DOC, 211 Кб - Высшая школа экономики

@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет
прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
Теория вероятностей, математическая статистика
и теория случайных процессов
Для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
Автор программы:
Ивченко Г.И., д. ф.-м.н., проф., givchenko@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики «___»____________ 2014 г
Зав. кафедрой Кузьмина Л.И.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 2014 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________2014 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
@
1
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки
бакалавра.
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» является формирование у студентов понятий, знаний и компетенций,
позволяющих строить и анализировать модели систем реального мира с помощью вероятностностатистических методов
2
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать
основные понятия теории вероятностей, математической статистики и теории
случайных процессов:
случайные величины и их распределения;
основные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики;
распределения функций от случайных величин;
законы больших чисел и предельные теоремы;
методы оценивания неизвестных параметров распределений;
критерии проверки статистических гипотез;
методы стохастического прогнозирования;
основные модели временных рядов и прогнозирование в них;
методы статистического оценивания характеристик случайных процессов
Уметь
применять освоенные методы и модели к решению типовых и практических задач
теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов;
пользоваться расчетными формулами, теоремами, таблицами при решении
вероятностных и статистических задач;
применять статистические методы для обработки результатов измерений, строить
критерии для проверки гипотез и рассчитывать научно обоснованные прогнозы
будущего;
пользоваться библиотекой прикладных программ для статистических задач;
применять полученные знания для изучения других дисциплин.
Иметь:
навыки применения вероятностных и статистических методов для решения различных
прикладных задач;
навыки построения и исследования статистических критериев для решения прикладных
задач с помощью различных статистических программ.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Общекультурные
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС освоения (показатели достижения
ВПО
результата)
ОК-1
Способность владеть культурой
мышления, аргументировано и
ясно строить устную и
письменную речь
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Лекции, практические
занятия
ОК-14
Профессиональные
3
Способность использовать в
Лекции, практические
научной и познавательной
занятия
деятельности
самостоятельная работа
профессиональные навыки
работы с инфрмационными и
компьютерными технологиями
ОК-15
Способность работы с
Практические занятия в
информацией из различных
дисплейном классе,
источников, включая сетевые
самостоятельная работа
ресурсы сети Интернет, для
решения профессиональных
задач.
ПК-1 Способность демонстрации
Лекции, практические
общенаучных базовых знаний
занятия
естественных наук, математики
и информатики, понимание
основных фактов, концепций,
принципов, теорий, связанных с
прикладной математикой и
информатикой
ПК-3 Способность понимать и
Практические занятия,
применять в исследовательской
самостоятельная работа
и прикладной деятельности
современный математический
аппарат
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
математический анализ, алгебра и геометрия, дифференциальные уравнения, теория
функций комплексного переменного, теория графов и математическая логика,
дискретная математика, функциональный анализ, комбинаторика.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин:
теория управления, методы оптимизации, методы вычислений, теория случайных
процессов, стохастическое моделирование, теория информации, теория надежности.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
@
4
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
7
Всего
часов
Название раздела
Определение вероятностного
пространства. Основные свойства
вероятности событий.
Случайные величины. Случайные векторы.
Распределение функций от случайных
величин.
Сходимость случайных величин.
Предельные теоремы
Непараметрические задачи статистики
Задачи точечного оценивания.
Достаточные статистики и оптимальные
оценки.
Доверительное оценивание.
8 Проверка статистических гипотез
9 Методы стохастического прогнозирования
10 Основные модели временных рядов и
прогнозирование в них;
11 Методы статистического оценивания
характеристик случайных процессов
.
5
Аудиторные часы
Практиче
Лекци Семин
ские
и
ары
занятия
8
4
4
16
8
8
16
8
8
8
8
8
4
4
4
4
4
4
4
2
2
12
20
36
6
10
18
6
10
18
8
4
4
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Форма
контроля
Контрольная
работа
Эссе
Реферат
Коллоквиум
Домашнее
задание
1
*
1 год
2 3
* *
4
*
Параметры
*
*
письменная работа 90
минут
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
Промежу
точный Экзамен
Итоговы Экзамен
й
5.1
*
*
Критерии оценки знаний, навыков
В каждом модуле оценивается:
1. Темп выполнения домашних заданий – по количеству решенных задач;
2. Активность студентов – по количеству и качеству заданных вопросов;
3. Активность студентов - по количеству и качеству выступлений;
4. Активность студентов - по количеству участий в обсуждениях;
5. По результатам контрольных работ
Выводится оценка Оi (i=1,2,3,4) за i-ый модуль,
Оценка Отек = (О1+О2)/2 и Отек = (О3+О4)/2,
Оэкз – оценка, полученная на экзамене.
