Смоляк С.А. (ЦЭМИ РАН, Москва) Принцип стабильных зависимостей в оценке имущества

Смоляк С.А.
(ЦЭМИ РАН, Москва)
Принцип стабильных зависимостей в оценке имущества
Оценка имущества методом дисконтирования денежных потоков (ДДП) основана
на принципе дисконтирования: стоимость имущества равна сумме дисконтированных
выгод от его использования в некотором периоде и стоимости того же имущества в конце
этого периода. Для непосредственного применения метода ДДП нужен прогноз выгод от
использования имущества за весь срок его службы, что требует, в частности, и прогноза
динамики цен на продукцию, работы или услуги, производимые с помощью имущества, и
на ресурсы, затрачиваемые при его использовании.
Многие другие методы оценки базируются на предположении, что стоимость
имущества зависит от значений тех или иных влияющих на нее факторов на дату оценки,
и что такая зависимость стабильна, т.е. справедлива для всех объектов определенной
совокупности и для любой даты оценки (в определенных пределах). Обычно вид такой
зависимости постулируется, а калибрующие ее параметры подбираются так, чтобы для
группы «эталонных» объектов (аналогов) зависимость оказалась наиболее точной. Так, в
методе прямой капитализации стоимость объекта считается прямо пропорциональной
приносимому им годовому доходу, стоимость квартиры оценивается с помощью
регрессионной зависимости ее от площади и других ценообразующих факторов, и т.п.
Однако сфера применения подобного принципа стабильных зависимостей может быть
расширена. Оказывается, если имеются основания считать зависимость стоимости
имущества от его характеристик стабильной, то восстановить ее иногда удается, применяя
несколько иначе тот же метод ДДП и опираясь только на показатели рынка аналогичных
имуществ, сложившиеся на дату оценки и прогнозируемые на ближайшую перспективу.
Приведем примеры реализации этого принципа. Началом отсчета времени
(моментом 0) считается дата оценки.
Пример 1. Рассматривается рынок машин одного вида. Стоимость K(t) машины
возраста t определяется формулой K(t)=K(0)k(t), где k(t) — стабильный во времени, но
зависящий от возраста машины коэффициент годности (good factor, дополнение
коэффициента износа до 1). Стабильность k(t) означает, что темпы роста цен на машины
не зависят от их возраста. Покажем, как можно восстановить функцию k(t), используя
только данные о машинах на дату оценки. Влияние налогообложения не учитывается.
Пусть T — срок службы машин, i — известный темп роста цен на машины в момент 0, r
— непрерывная номинальная доналоговая ставка дисконтирования на дату оценки, B(t) —
интенсивность доналоговых выгод от использования машины возраста t, которая обычно
уменьшается с возрастом, b(t) = B(t)/K(0).
Рассмотрим малый период времени [0, ]. Машина, имеющая возраст t в момент 0,
принесет за период выгоды B(t), а в момент  будет иметь возраст t+. Если бы за это
время цены не менялись, она имела бы стоимость K(t+), но с учетом роста цен она
составит (1+i)K(t+). Применив принцип дисконтирования к периоду [0, ], с точностью
до малых более высокого порядка получим своеобразную форму уравнения Беллмана:
K  t   B  t    (1  r) 1  i  K  t    .
Отсюда легко выводится, что:
(1)
K   t   (r  i ) K  t   B  t   0 .
В относительных показателях это запишется так:
(2)
b  t   ( r  i )k  t   k   t  .
1
Решая уравнение (1) с граничным условием K(T) = 0, находим:
T
K t    e
t
 r i  s t 
T
B  s  ds, k  t    e
t
 r i  s t 
b  s  ds,
T
e
 r i s
b  s  ds  1 .
(3)
0
Оптимальному сроку службы должна отвечать наибольшая стоимость машины, что
достигается при B(T) = b(T) = 0.
Имеется много методик оценки износа машин с помощью аналитических
выражений или таблиц для функции k(t). Использование формулы (3) показало
некорректность многих из них (оказалось, например, что соответствующие функции b(t)
возрастают в начале эксплуатации и/или далеки от нуля в конце срока службы).
Сравнивая в одном и том же году эксплуатационные характеристики машин
разного возраста, можно установить, как влияет возраст машины на величину
доналоговых выгод от ее использования. Такое влияние хорошо описывается, например,
 t T
зависимостью вида: b  t   h 1  e    . Последнее из равенств (3) позволяет найти


коэффициент h, второе — рассчитать значения k(t). При надлежащем подборе
калибровочного параметра  модель хорошо согласуется с данными реальных сделок с
подержанными машинами.
Обратим внимание, что процесс износа машин в данной модели в некотором
смысле эргодический: в отличие от традиционной версии метода ДДП, когда стоимость
машины определяется суммированием (с дисконтирующими “весами”) разновременных
выгод от ее использования, здесь она определяется взвешенной суммой выгод,
приносимых машинами разных возрастов на дату оценки.
Пример 2. Продолжая пример 1, рассмотрим участника рынка, покупающего
машину возраста t в момент 0 по рыночной стоимости K(t), использующего ее до момента
 и затем продающего по (новой) рыночной стоимости (1+i)K(t + ). Однако теперь
дополнительно учтем налоги на прибыль (по ставке n) и на имущество (по ставке m). Под
B(t) теперь будем понимать интенсивность прибыли до начисления амортизации и уплаты
налогов на прибыль и имущество (показатель, сходный с EBITDA).
Сумма налога на имущество здесь равна mK(t), поэтому (налогооблагаемая)
прибыль от использования машины составит B(t) - mK(t) - aK(t), где a — ставка
амортизации. Прибыль от продажи машины определим как цену продажи за вычетом
цены покупки, уменьшенной на сумму начисленной амортизации:
(1 + i)K(t + ) - K(t) + aK(t)  [(i+a)K(t) + K(t)].
Налог на совокупную прибыль от использования и продажи машины при этом
составит n[K(t) + (i - m)K(t) + B(t)].
Теперь, применив принцип дисконтирования к периоду [0,] и используя
посленалоговую ставку дисконтирования , получим:
K(t)  B(t) - mK(t) - n[K(t) + (i - m)K(t) + B(t)] + (1-)(1+i)K(t+) 
 K(t) + {(1 - n)[B(t) + (i - m)K(t) + K(t)] - K(t)}.
Легко видеть, что такое равенство возможно только, если выполняется уравнение,

