Численные исследования одной модели коалиции заемщиков.

Численные исследования
одной модели Коалиции заёмщиков
Байрамов О.Б., Сытов А.Н.
Вычислительный центр им А.А. Дородницына РАН
Введение
Жилищное строительство, ремонт и реконструкция жилья играют значительную роль
в национальных экономиках стран. Так, в странах Европы количество денег,
обращающихся в жилищном секторе, как правило, составляет приблизительно половину
ВВП. Далее мы остановимся на проблеме жилищного кредитования, где основными
участниками являются заёмщики и кредиторы. В роли заёмщиков выступают
экономические агенты, которые заинтересованы в привлечении денежных средств для
решения своих жилищных проблем. Кредиторами выступают финансовые институты,
которые аккумулируют средства экономических агентов и предоставляют кредиты на
условиях срочности, платности и возвратности. Повышенные риски приводят к
необходимости для кредиторов вводить механизмы, снижающие уровни рисков, одним из
которых выступает залог имущества, в частности, строящееся жильё. Так возникает
ипотечный кредит.
Ипотека – это ссуда, обеспеченная реальной собственностью, такой как
недвижимость и земля. На рынке жилищных ипотек заемщик вступает в контакт с
ипотечным кредитором, чтобы получить ссуду. Если стороны приходят к соглашению, то
подписывается документ, согласно которому кредитор осуществляет финансирование
потребностей заемщика (средств на покупку или строительства жилья), а заёмщик
обязуется возвратить ссуду вместе с процентами в соответствии с некоторым графиком
платежей, отвечая по обязательствам заложенным имуществом. Этот документ и
учреждает ипотеку [1, стр. 443]. Берущий ссуду называется заемщиком в ипотечном
кредите, а дающий – кредитором в ипотечном кредите. Ипотеку необходимо обслуживать,
т.е. ипотечные платежи нужно собирать и регистрировать; имущественные налоги на
недвижимость нужно собирать и приводить в соответствие с налоговой юрисдикцией и в
случае невыполнения заёмщиком своих обязательств лишать его права собственности в
судебном порядке.
В большинстве случаев ставка на весь срок кредита фиксируется, и при его возврате
используются равномерные (аннуитетные) платежи. Однако применяются и другие
кредитные схемы.
Коалиции инвесторов. (Банковская ипотека)
Ипотечный рынок – это яркий пример финансовой инженерии в действии. В течение
многих десятилетий по установившейся практике держателями ипотечных долговых
обязательств до истечения их срока были те учреждения, которые их выпускали.
Ипотечное кредитование было просто рутинной процедурой. Однако в течение последних
десятилетий обычной практикой стало объединение ипотечных долговых обязательств в
пул и выпуск ценных бумаг. После объединения ипотечных кредитов и предоставления
гарантий инвесторам им продается неделимый интерес (каждый владелец сертификата
имеет пропорциональные права на все процентные платежи и платежи по основной
сумме) в пулах в виде ценных бумаг. Подобный процесс, названный секьюритизацией
активов, затем стал применяться и для других видов долговых обязательств.
Предыдущий текст описывал опыт США, где широко развит фондовый рынок и
имеется значительный корпус частных инвесторов. Рассмотренный вид ипотек относится
к банковской ипотеке. В нашей терминологии пулы ипотек определяются как коалиции
инвесторов. Как можно видеть, инвесторы от объединения в коалиции получают
определенные выгоды, синергетический эффект.
Коалиции заемщиков (небанковская ипотека).
Коль скоро возникают коалиции инвесторов, естественно формирование коалиций
заёмщиков. Такая форма пулов имеет в своей истории широкое распространение в Англии
в форме строительных обществ и в Германии в форме ссудно-сберегательных касс.
В работе [2, стр.86] принципы организации небанковской ипотеки иллюстрируются
на двух примерах.
В первом примере (его можно назвать «общий старт») рассматривается случай,
когда 10 человек хотят приобрести жилье в собственность и объединяются в общество.
Каждый из них может в год откладывать по 100 условных денежных единиц на покупку
квартиры, которая стоит 1000. Таким образом, каждый в отдельности должен копить на
квартиру в течение 10 лет. Если же участники объединяются, то, начиная с первого года,
можно ежегодно покупать по квартире. Среднее время ожидания покупки уменьшается с
10 до 5.5 лет. «Справедливая» очередность может быть установлена, например, с
помощью жребия. Схема несколько напоминает популярные в СССР кассы
взаимопомощи на предприятиях и организациях. Однако она обладает заметным
недостатком: условия приобретения жилья участниками, так или иначе, оказываются
существенно неравными: если некоторый, оказавшийся первым участник может получить
квартиру через год, то последнему приходится ждать 10 лет; если первый может получить
ссуду в 900 единиц накопив всего 100, то девятый должен накапливать 900, чтобы
получить в кредит недостающие 100 единиц.
