ГЛАВА 7. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЗМОВ С ЖЕСТКИМИ ЗВЕНЬЯМИ Внутренняя 7.1.

ГЛАВА 7. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЗМОВ
С ЖЕСТКИМИ ЗВЕНЬЯМИ
7.1. Внутренняя
виброактивность
механизма
Рассмотрим цикловой
механизм с жесткими звеньями и идеальными кинематическими парами.
Запишем
уравнение
движения механизма:
J (q)q 
1
J (q)q 2  Q  QC (q, q).
2
(7.1)
Приведенный момент инерции J(q):
1 2 i
J (q )  J 0  J (q ) 
 J (q)dq J (q),
2i 0
J (q) – переменная часть приведенного момента инерции механизма.
Приведенный момент сил сопротивления:
QC (q, q)  QC 0 (q)  QC (q, q),
QC 0 (q) 
1
2i
(7.2)
(7.3)
2 i
 QC (q, q)dq
(7.4)
0
Установившееся движение.
Предположим, что входное звено вращается с постоянной угловой скоростью q  0 . Найдем обобщенную движущую силу (момент), которую нужно
приложить к входному звену, чтобы осуществить такое движение
( q  0 , q  0t , q  0, ).
1
Q(t )  J (0t )  02  QC (0t , 0 )  QC 0 (0 )  Q(t ),
2
Q(t ) – переменная часть движущего момента.
Противоположный по знаку момент
L(t )  Q(t ),
(7.5)
(7.6)
действующий на двигатель со стороны механической системы, называется возмущающим моментом. Способность механизма создавать переменный возмущающий момент при равномерном вращении входного звена отражает его
внутреннюю виброактивность.
181
Возмущающий момент является периодической функцией t с периодом
T  2i / 0  2 / , где  – угловая скорость входного звена исполнительного
механизма.

L(t )   Lk cos(k t   k ).
(7.7)
k 1
Внутренняя виброактивность механизма является причиной многих нежелательных динамических явлений, возникающих в цикловых машинах.
7.2. Способы уменьшения возмущающего момента
Разгружатели. Разгружателями называются дополнительные устройства,
а)
которые вводятся в механизм и уменьшают возмущающий момент, вызываемый этим механизмом.
R 12
с
A
s
2
Разгружатель должен быть спроектирован так,
чтобы обеспечивалось выполнение условия:
R 21
M p  L  0,
O
q
h
1
б)
Мр – момент кулачкового разгружателя.
Мр=R21h.
V
VA2
VA1
PV
Рис. 3.13
(3.18)
(3.19)
Для того, чтобы найти плечо h силы R21, построим план скоростей механизма (см. рис. 3.13, б).
VA1 OA
,
(3.20)

VA2 OB
отсюда найдем h:
ds
V OA VA2OA dt
h  OB  A2


 s .
dq
VA1
qOA
dt
(3.21)
Уравнение статики:
R21  c( s0  s ) ,
с – жесткость пружины,
s0 – первоначальное поджатие пружины,
182
(3.22)
С учетом (3.21) и (3.22) условие (3.18) запишем в виде:
c( s0  s )
n
ds
  L cos( q   ) .
dq
1
(3.23)
Разделяя переменные в (3.23) и интегрируя, получим:
n 1
s2
cs0 s  c   L sin( q   )  C1 ,
2
1
С1 – постоянная интегрирования.
n 1
Обозначим  L sin( q   )  C1  y(q) , получим закон перемещения
1
толкателя в виде:
s(q) 
cs0  c 2 s02  2cy (q )
.
(3.24)
c
Постоянную интегрирования С1 выбираем так, чтобы подкоренное выражение в (3.24) при любом q было неотрицательным. На этом заканчивается первый этап и начинается второй.
Следует отметить, что полная разгрузка механизма только при одном значении угловой скорости. Поэтому в переходных режимах кулачковый разгружатель целесообразно отключать.
2
B
1 r
A
x
t
Пружинный разгружатель.
Потребуем выполнения условия:
R
3
D
m
Рис. 7.2
c
R1=-cx
R1 + Ф = 0.
(7.8)
R1 – упругая сила пружины,
Ф – сила инерции массивного звена 3
xD  r cos t , xD  r 2 cos t ,
Ф  mr 2 cos t .
cr cos t  mr 2 cos t  0 .
(7.9)
Если жесткость пружины c  m 2 , будет происходить разгрузка кинематических пар В и А от силы инерции Ф.
Разгружатели, уменьшая возмущающий момент, создают переменные силы,
действующие на корпус машины.
Избежать этого можно, применяя динамические гасители.
183
Динамические гасители.
В этом случае инерционная сила, создаваемая движущей кулисой, компенсируется
силой инерции динамического гасителя, передаваемой через пружину.
Уравнения движения масс m и m1:
mx  cx1  R ,
m1 x  x1   cx1 .
Потребуем выполнения условия R  0 .
c
c
Подставим x1  x , x1  x во второе
m
m
m  m cx  0 .
m 