Общая оценка О=0.4 Отек +0.6 Оэкз.
По результатам текущих оценок строится текущий прогноз итоговой оценки каждого
студента, который еженедельно доводится до его сведения.
Содержание дисциплины
Раздел 1
1. Предмет теории вероятностей.
2. Определение вероятностного пространства. Основные свойства вероятности событий.
3. Случайный эксперимент. Понятие вероятности. Классическое определение вероятности.
Элементы комбинаторики.
4. Свойства вероятности. Понятие независимости событий. Условные вероятности.
5. Формула полной вероятности (ФПВ). Формула Байеса (ФБ)
6. Схемы независимых испытаний.
7. Геометрические вероятности
Раздел 2
1. Случайные величины. Случайные векторы. Функции от случайных величин.
2. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
3. Независимость случайных величин.
4. Распределения функций от случайных величин. Условные распределения.
5. Числовые характеристики случайных величин и векторов.
6. Основные распределения дискретного типа.
7. Непрерывная случайная величина.
8. Основные распределения непрерывного типа.
9. Характеристическая функция и ее свойства.
Раздел 3
1. Разные виды сходимости случайных величин и соотношения между ними.
2. Метод производящих функций.
3. Метод характеристических функций.
4. Предельные теоремы теории вероятностей.
5. Законы больших чисел.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
6. Центральная предельная теорема.
Раздел 4
1.Предмет математической статистики.
2.Основные понятия и задачи математической статистики.
3. Порядковые статистики..
Раздел 5
1. Свойства точечных оценок.
2. Выборочные моменты и их свойства.
3. Сравнение качества оценок, эффективные оценки.
4. Оптимальные оценки.
5.Оценки максимального правдоподобия
Раздел 6
1. Определение и методы получения достаточных статистик. Примеры.
2. Теорема Рао-Блэкуэлла-Колмогорова.
3. Полные достаточные статистики и их использование для получения оптимальных
оценок.
.
Раздел 7
1. Доверительное оценивание.
2. Построение точных доверительных интервалов.
3. Построение асимптотических доверительных интервалов.
Раздел 8
1. Постановка задачи проверки статистических гипотез. Простые и сложные
гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия.
2. Критерии согласия. Критерий хи-квадрат.
3. Критерий отношения правдоподобия и его свойства.
Раздел 9
1. Оптимальный предиктор и его свойства.
2 Линейное прогнозирование.
3. Использование в прогнозе дополнительных переменных.
Раздел 10
1. Стационарные временные ряды (ВР).
2. Линейный предиктор и его обновление.
3. Асимптотическая точность прогноза.
Раздел 11
1. Общая линейная модель ВР.
2. Процессы скользящего среднего.
3. Процессы авторегрессии.
4. Смешанные процессы.
Раздел 12
1. Модель АРПСС.
2. Прогнозирование в модели АРПСС.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
3. Примеры прогнозирующих функций.
Раздел 13
1. Оценивание среднего случайного процесса.
2. Оценка автоковариации.
3. Оценивание спектральной плотности.
6
Образовательные технологии
В рамках курса предусмотрены занятия в дисплейном классе для реализации
статистических процедур на компьютере при решении статистических задач
при выполнении домашних заданий и при выполнении самостоятельных работ.
7
7.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Типовые задачи для домашних заданий и контрольных работ
1. Торговый агент имеет пять телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех
пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель
сделает заказ, равна 0.4. Составить закон распределения (ряд распределения) числа телефонных
разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию
этой случайной величины.
2. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0.01. Составить
закон распределения числа выигравших облигаций среди 30 приобретенных. Найти
математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа выигравших
облигаций.
