Найти arctgx dx . Решение. U arctgx dx dU xdx 1 d ( x 2 1) 2 x arctgx 2 1 x arctgx x 2 arctgx dx 2 x 1 x 1 dV dx V x 1 x arctgx ln( x 2 1) с . 2 Пример 7.9. Найти e3 x cos2 x dx . Решение. U e3 x dU 3e3 x dx 3x e cos2 x dx dV cos2 xdx 1 V cos 2 xdx sin 2 x 2 1 3 e3 x sin 2 x sin 2 x e3 x dx 2 2 7 U e3 x dU 3e3 x dx 1 3 1 3 dV sin 2 xdx e3 x sin 2 x e3 x cos 2 x e3 x cos 2 x dx 2 2 2 2 1 V cos 2 x 2 e 3x 3 9 3x sin 2 x cos 2 x e cos 2 x dx . 2 2 4 Перенося полученный интеграл в левую часть, получим: e 3x 3 9 3x 1 e cos 2 x dx sin 2 x cos 2 x с , 2 2 4 отсюда e 3x e cos 2 x dx 13 (2 sin 2 x 3 cos 2 x) с . 3x