уравнение: m1  x  x  mx или x  1
c 
m1m

При равномерном вращении x  r cost  , x  r 2 cost  , x  r 4 cost  .

m  m  c   0
r 2 cost  2  1

m1m


Эффект динамического гашения достигается при
c  mm1 (m  m1 ) 1  2 .
Отметим, что при этом масса m1 не может быть слишком малой. Во-первых,
потому, что при малой массе ее перемещение становится очень большим
( x1max  rm / m1 , где r – радиус кривошипа); во-вторых, из-за трения, которое при
малой массе может существенно снизить эффект динамического гашения.
7.3. Внешняя виброактивность механизма и машины
R 0 , R1, R 2 , R 3 – внешние реакции.
Способность механизма возбуждать переменные силы, действующие на
корпус, называется его внешней виброактивностью.
Уравновешивание механизмов и машины.
Механизм называется уравновешенным, если его переменные во времени
внешние реакции при любом законе движения образуют в каждый момент времени уравновешенную систему сил (главный вектор и главный момент внешних реакций равны нулю).
184
Рассмотрим некоторый механизм, имеющий N подвижных звеньев.
Составим для каждого из этих звеньев уравнения кинетостатики
Pk( e )  Pk(i )  Фk  R (ke)  R (ki )  0;
)
( Pi )
(Ф )
(Re)
( Ri )
M (0Pe
k  M 0 k  M 0 k  M 0 k  M 0 k  0.
(7.10)
Pk( e ) – сумма внешних активных сил, приложенных к k-му звену;
Pk( i ) – сумма внутренних активных сил;
Φ k – главный вектор сил инерции звена;
R (ke ) – сумма сил, воздействующих на звено со стороны стойки;
R (ki ) – сумма внутренних реакций связи;
)
( Pi )
(Ф )
(Re)
( Ri )
M (0Pe
k , M 0 k , M 0 k , M 0 k , M 0 k – главные моменты соответствующих сил относительно некоторого центра 0.
Сложим уравнения (7.10), соответствующие всем k от 1 до N. В соответствии с
третьим законом Ньютона
N
N
N
N
k 1
k 1
k 1
k 1
 Pk(i )  0; R (ki )  0; M(0Pik )  0; M(0Rik )  0,
(7.11)
Получаем
(Re)
P ( e)  Ф  R ( e)  0; M (0Pe)  M (Ф)
 0,
0  M0
(7.12)
(Re)
– главные моменты.
P( e) , Ф, R ( e) – главные векторы, а M (0Pe) , M (Ф)
0 , M0
Для уравновешенности механизма в соответствии с принятым определением необходимо и достаточно выполнение условий
R ( e )  0, M (Re)
 0.
0
(7.13)
Из (7.12) следует, что для этого должны выполняться условия
P ( e )  Ф  0; M 0( Pe )  M (Ф)
0  0.
(7.14)
т.е. внешние активные силы и силы инерции звеньев механизма должны в совокупности составлять уравновешенную систему сил.
Если все внешние активные силы, приложенные к звеньям механизма, являются внутренними для машины в целом, уравновешенность машины будет
обеспечиваться при выполнении условий
Ф  0, M (Ф)
0  0,
(7.15)
т.е. при уравновешенности сил инерции.
185
7.4. Внешняя виброактивность вращающегося ротора
и роторной машины
y
MC
C
О
х
Существует множество машин, в которых
единственным подвижным звеном является
ротор, совершающий вращательное движение.
Q – движущий момент;
МС – момент сил сопротивления;
 – угловая скорость;
 – угловое ускорение;
Уравнения кинетостатики (МC, Q –
внешние силы):
Rx( e )   Ф x  m(2 xc  yc ),
Q
Ry( e )   Ф y  m(2 yc  xc ),
z
Рис.7.5
(7.16)
Rz( e )   Ф z  0,
( Re )
(Ф)
M Ox
  M Ox
 J yz 2  J xz ,
( Re )
(Ф)
M Oy
  M Oy
  J xz 2  J yz ,
(7.17)
( Re )
( P e)
(Ф)
M Oz
  M Oz
 M Oz
 Q  M C  J z . (7.18)
хс и yc – координаты центра масс ротора с.
e
R   = 0 будет выполнено при любых  и  в том и только том случае, если