3. Среди 5 изделий 2 бракованных. Составить закон распределения для числа бракованных
изделий среди взятых наудачу четырех приборов. Найти математическое ожидание,
дисперсию и среднеквадратическое отклонение числа бракованных изделий среди взятых
наудачу четырех приборов.
4. В рулетке в Монте-Карло 37 занумерованных полей. Среди них 18 - красных, 18 - черных и 0
(zero).
Игрок делает ставку на красное поле на сумму в 1 доллар. Если выигрывает цифра на красном
поле, то выигрыш игрока составляет 1 доллар, если выпадает 0, то игрок проигрывает 1/2
доллара, если выпадает цифра на черном поле, то он проигрывает 1 доллар. Составить ряд
распределения выигрыша при одной игре. Найти математическое ожидание и дисперсию
выигрыша.
5. Случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром   3 . Найти
математическое ожидание, дисперсию случайно величины Z  3X  5 . Найти P  Z  7  .
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
@
6. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Случайные
величины Y и Z соответственно распределены по пуассоновскому и биномиальному закону с
параметрами   3 , n  4, p  1/ 2 . Случайные величины X, Y, Z независимы. Найти
математическое ожидание и дисперсию Z  XY .
7. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [0,1] . Найти функцию
распределения, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной
величины Y   ln(1  X ) /5.
8.
При каком значении параметра А функция
 Ax 2 , 0  x  1,
f ( x)  
x  [0,1]
 0,
является плотностью распределения некоторой случайной величины X? Найти
математическое ожидание, дисперсию этой случайной величины. Вычислить
P  X  1/ 2  .
9. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) задан таблицей
X
Y
-1
0
1
0.25
0.1
2 0.1
0.05
1
0.3
2
0.15
0 0.05
Вычислить коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y.
10. Случайные величины X и Y независимы, одинаково распределены и
P  X  k   P Y  k   (1  p)k 1 p, k  1, 2,..
Найти распределение Z  X  Y (вычислить P  Z  l  , l  1, 2,... ) .
11. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько нужно
заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.95, ожидать, что отклонение числа
вылупившихся цыплят от математического ожидания их не превышало 50 (по абсолютной
величине)? Решить задачу с помощью: а) неравенства Чебышева;
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
12. Независимые случайные величины X1 , X 2 имеют нормальное распределение с параметрами
(a1 ,1 ), (a2 ,  2 ) соответственно.
Найти плотность распределения случайной величины
Z   X1   X 2
Найти совместную плотность распределения случайных величин X1 , Z .
Найти условную плотность распределения случайной величины Z при фиксированном значе
нии случайной величины X1 .
Найти условное математическое ожидание и условную дисперсию случайной величины
Z при фиксированном значении X1 .
13. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0.7. Оценить
вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в
границах от 0.66 до 0.74.
14. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона - безработные. Оценить
вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10 000 работоспособных
жителей города будет в пределах от 9% до 11% (включительно).
15. Имеется 6 патронов. Стрельба ведется до двух попаданий. Х- число выстрелов с вероятностью
попадания в каждом =0,4. Построить ряд распределения с.в. Х. Найти F(x),MX,DX, и построить
график F(x).
16.
 0,
f (x)   3
Cx
x  [1,9]
x  [1,9]
Найти C, F(x), MX, DX и P (0<x<3)
17. С.в. Х ~Е(0,5), Y=3-3х. Найти МY, DY,
K XY , rXY
Вопросы к итоговому экзамену
ВЕРОЯТНОСТЬ
1. Дискретное пространство элементарных исходов. Случайные события и действия над ними.
Определение вероятности на дискретном пространстве элементарных исходов. Свойства
вероятности. Классическое определение вероятности. Примеры.
2. Общее определение вероятности. Свойства вероятности. Геометрические вероятности.
Примеры.
3. Условные вероятности. Теорема умножения. Попарная независимость событий. Независимость
в совокупности множества событий. Формула умножения.
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Последовательность независимых испытаний. Число успехов в последовательности
независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов. Теорема Пуассона.
6. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
7. Дискретные случайные величины. Примеры распределений дискретных случайных величин
(биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, пуассоновское).
8. Абсолютно непрерывные распределения случайных величин. Плотность распределения и ее
свойства. Примеры абсолютно непрерывных распределений (равномерное, нормальное,
показательное, гамма-распределение).