Второй пример с "перманентной" схемой взаимного кредитования, в какой-то мере
этот недостаток, устраняет. В этом примере число участников не ограничено, ежегодно к
первым 10 участникам добавляется 10 новых, время существования общества также не
ограничено. Жилье для участников приобретается в порядке очередности вступления.
Полностью выплатив его стоимость, участник выходит из коалиции. Функционирование
общества протекает в два этапа. Первые 10 лет существования общества его члены
находятся в неравных условиях. Первый участник получает ссуду на приобретение жилья
через год в размере 90% от его стоимости. Десятому участнику квартира приобретается
через 4 года, и размер его ссуды составляет 60% от её стоимости (за 4 года участник
накапливает 400 денежных единиц, что составляет 40% от стоимости жилья). Начиная с
11-го года существования общества, условия для участников выравниваются. Общее
число его членов перестает увеличиваться, поскольку ежегодно туда вступает, и
одновременно выходят из него 10 участников, полностью выплативших стоимость своего
жилья. Число членов общества, для которых недвижимость ещё не приобретена (45
человек), становится после 10-го года величиной постоянной и определяет одинаковый
для всех новых участников срок ожидания (ежегодные поступления, начиная с 10-го года,
составляют 10 000 денежных единиц, что соответствует приобретению ежегодно 10-ти
единиц жилья; таким образом, для 55 участников оно будет приобретено за 5 лет, но с
учетом того, что платежи в рассматриваемом примере вносятся до конца календарного
года, – за 6 лет). Размер ссуды, получаемой участниками, составит 40% от стоимости
жилья (за 6 лет они накапливают по 600 денежных единиц).
Данная схема, как и первая, предполагает наличие двух периодов членства в
обществе: накопления и кредитования. В течение периода накопления участник регулярно
делает в кассу общества равные денежные взносы; затем ему предоставляется ссуда на
оставшуюся до стоимости жилья сумму, которую он выплачивает такими же по величине
взносами.
В работе [5] для данной схемы, (которая определяется, как «очередь»), построена
формальная общая модель, аналитическими средствами установлены эффекты
самофинансирования,
проведены обширные вычислительные эксперименты,
иллюстрирующие значительные экономические выгоды для участников коалиции.
В работах [2,5] на общих основаниях системного подхода и теории принятия
решений разработана общая финансовая модель ипотечного кредитования, и основной
интерес проявлен к элементам принятия решений участниками процесса жилищного
кредитования в динамике и синергетическому эффекту, который возникает при
объединении ресурсов участников.
Настоящая работа средствами вычислительных экспериментов и графического
представления выявляет основные особенности поведения базовых финансовых
характеристик коалиции заёмщиков: активов коалиции, заёмных средств, собственного
капитала.
Описание модельных соотношений
Вычислительные эксперименты проводились для Коалиции заёмщиков, поведение
которых соответствует вышеописанным взаимоотношениям. Положим, что Коалиция
выступает, как самостоятельное лицо и оформляет свои взаимоотношения с участниками
на основе договоров. Типовые договора будут относиться к разному типу жилья и разным
схемам накопления и возврата кредита.
Пусть набор типовых договоров  ограничен.
Договор с клиентом очереди характеризуется следующими параметрами:
k - номер клиента, заключившего договор с Коалицией;
t  k – начало действия договора k ;
t k0 - момент времени заключения договора с участником k ;
t 1k - момент времени покупки жилья для участника k и выдача ему кредита;
t k2 - момент времени погашения задолженности по кредиту участника k ;
r – максимальное количество периодических вкладов клиентов очереди вплоть до
момента приобретения жилья;
U k – размер периодических
1  0.01  u t ,k 
r
Uk
0.01  u t ,k
1
вкладов
клиента
 d  C , следовательно U k 
G t1,k - динамика накоплений участника,
k,
рассчитанных
0.01  u t ,k  d  C k
из
условия
;
1  0.01  ut ,k r  1
Gt11,k  1  u t ,k   Gt1,k  U k ;
u t ,k – проценты по периодическим вкладам клиента k , начисляемые на его счет в ССК;
d – доля от стоимости приобретаемого жилья, после накопления которой клиент очереди
получает кредит на приобретение жилья;
C - стоимость жилья, соответствующего договору k .
Если в некоторый момент времени t сумма вкладов клиента k вместе с начисленными на
них процентами превышает величину d  C t , то клиент получает кредит и приобретает
жилье даже в том случае, если количество сделанных им вкладов меньше r .
s – количество кредитных выплат, производимых клиентом очереди после приобретения
жилья;
vt ,k – проценты по кредиту, выданному клиенту k ;
G t2,k - динамика задолженности по кредиту участника, Gt21,k  1  vt ,k   Gt2,k  Vk ;
Vk – размер периодических выплат по кредиту клиента k , рассчитанный по формуле
Vk
C