xc = yc = 0 ,
(7.19)
. При выполнении этого условия ротор называется статически уравновешенным.
Жесткий ротор не создает динамических моментов относительно осей Oх
и Oy при любых  и  в том и только том случае, если
Jxz = Jyz = 0,
(7.20)
т.е. если ось z является главной осью инерции ротора. При выполнении условий
(7.19) и (7.20), т.е. если ось вращения является главной центральной осью инерции, ротор называется динамически уравновешенным.
Сравнивая (7.18) с уравнением движения вращающегося ротора
J z   Q  M C , легко заметить, что при любом законе движения M 0(Re)
z  0.
МC, Q – внутренние силы.
( Re )
M Oz
 J z .
M 0(Re)
z  0 только при равномерном вращении ротора.
186
(7.21)
Пример. Схема вырубного пресса.
Силы P и P внутренние, на основание они не действуют.
Однако в момент удара происходит
резкое уменьшение скорости пуансона.
Возникает переменный инерционный момент J, воздействующий на основание пресса.
Частота этого воздействия определяется числом циклов машины в единицу
времени.
Схема двухроторной машины.
Q и MС являются внутренними для машины обобщенными силами.
)
M 0( Re
 J1q  J 2  ( J1  J 2i 1 )q,
z
i – передаточное отношение.
При J1  J 2 i 1 машина является полностью уравновешенной.
Уравновешенность нарушается, если одна из активных обобщенных сил
становится внешней.
В двухроторной машине, схема которой показана на рис. 7.7, б, оба ротора
вращаются в одном направлении; поэтому инерционные моменты J1q и J 2  в
этом случае складываются, и при ускоренном движении уравновешенность не
может быть достигнута.
187
7.5. Уравновешивание роторов
В современных машинах угловые скорости роторов достигают 10000 с-1 и
более, а скорости порядка 300 – 600 с-1 являются обычными.
Смещение центра масс ротора относительно оси вращения на 1 мм при угловой скорости в
1000 с-1 создает динамическую нагрузку на опоры, в 100
раз превышающую силу тяжести ротора..
Операцию уравновешивания роторов часто называют балансировкой, а
устройства, на которых осуществляется балансировка, – балансировочными
станками.
Уравновешивание жесткого ротора.
При статической балансировке жесткого ротора добиваются выполнения условий
xc = yc = 0 .
(7.19)
Установкой балансировочного груза mb выводят центр
масс ротора на ось вращения.
Ротор, установленный в любое начальное, не катится по
Рис. 7.8
призматическим опорам.
Точность статической балансировки зависит от коэффициента трения качения k цапф ротора по призмам. Качение произойдет, если
mge> mgk.
Неуравновешенность не будет обнаруживаться, если e  k; остаточная несбалансированность ротора определяется моментом массы: me  mk.
Динамическая балансировка ротора, добиваются
выполнение условий (7.19) и
Jxz = Jyz = 0,
(7.20)
Для этого потребуется две балансировочные
массы, устанавливаемыми в двух произвольно выбранных плоскостях, перпендикулярных оси вращения и называемых плоскостями исправления.
z1 и z2 – координаты плоскостей исправления,
m1 и m2 – массы балансировочных грузов,
x1, y1, x2, y2 – их координаты в плоскостях исправления (система Oxyz связана с ротором);
m – масса ротора,
xc, yc – координаты его центра масс.
188
Тогда условия (7.19) будут выполнены, если
m1 x1  m2 x2  mxc  0;
m1 y1  m2 y2  myc  0.
(7.22)
Условия (7.20) будут выполнены, если