9. Совместная функция распределения двух случайных величин и ее свойства. Совместное
распределение двух дискретных случайных величин.
Абсолютно непрерывные совместные распределения двух случайных величин. Совместная
плотность распределения, ее свойства.
10. Условные распределения. Условные плотности распределения.
11. Независимость случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин.
Формула свертки.
12. Математическое ожидание случайных величин. Свойства математического ожидания. Примеры
вычисления математического ожидания.
13. Дисперсия случайных величин. Свойства дисперсии. Примеры вычисления дисперсии
случайных величин.
14. Ковариация. Свойства ковариации. Коэффициент корреляции и его свойства.
15. Неравенство Чебышева.
16. Закон больших чисел.
17. Характеристические и производящие функции.
18. Центральная предельная теорема. Различные формулировки центральной предельной теоремы
(теорема Ляпунова, теорема Линдеберга-Леви для независимых одинаково распределенных
случайных величин, теорема Муавра-Лапласа).
СТАТИСТИКА
1. Основные понятия и задачи математической статистики.
2. Порядковые статистики..
3. Точечные оценки и их свойства.
4. Выборочные моменты и их свойства.
5. Сравнение качества оценок. Примеры.
6. Оптимальные оценки, их единственность.
7. Определение и методы получения достаточных статистик. Примеры.
8. Полные достаточные статистики и их использование для получения оптимальных
оценок.
9. Неравенство Рао-Крамера. Примеры.
10 . Эффективные оценки и критерий эффективности оценок. Примеры.
11. Метод моментов. Примеры.
12. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального
правдоподобия. Примеры.
13. Доверительное оценивание. Построение доверительных интервалов для параметров
нормального распределения.
. 14. Асимптотические доверительные интервалы. Примеры.
15. Постановка задачи проверки статистических гипотез. Простые и сложные гипотезы.
Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия.
16. Критерии согласия Колмогорова и хи-квадрат.
17. Критерий отношения правдоподобия и его свойства.
ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ В НИХ
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
1. Оптимальный предиктор и его свойства.
2. Линейное прогнозирование.
3. Обновление прогноза с использованием дополнительных переменных.
4. Модель стационарного временного ряда и ее характеристики.
5. Линейный предиктор и его обновление.
6. Асимптотическая точность прогноза.
7. Общая линейная модель ВР и ее представления.
8. Модель СС и прогнозирование в ней.
9. Модель АР и прогнозирование в ней.
10. Смешанные процессы и прогнозы для них.
11. Нестационарные ВР, модель АРПСС.
12. Прогнозирование в модели АРПСС.
13. Идентификация модели ВР.
14. Метод наименьших квадратов оценивания параметров ВР.
15. Метод максимального правдоподобия оценивания параметров ВР.
16. Оценивание среднего стационарного ВР.
17. Оценка автоковариации.
18. Оценивание спектральной плотности.
8
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
8.1
Базовые учебники
1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Дрофа, 2007 (7-е изд.).
2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику. – М.:
Изд- во ЛКИ, 2010.
3 Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. – М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2014.
4. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и
математическая статистика в задачах.– М. "Дрофа", 2005 (3-е изд.).
5. В.П. Боровиков, Г.И. Ивченко. Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows. М.: «Финансы и Статистика», 2006 (2-е изд.).
6. Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков. Задачи с решениями по математической
статистике. – М.: «Дрофа», 2007 (2-е изд.).
8.2
Дополнительная литература
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения (том 1). М.: Мир, 1984
2. Ивченко Г.И., Энатская Н.Ю. Основные вероятностные распределения. М.: МИЭМ, 2008
3. Айвазян С.А., Мхитарян В.И. т.1.Теория вероятностей и прикладная статистика.
М. Юнити-ДАНА, 2001.
4.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М. ЮНИТИ, 2004.
5. Айвазян С.А. Прикладная статистика в задачах и упражнениях. М. Юнити-ДАНА, 20001.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра
8.3
Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
1. www.statsoft.
2. http://www.biometrica.tomsk.ru/list/general.htm
3. Анатольев А., Цыплаков А. Где найти данные в сети? Квантиль, N6, с.59-71, 2009.