k
 
 Gk1 t 1k  0.01  v k  1  0.01  v k 
1  0.01  vk s  1
s
.
На счета Коалиции поступают денежные средства от участников, которые
расходуются на приобретение жилья для участников и погашение внешних кредитов
очереди, временно свободные средства размещаются на внешних вкладах:
 t - рыночный процент на внешних вкладах;
 t - ставка заимствования на внешнем кредитном рынке.
Коалиции нерационально иметь одновременно средства, размещенные на внешних
вкладах и обязательств по внешним кредитам.
Gt
баланс
денежных
средств
в
одном
потоке
кооператива,
где
Gt 1  1  t   Gt  Pt 1  Rt 1 , причем t   t , если Gt  0 и t   t , если Gt  0 ,
Pt - поток платежей участников, Rt - расходы кооператива, связанные с приобретением
квартир для участников.
Сценарий очереди с многотиповыми вариантами квартир при фиксированном
времени.
Все операции с договорами участников производятся с равным временным шагом 
(месяц и т.п.) в моменты времени t . Весь поток заключаемых договоров разбивается на
цепочки – очереди. Первый договор очереди заключается в момент 0, остальные - в
последовательные моменты 1,2..., N  1 по одному договору в каждый из моментов
времени. N  1 – точка завершения очереди. Участник k производит последний вклад,
получает кредит и приобретает жилье в момент времени t 1k  t k0  r  1 . Последняя выплата
производится в момент времени t k2  t 1k  s .
Баланс денежных средств в одном потоке:

Gt 1  1  t  Gt  Pt 1  Rt1 ,   1, R  ;
t   , если Gt  0 ;
t   , если Gt  0 ;
Pt    Pt ,k , Rt   Rt,k .
k
k
Очередь:
0, 
tk  k  1,
Поток платежей участника:

Pt ,k  0 , t  t k0,  или t  t k2,  ;
Pt ,k  U k , U k 
0.01  u k  d  C k
, t k0,   t  t 1k,  ;
1  0.01  u   1
C  G t  0.01  v  1  0.01  v 

1  0.01  v   1
 r
k



Pt ,k  Vk , Vk

k
1, 
k
1, 
k

 s
k
k
 s
, t 1k,   t  t k2,  .
k
Расходы кооператива, связанные с одним участником:
 C  t 1k,  , t  t 1k,  ;

Rt ,k
Rt,k  0 , t  t 1k,  .
t 1k, 
Динамика накоплений участника:
 min t k0,   r  1, min Gk1,,t ,n  d   Ct  ;
Gt1,,k

 0, t 
Gt1, 1,k
Gt2,k, 


t k0, 

или t 
1  ut ,k  Gt1,,k

t 1k, 
;
 
 U k , Gk1,  t k0,   U k , t k0,   t  t 1k,  .
Динамика задолженности по кредиту:
 0 , t  t 1k,  или t  t k2,  ;
 