J xz
 J xz  m1 x1 z1  m2 x2 z2  0;
J yz  J yz  m1 y1 z1  m2 y2 z2  0.
(7.23)
Число неизвестных (массы грузов m1, m2 и их координаты x1, y1, x2, y2 ) превышает число уравнений, нужно дополнительно задать два условия, в качестве
которых можно выбрать значения радиусов r1  x12  y12 и r2  x22  y22 , и искать углы 1, 2, и значения m1, m2.
7.6. Виброактивность плоского механизма
При анализе внешней виброактивности плоского механизма часто ограничиваются определением составляющих главного вектора и главного момента внешних реакций, лежащих в
(Re)
плоскости движения ( Rx( e ) , R y( e ) , M Oz
).
Для каждого положения механизма может
быть найдена прямая r-r, параллельная вектору
R ( e ) , являющаяся линией действия равнодействующей всех внешних реакций R ( e ) . Ее положение определяется из условия
)
(e)
( Re )
M O( Re
r  R h  M Oz  0,
(7.24)
Уравновешивание плоского механизма. Пусть все активные силы (кроме
сил тяжести, влияние которых здесь учитываться не будет) являются внутренними для машины в целом. Тогда
R ( e )  Ф  mw c ,
(7.25)
где w c – вектор абсолютного ускорения центра масс механизма.
Первое из условий уравновешенности R ( e )  0 выполняется, если w c  0,
т.е. если v c  const . Дя стационарной машины скорость v c =0.
189
Установка противовесов на звеньях механизма.
С1 и С2 – центры масс кривошипа и шатуна;
К1 и К2 – центры масс противовесов;
В – центр масс ползуна;
m1, m2, m3 – массы этих звеньев;
ОА = r, АВ = ℓ, АС2 = а2,
АК1 = аI, ОК2= аII, ОС1 = а1.
Мсса mI первого противовеса:
mI aI  m2a2  m3 ,
Перенесем центр масс системы в точку O:
mII a II  m1a1  mI  m2  m3 r
Недостатком является очень большая суммарная масса противовесов.
При a I  a2   2 из первого условия получим mI = m2 + 2m3. Если же
aII  aI  r / 2 , то второе условие дает: mII=m1 + 4m2 + 6m3.
( Re )
( Re )
 0; момент M Oz
Не будет выполнено условие уравновешивания: M Oz
будет создаваться внешними реакциями R O и R B .
Уравновешивание первых гармоник сил инерции.
Полагая, что активные силы для машины являются внутренними, имеем
Rx( e )   Ф x  mxc  m 2 xc(), Ry(e)   Ф y  myc  m 2 yc().
Здесь xc() и yc() – координаты центра масс механизма.
190
Полагая, что активные силы для машины являются внутренними, имеем
Rxe    x  mxC  m 2 xC   ; R ye    y  myC  m 2 yC   .
Здесь xC   , yC   – координаты центра масс механизма.
Разложим функции xc и yc в ряд Фурье и сохраним в этом ряду только
первые гармоники; получим
Rx(e)  m 2 (ax cos   bx sin )  ...,
(7.26)
Ry(e)  m 2 (a y cos   by sin )  ... .
Часто первая гармоника сил инерции 1 является наибольшей. Покажем,
что всегда можно установить два вращающихся противовеса m  и m  так,
чтобы выполнялось условие
1        0 .
(7.27)
K2
m-
A
  =π+α-
  =π+α+
C1
1
O
O2
C2

r
r-
2
G2
B
3
G1

r+
m+
G3
K1
Рис. 7.13
При этом противовес m  закреплен на кривошипе, а m  установлен на дополнительном валу, связанном с кривошипом зубчатой передачей внешнего зацепления с i  1 . Запишем выражение (7.27) в проекции на оси:




x : m r  cos      m 2 r  cos      m 2 a x cos   bx sin    0 ,
2






y : m  2 r  sin      m  2 r  sin      m 2 a y cos   by sin    0 .
Приравняем коэффициенты при cos  и sin   :
 
 
 m  r sin    m  r sin    m b  0;
m  r  sin    m  r sin    m a  0,
m  r  cos   m  r cos   m b  0.
x : cos  : m  2 r  cos    m  2 r  cos    m 2 a x  0,
sin   :
y : cos  :
 2 

