Уравнение прямой на плоскости

Изучите теоретические основы темы и выполните задания на листах А 4 в клетку, сдать
преподавателю после выхода с карантина.
Урок по теме:
«Координаты и векторы на плоскости (повторение изученного ранее)»
Цель: повторить знания о векторах, координатах векторов, действий над векторами на
плоскости, уравнение прямой и окружности на плоскости.
1. Изучите теоретический материал, рассмотрите примеры решения задач по теме и
сделайте записи в тетрадь
Декартовы координаты на плоскости
У нас есть две прямые x и y, которые пересекаются в точке O. Эти прямые называются
осями координат. Ось x называется осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Точка пересечения
осей называется началом координат. Каждая ось разбивает плоскость на две полуплоскости,
одна из них положительная, другая отрицательная.
Будем обозначать плоскость Oxy (O - точка пересечения оси x с осью y).
Любой точки плоскости, допустим точки A, можно сопоставить пару чисел, эта пара чисел
называется координатами точки. Они определяются так:
1) проведем через точку A прямую, параллельную оси ординат. Эта прямая пересечет ось
абсцисс x в некоторой точке Ax . Число x, абсолютная величина которого равна расстоянию от
точки O до точки Ax , называется абсциссой точки A.
2) проведем через точку A прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет ось
ординат x в некоторой точке Ax. Число y, абсолютная величина которого равна расстоянию от
точки O до точки Ay, называется ординатой точки A.
Если Ax принадлежит положительной полуоси, то это положительно число, если
отрицательной – отрицательное число.
Если Ay принадлежит положительной полуоси, то это положительно число, если
отрицательной – отрицательное число.
Если точка A лежит на оси ординат y, то x=0.
Если точка A лежит на оси абсцисс x, то y=0.
Координаты точки A записываются так: A (x; y).
Плоскость разбивается координатными осями на четыре части – четверти: I, II, III и IV. В
пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются и имеют значения, как на
рисунке.
Введенные на плоскости координаты x и y называются декартовыми координатами.
Понятие вектора. Координаты вектора. Модуль вектора.
1. Вектор – направленный отрезок.
,
А – начало вектора
В – конец вектора
В
А
2. Нулевой вектор – если начало совпадает с концом.
3. Коллинеарные векторы – это ненулевые векторы, если они лежат на параллельных прямых
или на одной прямой:
|| .
а) сонаправленные векторы.
 .
б) противоположно направлены.
 .
в)
(а1; а2)
(b1; b2)
4. Координаты вектора.
В(х2; у2)
(х2 – х1; у2 – у1).
А(х1; у1)
5. Модуль (длина вектора)
(а1; а2)
| |=
6. Равные векторы – сонаправлены, имеют равные соответствующие координаты и их модули
равны.
(а1; а2) = (b1; b2)
а1 = b1
а2 = b2
Действия над векторами, их свойства.
1. Правило треугольника.
В
+
=
С
А
(а1; а2) +
2.
(b1; b2) = (а1 +b1; а2 +b2).
3. Правило параллелограмма
В
С
+
А
=
D
4. Свойства сложения векторов.
а) + =
б) +
в) (
=
+
+ )+ = +(
(а1; а2) –
5.
6.  
+ )
(b1; b2) = (а1 – b1; а2 – b2)
=
7. Свойства умноження.
а) ( + )  =  + 
б) ( + ) =  + 
в)
г)
2
–2
–
д) | | = || | |
е)
и одинаково направлены, если  > 0.
ж)
и
противоположно направлены, если  < 0.
Уравнение прямой на плоскости
Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида
Ax+By+C=0
где A и B не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду
y=kx+b
где k - угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и
положительным направлением оси ОХ.
Уравнение прямой в отрезках на осях
Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть
найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках
x
y
+
=1
a
b
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
Если прямая проходит через две точки A(x1, y1) и B(x2, y2), такие что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2, то
уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу
x - x1
y - y1
=
x2 - x1
y2 - y1
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l t + x0
y = m t + y0
где (x0, y0) - координаты точки лежащей на прямой, {l, m} - координаты направляющего вектора
прямой.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Если известны координаты точки A(x0, y0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l;
m}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу
x - x0
y - y0
=
l
m
Уравнение окружности на плоскости
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке
А(х0; у0) имеет вид: (х-х0)2 + (у - у0)2 = r2
Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:х2 + у 2 = r2
Координаты середины отрезка
Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов: если концы
отрезка – A(x1; y1) и B(x2; y2), то координаты его середины –
Примеры решения задач.
Задача 1. Заданы векторы
и
. Найти координаты вектора
Решение.
Задача 2. Найти координаты вектора
, если
Решение.
Задача 3. Вектор
. Найти координаты вектора
Решение.
Задача 4. Найти уравнение прямой проходящей через две точки A(1, 7) и B(2,3).
Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки
x-1
y-7
=
2-1
3-7
Из этого уравнения выразим y через x
x-1
y-7
=
1
-4
y - 7 = -4(x - 1)
y = -4x + 11
2. Выполните задания
Кроссворд 1
По горизонтали
1. Название вектора, который является точкой.
2. Вектор коллинеарный и направленный так же, как данный.
3. Как называются точки, являющиеся началом и концом вектора.
4. Правило, по которому складываются два вектора, если они отложены от одной точки.
По вертикали
5. Как будет направлен один из коллинеарных векторов, если он имеет другое направление.
6. Название длины вектора.
7. Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек будет началом, какая концом.
8. Как будут называться векторы сонаправленные и имеющие одинаковую длину.
9. Каждая координата разности двух векторов равна ….. соответствующих координат этих
векторов.
10. Назовите линию трапеции, которая параллельна основаниям и равна их полусумме.
Кроссворд 2
По горизонтали:
1. Коллинеарные векторы с одинаковым направлением.
2. Наука, занимающаяся изучением свойств геометрических фигур.
3. Вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается следующая теорема.
4. Сонаправленные векторы, имеющие равные длины.
5. Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам – это …вектора.
По вертикали:
6. Геометрическая фигура, при помощи которой складываются векторы.
7. Коллинеарные векторы, имеющие равную длину, но разное направление.
8. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых.
9. Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая
концом.
10. Вектор, у которого начало совпадает с концом.