 
Gt2,1,k  1  vt ,k   Gt2,k,   Vk , Gk2,  t 1k,   Gk1,  t 1k,   Ct , t 1k,   t  t k2,  .
Соотношения для модели «общего старта»
вышеприведенных формул для случая «очереди».
незначительно
отличаются
от
Эксперименты
В настоящей работе представлены результаты вычислительных экспериментов для
описанных моделей в предположении, что в очереди присутствуют договоры только
одного типа. Рассматривались две организационные формы Коалиции: общий старт и
очередь. Конкретные значения параметров заёмщиков и Коалиции приводятся при
описании вариантов очереди и общего старта. В модели общего старта участники
существенно различаются между собой размерами вкладов и выплат.
Основное внимание было уделено влиянию числа участников Коалиции N и порога
накопления d на вид зависимостей денежного баланса, активов, обязательств и
собственного капитала Коалиции.
Графическое представление результатов расчётов
Очередь
Эксперимент 1
  5% ,   10% , C  1 , C~  1 ,
u  5% , d  0.5 , r  61 , s  80 .
N  37 , v  8.9% .
N  61 , v  8.2% .
N  85 , v  7.7% .
N  121 , v  7.2% .
20
15
Баланс
10
5
N=37
0
N=61
-5 0
50
100
150
250
N=85
N=121
-10
-15
-20
-25
200
Время
25
20
Активы
N=37
15
N=61
N=85
10
N=121
5
0
0
30
60
90
120 150
Время
180
210
240
270
25
Обязательства
20
N=37
15
N=61
N=85
10
N=121
5
0
0
30
60
90
120 150
Время
180
210
240
270
2
Собственный капитал
1,8
1,6
1,4
N=37
1,2
N=61
1
N=85
0,8
N=121
0,6
0,4
0,2
0
0
30
60
90
120 150
Время
Эксперимент 2
  5% ,   10% , C  1 , C~  1 ,
u  5% , N  61 , r  61 , s  80 .
d  0. , v  10% .
d  0.3 , v  9%
d  0 . 6 , v  7 .9 %
d  0 . 9 , v  7 .1 % .
180
210
240
270
30
20
Баланс
10
d=0.
0
-10
0
50
100
150
200
d=0.3
d=0.6
d=0.9
-20
-30
-40
-50
Время
45
40
35
d=0.
Активы
30
d=0.3
25
d=0.6
20
d=0.9
15
10
5
0
0
50
100
Время
150
200
45
40
Обязательства
35
30
d=0.
25
d=0.3
d=0.6
20
d=0.9
15
10
5
0
0
50
100
Время
150
200
1
Собственный капитал
0,9
0,8
0,7
d=0.
0,6
d=0.3
0,5
d=0.6
0,4
d=0.9
0,3
0,2
0,1
0
0
50
100
Время
150
200
Общий старт
Эксперимент 1
  5% ,   10% , C  16
u  5% , d  0.5 , U k  0.1, 0.22  ,
Конкретный выбор U k определялся, как случайная выборка равномерного распределения
на интервале 0.1, 0.22 .
V k  U k , v  9%
N  30 , N  60 , N  90 , N  120
600
400
N=30
Баланс
200
N=60
0
-200
0
50
100
-400
-600
-800
Время
150
N=90
N=120
700
600
Активы
500
N=30
N=60
400
N=90
300
N=120
200
100
0
0
50
100
Время
150
700
Обязательства
600
500
N=30
N=60
400
N=90
300
N=120
200
100
0
0
50
100
Время
150
20
Собственный капитал
18
16
14
N=30
12
N=60
10
N=90
8
N=120
6
4
2
0
0
50
100
Время
150
200
Эксперимент 2
  5% ,   10% , C  16 , N  100
u  5% , U k  0.15, 0.25 ,
Конкретный выбор U k определялся, как случайная выборка равномерного распределения
на интервале 0.15, 0.25 .
V k  U k , v  10%
d  0 .2 , d  0 .4 , d  0 .6 , d  0 .8
Баланс
700
d=0.2
200
d=0.4
-300
0
50
100
150
d=0.6
d=0.8
-800
-1300
Время
1400
1200
Активы
1000
d=0.2
d=0.4
800
d=0.6
600
d=0.8
400
200
0
0
50
100
Время
150
1400
Обязательства
1200
1000
d=0.2
d=0.4
800
d=0.6
600
d=0.8
400
200
0
0
50
100
Время
150
Собственный капитал
25
20
d=0.2
15
d=0.4
d=0.6
10
d=0.8
5
0
0
50
100
Время
150
Литература
1.
Маршалл Дж., Бансал В. Финансовая инженерия. М. Инфра-М, 1998. 784 с.
2.
ГАСАНОВ, И.И., ЕРЕШКО, Ф.И. Модель кооперации в ипотечном кредитовании / И.И.
Гасанов, Ф.И. Ерешко. М.: Труды V Московской международной конференции по исследованию
операций (ORM2007),посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н.Моисеева:
Москва,10-14 апреля 2007.
3.
АВЕРЧЕНКО, В., ВЕСЕЛИ, Р., НАУМОВ, Г., ФАЙКС, Э., ЭРТЛ, И. Принципы жилищного
кредитования./ В. Аверченко, Р. Весели, Г. Наумов, Э. Файкс, И. Эртл. М.: Альпина Бизнес Букс,
2006. 261 с.
4.
ПОЛТЕРОВИЧ, В.М., СТАРКОВ, О.Ю. Формирование ипотеки в догоняющих экономиках:
проблема трансплантации институтов. / В.М. Полтерович, О.Ю. Старков. М.: Наука, 2007. 196 с.
5.
ГАСАНОВ, И.И. Организация ссудно-сберегательной кассы по принципу очереди. / И.И.
Гасанов. М.: ВЦ РАН, 2006. 45с.