 2 

2
x
 2 

 2 

 2 

 2 

sin   :
После несложных преобразований получаем:
2
y
2
y
191
  a
m  r  cos    m

 by
2
a x  by
  
m  r  cos    m
x
2
 
,
m  r  sin    m
  a
,
m  r  sin    m

 bx
2
a y  bx
  

y
2
 
,
,
(7.28)

m
m
a x  b y 2  a y  bx 2 , m  r  
a y  bx 2  a x  b y 2 .
2
2
Определим массы противовесов и углы их установки для механизма
рис.7.13, если длины звеньев и массы определяются выражениями:
ОА = АС2-= r, АВ = 2r,
m=m1 = m2= m3.
Координаты точек A , B и их вторые производные по  (аналоги ускорения):
x A  r cos   , y A  r sin   , xA  r cos   , y A  r sin   ,
mr  
x B  r cos   
2r 2  r sin  2 ,
cos2 


xB  r  cos  
  .
y B  y B  0 ,
2


Запишем выражение для первой гармоники главного вектора сил инерции (в


xB оставляем только первое слагаемое):
x  xB
 x

 1x   2  m1 A  m2 A
 m3 xB   2,5 2 mr cos  ,
2
2


y  yB
 y

 1 y   2  m1 A  m2 A
 m3 yB    2 mr sin   .
2
2


Учитывая, что масса механизма M  3  m , из (6.16) получаем коэффициенты при cos  и sin   :
5
1
a x  r , a y  0 , bx  0 , b y  r .
6
3
Принимаем радиусы установки противовесов r   r   r . Из (7.28) определяем углы установки противовесов и их массы:
3 m  5 1  3 m
3 m  5 1 
m 
   
    m,      .
, m 
2 6 6
2 6 6
2
Противовесы в этом случае оказываются менее громоздкими.
Чаще всего ограничиваются установкой одного противовеса, уменьшающего первую гармонику неуравновешенной силы, но не обеспечивающего полное
ее устранение. Можно, например, минимизировать наибольшее значение модуля R e    .
192
7.7. Потери энергии на трение в цикловом механизме
Движение циклового механизма сопровождается преобразованием энергии.
Баланс работ за цикл может быть записан для механизма в следующей форме:
(7.27)
AДС  АПС  АТР ,
АДС – работа движущих сил,
АПС – работа сил полезного сопротивления,
АТР – работа сил трения.
Рассмотрим в качестве примера кривошипно-ползунный механизм, показанный.
Мощность сил трения
R
R
NТР  M 0Rz q  M Az
  M Bz
  FxB .
(7.28)
F – сила трения в поступательной паре,
R
R
R
M Oz
, M Az
, M Bz
– моменты сил трения во вращательных парах.
Работа сил трения за цикл при равномерном вращении входного звена с угловой скоростью q  0 определяется интегрированием этого выражения
AТР 
2
0

2
0


R
R
R
N ТР dt   M Oz
q  M Az
  M Bz
  FxB dt.
0
0
Учитывая, что
R
R
M 0Rz q dt  M 0Rz dq, M Az
 dt  M Az
R
R
M Bz
 dt  M Bz
d
dq,
dq
d
dx
dq, FxB dt  F B dq,
dq
dq
Получаем
AТР 
 R
dxB 
R d
R d
M

M

M

F
 dq.
Az
Bz
  0z
dq
dq
dq
0 

2
(7.29)
Для приближенного вычисления этого интеграла определяются значения
сил и моментов сил трения, а также геометрических передаточных функций
193
механизма d / dq, d / dq, dxB / dq в k дискретных положениях: q = 2s/k
(s=0,…, k – 1). Далее вычисляется приближенное значение по формуле
AТР 
2 k 1  R
dx 
R d
R d
 M Bz
 F B .
 M 0 z s  M Az

k s 0 
dq s
dq s
dq s 
Коэффициент полезного действия (КПД).
A
  ПС .
АДС
Коэффициентом потерь.
1,
(7.30)
(7.31)
(7.32)
КПД и коэффициент потерь зависят не только от качества механизма,
свойств его кинематических пар, коэффициентов трения в них, но и от режима
работы, законов программного движения, рабочей нагрузки.
Так, при полном отсутствии полезной нагрузки (АПС = 0) силы инерции звеньев механизма будут вызывать реакции в кинематических парах, а следовательно, и силы трения. В этом режиме всегда  = 0,   1.
Чтобы исключить влияние инерционных сил на КПД, можно пользоваться
условной расчетной моделью механизма, учитывающей только действие движущих сил и сил полезного сопротивления. В этой модели принимается, что
массы всех звеньев равны нулю.
Силы трения, рассчитанные по такой модели, будут в каждом положении
механизма пропорциональными полезной нагрузке, и КПД будет характеризовать только свойства кинематических пар.
Для увеличения КПД и уменьшения потерь на трение при конструировании
механизмов используются различные методы. Наибольший эффект дает
уменьшение коэффициентов трения в кинематических парах. Это достигается
применением опор качения вместо опор скольжения, использованием смазки в
кинематических парах и т.п.
194