 i  m — величина, которую можно
аналогичное (2): K   t   rK  t   B  t   0 , где r 
1 n
трактовать как “специальную” ставку дисконтирования. Иными словами, для
установления зависимости можно использовать доналоговую модель примера 1 с иной
ставкой дисконтирования.
2
Пример 3. Прямое применение метода ДДП к оценке зданий требует
прогнозирования приносимых им доходов на длительный период, поэтому используется
не часто. При методе прямой капитализации стоимость здания оценивается по формуле:
K=BR, где B — операционный доход (ОД) от использования здания в единицу времени, R
— коэффициент капитализации. Имеются основания считать, что R зависит от “срока
окупаемости” земельного участка — отношения его стоимости (L) к ОД — L/B = S.
Восстановим зависимость R = f(S) или K = Bf(L/B), предполагая ее стабильной, а функцию
f — ограниченной вблизи S=0. Можно показать, что существует предельное значение u
такое, что f(S) = 0 при S > u, f(S)>0 при S < u. Процесс изменения (B, L) за небольшой
отрезок времени мы считаем двумерным случайным процессом геометрического
броуновского движения:
(4)
dBt  Bt  B dt   B dwtB , dLt  Lt  L dt   L dwtL .
Здесь
w
B
L
t , wt





— двумерный винеровский случайный процесс с известными
сносами (средними темпами роста)  B и  L , волатильностями B и L и коэффициентом
корреляции  между компонентами.
Оказывается, что тогда и St=Lt/Bt также будет процессом геометрического
броуновского движения.
Важно отметить, что  B   L  r . Действительно, если бы средний темп роста ОД
превышал средний темп роста стоимости земельного участка, то здание целесообразно
было бы использовать сколь угодно долго. Между тем, такая ситуация невозможна, хотя
бы в связи с постоянным физическим и моральным износом здания. Кроме того,
доходность операции по покупке ЗУ и продаже его через малую единицу времени (  L )
должна быть меньше доходности наилучших альтернативных вложений (т.е. ставки
дисконтирования r), иначе спекуляция земельными участками стала бы наилучшим
направлением вложений свободных денежных средств инвесторов.
Рассмотрим операцию покупки здания с земельным участком (ЗУ) в момент 0,
использования их в течение времени  и продажу по (новой, случайной) рыночной
стоимости K  L  B f  L B   L . При отсутствии инфляции и налогов принцип
дисконтирования с точностью до малых более высокого порядка дает:
K  L  B  1  r  E K  L  , где Е — символ математического ожидания. Но тогда
1
B  rL  rK  E  K   K  L  L   0 . Используя формулу Ито для процесса Kt = Bt f(Lt/Bt)

и уравнения (4), отсюда можно получить уравнение для искомой функции f:
a0 2
(5)
S f   S   a1Sf   S   a2 f  S   1  a3 S  0 ,
2
где a0  2B  2L  2B L , a1   L   B , a2  r   B , a3  r   L .
Далее, f(S) > 0 при S < u, f(S) = 0 при S > u, так что f (u-0) < 0. Докажем, что
f (u-0) = 0. Действительно, пусть это не так. Тогда производная f (S) будет разрывной в
точке u. Заметим теперь, что при S = u оптимальным поведением владельца будет
продажа объекта по стоимости земельного участка. Продолжение использования здания
1
будет менее эффективно, поэтому здесь будет: B  rL  rK  E  K   K  L  L   0 . При

B = uL, K = 0 это неравенство с учетом (4) принимает вид:
3
1
E  B f  S    a3 L  uL .
(6)
 
Нетрудно показать, что если f (u-0) < 0, то неравенство (6) нарушается при малых
, ибо его левая часть стремится к бесконечности при 0.
Решением уравнения (5) с краевыми условиями 0  f  0  , f  u   f   u   0


  a2  a1 
 S
1 S 


u
будет:
где
,
>1
—
1 
 
  ,
  1 a2 a3
  1 u   1 u  


a
положительный корень уравнения 0 x  x  1  a1 x  a2  0 .
2
Можно показать, что с ростом волатильностей B и L величина R = f(S) растет
(увеличение неопределенности повышает стоимость недвижимости).
Оказывается, что, как и в примере 2, учет инфляции и налогов на землю,
имущество и прибыль приводит лишь к изменению коэффициентов в уравнении (5).
Данная модель позволяет определить значения исходных параметров по рыночным
данным. Пусть, например, требуется определить B, зная стоимость K аналогичного
здания и его характеристики B и L. Это можно сделать, записав равенство K = Bf(L/B) для
этого здания и решив это уравнение относительно параметра B, от которого зависит
функция f.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного
научного фонда (проекты 07-02-00160 и 07-02-00166).
1
f S  
r  B
4